Grenseverdier — grunnidé

Grensen \( \lim_{x\to a} f(x) = L \) betyr at \( f(x) \) kommer vilkårlig nær \( L \) når \( x \) nærmer seg \( a \). Den tosidige grensen eksisterer bare når venstregrense og høyregrense er like: \( \lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x) \). Ved direkte innsetting kan du støte på ubestemte former som \( \frac{0}{0} \), \( \frac{\infty}{\infty} \), \( 0\cdot\infty \), \( \infty-\infty \), \( 1^\infty \), \( 0^0 \) og \( \infty^0 \). Disse må omformes — enten algebraisk (faktorisering, konjugat) eller med l'Hôpitals regel.

l'Hôpitals regel: Hvis \( \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} \) gir \( \dfrac{0}{0} \) eller \( \dfrac{\infty}{\infty} \), så er

\[ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \]

forutsatt at den siste grensen eksisterer. Regelen kan brukes flere ganger på rad. Sjekk ALLTID at formen er ubestemt før du deriverer.

Standardgrenser

Disse bør sitte automatisk:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} = 1 \]

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1, \qquad \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x = e^a \]

Eksempel 1 — l'Hôpital og standardgrense kombinert

Beregn \( \lim_{x\to 0}\dfrac{e^{2x}-1}{\sin 3x} \).

Innsetting: \( \frac{e^0-1}{\sin 0} = \frac{0}{0} \) — ubestemt form.

l'Hôpital: deriver teller og nevner hver for seg.

\( \dfrac{d}{dx}(e^{2x}-1) = 2e^{2x}, \qquad \dfrac{d}{dx}(\sin 3x) = 3\cos 3x \)

\( \lim_{x\to 0}\dfrac{2e^{2x}}{3\cos 3x} = \dfrac{2\cdot 1}{3\cdot 1} = \dfrac{2}{3} \)

Svar: \( \dfrac{2}{3} \).

Eksempel 2 — ubestemt form \( 1^\infty \) via logaritme

Beregn \( \lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{2}{x}\right)^x \).

Formen er \( 1^\infty \). Sett \( L = \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^x \) og ta logaritmen.

\( \ln L = \lim_{x\to\infty} x\ln\!\left(1+\dfrac{2}{x}\right) \) — form \( \infty\cdot 0 \).

Substituer \( t = \dfrac{2}{x} \), slik at \( x = \dfrac{2}{t} \) og \( t\to 0^+ \):

\( \ln L = \lim_{t\to 0}\dfrac{2}{t}\ln(1+t) = 2\lim_{t\to 0}\dfrac{\ln(1+t)}{t} = 2\cdot 1 = 2 \)

Dermed \( L = e^2 \). Svar: \( e^2 \).

Kontinuitet

\( f \) er kontinuerlig i \( x=a \) hvis \( f(a) \) er definert, grensen eksisterer, og \( \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \). Diskontinuiteter klassifiseres som: fjernbar (hull) — grensen eksisterer men er ulik/mangler \( f(a) \); sprang — venstre- og høyregrense er ulike; uendelig — funksjonen går mot \( \pm\infty \) (vertikal asymptote). To viktige teoremer for kontinuerlige funksjoner: mellomverditeoremet (antar alle mellomverdier — gir rotgaranti) og ekstremverditeoremet (en kontinuerlig funksjon på et lukket intervall har største og minste verdi).

Eksempel 3 — kontinuitet for stykkevis funksjon

Bestem \( a \) slik at \( f(x)=\begin{cases} x^2 & x\le 1 \\ ax+2 & x>1\end{cases} \) er kontinuerlig i \( x=1 \).

Venstregrense: \( \lim_{x\to 1^-} f(x) = 1^2 = 1 \).

Høyregrense: \( \lim_{x\to 1^+} f(x) = a\cdot 1 + 2 = a+2 \).

Kontinuitet krever at disse er like: \( 1 = a+2 \).

Løs: \( a = -1 \).

Asymptoter

For rasjonal funksjon \( \dfrac{p(x)}{q(x)} \) (etter forkorting):

Vertikal: der \( q(x)=0 \) og \( p(x)\neq 0 \).
Horisontal: sammenlign grader — \( y=0 \) hvis grad(p)<grad(q); \( y=\frac{\text{ledende koeff.}}{\text{ledende koeff.}} \) hvis like grader.
Skrå: hvis grad(p) = grad(q)+1; finn med polynomdivisjon.

Inverse, eksponential- og logaritmefunksjoner

En funksjon har invers hvis den er injektiv (strengt monoton). De inverse trigonometriske funksjonene defineres på begrensede intervaller: \( \arcsin:[-1,1]\to[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] \), \( \arctan:\mathbb{R}\to(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}) \). Deres deriverte brukes ofte i grenser og integraler.

Deriverte av inverse funksjoner:

\[ (\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2} \]

Vekstrangering for store \( x \): \( \ln x \ll x^n \ll e^x \).

Studieguide: Funksjoner, grenser og kontinuitet

Studieguide: Funksjoner, grenser og kontinuitet