1. Newtons metode for likningsløsning

Newtons metode finner et nullpunkt av \(f(x)=0\) ved å trekke tangenten i punktet \((x_n,f(x_n))\) og bruke dens skjæring med x-aksen som neste estimat.

Iterasjonsformel: \(x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\), forutsatt \(f'(x_n)\neq 0.\)

Nær en enkel rot er konvergensen kvadratisk — antall korrekte desimaler dobles omtrent per steg.

Eksempel 1: Finn \(\sqrt 2\) ved å løse \(f(x)=x^2-2=0\) med \(x_0=1.\)

\(f'(x)=2x.\)

\(x_1=1-\dfrac{1^2-2}{2\cdot 1}=1-\dfrac{-1}{2}=1{,}5.\)

\(x_2=1{,}5-\dfrac{1{,}5^2-2}{2\cdot 1{,}5}=1{,}5-\dfrac{0{,}25}{3}=1{,}4167.\)

\(x_3=1{,}4167-\dfrac{0{,}0070}{2{,}8333}=1{,}41421\approx\sqrt 2.\)

Eksempel 2: Løs \(f(x)=x^3-2x-5=0\) med \(x_0=2.\)

\(f(2)=8-4-5=-1,\quad f'(x)=3x^2-2,\quad f'(2)=10.\)

\(x_1=2-\dfrac{-1}{10}=2{,}1.\)

\(f(2{,}1)=9{,}261-4{,}2-5=0{,}061,\quad f'(2{,}1)=11{,}23.\)

\(x_2=2{,}1-\dfrac{0{,}061}{11{,}23}=2{,}0946.\) Roten er \(\approx 2{,}09455.\)

2. Eulers metode for initialverdiproblem

Eulers metode løser \(y'=f(x,y),\ y(x_0)=y_0\) ved å følge tangentretningen i små steg av lengde \(h.\)

Iterasjonsformel: \(y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n),\quad x_{n+1}=x_n+h.\)

Lokal feil per steg er \(O(h^2)\), global (akkumulert) feil er \(O(h)\) — Euler er en førsteordens metode.

Eksempel 3: \(y'=x+y,\ y(0)=1,\ h=0{,}1.\) Finn \(y_1\) og \(y_2.\)

\(f(0,1)=0+1=1.\)

\(y_1=1+0{,}1\cdot 1=1{,}1,\quad x_1=0{,}1.\)

\(f(0{,}1;\ 1{,}1)=0{,}1+1{,}1=1{,}2.\)

\(y_2=1{,}1+0{,}1\cdot 1{,}2=1{,}22,\quad x_2=0{,}2.\)

3. Trapesmetoden for bestemt integral

Trapesmetoden tilnærmer arealet under kurven med trapeser i stedet for rektangler.

Ett intervall: \(\displaystyle\int_a^b f\,dx\approx\dfrac{b-a}{2}\big(f(a)+f(b)\big).\)

Sammensatt (\(n\) delintervaller, \(h=\frac{b-a}{n}\)): \(T=h\left(\dfrac{f(x_0)}{2}+f(x_1)+\cdots+f(x_{n-1})+\dfrac{f(x_n)}{2}\right).\)

Feilorden \(O(h^2)\): halveres \(h\), reduseres feilen til ca. en fjerdedel. Konveks funksjon \(\Rightarrow\) overestimering, konkav \(\Rightarrow\) underestimering.

Eksempel 4: Beregn \(\int_0^2 x^2\,dx\) med \(n=4.\)

\(h=0{,}5;\) punkter \(x=0;0{,}5;1;1{,}5;2.\)

\(f\)-verdier: \(0;\ 0{,}25;\ 1;\ 2{,}25;\ 4.\)

\(T=0{,}5\left(\dfrac{0}{2}+0{,}25+1+2{,}25+\dfrac{4}{2}\right)=0{,}5\cdot 5{,}5=2{,}75.\)

Eksakt \(\dfrac{8}{3}\approx 2{,}667;\) trapes overestimerer (\(f\) er konveks).

4. Estimere derivert og integral fra tabell

Når du bare har måletabeller (ikke funksjonsuttrykk), bruker du differensformler for deriverte og trapesmetoden for integraler.

Derivasjon (jevn \(h\)):

Fremover: \(f'(x)\approx\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\) (\(O(h)\))

Bakover: \(f'(x)\approx\dfrac{f(x)-f(x-h)}{h}\) (\(O(h)\))

Sentral (mest nøyaktig): \(f'(x)\approx\dfrac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}\) (\(O(h^2)\))

Eksempel 5: Tabell \(f(1)=2,\ f(2)=5,\ f(3)=10.\) Estimer \(f'(2).\)

Sentraldifferanse med \(h=1:\)

\(f'(2)\approx\dfrac{f(3)-f(1)}{2h}=\dfrac{10-2}{2\cdot 1}=\dfrac{8}{2}=4.\)

5. Tolke algoritmer fra Octave/MATLAB-skript

Du må kunne kjenne igjen hvilken metode et skript implementerer.

Newton-løkke: while abs(fx) > tol; x = x - f(x)/df(x); end

Euler-løkke: for i=1:n; y = y + h*f(x,y); x = x + h; end

Trapes: x=a:h:b; T = h*(f(a)/2 + sum(f(x(2:end-1))) + f(b)/2);

Husk elementvise operatorer (.*, ./, .^) ved evaluering på vektorer, og at a:h:b lager gridet.

Eksempel 6: Hva gjør for i=1:5; x=x-(x^2-2)/(2*x); end?

Uttrykket er Newton-oppdateringen for \(f(x)=x^2-2,\ f'(x)=2x.\)

Løkka kjører 5 iterasjoner og beregner \(\sqrt 2\approx 1{,}41421.\)

Studieguide: Numeriske metoder (MATLAB/Octave)

Studieguide: Numeriske metoder (MATLAB/Octave)