Hva er et Taylorpolynom?

Et Taylorpolynom tilnærmer en funksjon \(f\) nær et utviklingspunkt \(a\) ved hjelp av funksjonsverdien og de deriverte i \(a\). Jo høyere grad, desto bedre tilnærming nær \(a\). I Matematikk 1000 jobber vi mest med grad 1 (tangentlinjen) og grad 2 (som også fanger krumningen).

Taylorpolynom av grad 1 og 2 om \(a\):

\(T_1(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\)

\(T_2(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2}(x-a)^2\)

Generelt ledd: koeffisienten foran \((x-a)^n\) er \(\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}\). Når \(a=0\) kalles det et Maclaurin-polynom.

Egenskapen som gjør polynomet «best mulig»: \(T_2\) har samme verdi, samme deriverte og samme andrederiverte som \(f\) i punktet \(a\). \(T_1\) er nettopp tangentlinjen.

Standardutviklinger du bør kunne

Om \(a=0\) (Maclaurin), grad 2:

\(e^x\approx 1+x+\dfrac{x^2}{2}\)

\(\sin x\approx x\)

\(\cos x\approx 1-\dfrac{x^2}{2}\)

\(\ln(1+x)\approx x-\dfrac{x^2}{2}\)

\(\sqrt{1+x}\approx 1+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^2}{8}\)

Eksempel 1 – \(T_2\) for \(f(x)=\sqrt{1+x}\) om \(a=0\):

\(f(x)=(1+x)^{1/2}\Rightarrow f(0)=1\)

\(f'(x)=\tfrac12(1+x)^{-1/2}\Rightarrow f'(0)=\tfrac12\)

\(f''(x)=-\tfrac14(1+x)^{-3/2}\Rightarrow f''(0)=-\tfrac14\)

Kvadratisk koeffisient: \(\dfrac{f''(0)}{2}=\dfrac{-1/4}{2}=-\dfrac18\)

\(T_2(x)=1+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^2}{8}\)

Anvendelse: \(\sqrt{1{,}2}\approx 1+0{,}1-\dfrac{0{,}04}{8}=1{,}095\) (eksakt \(\approx 1{,}0954\))

Taylor om et punkt for en implisitt gitt kurve

Når kurven er gitt som \(F(x,y)=0\), har vi ingen eksplisitt \(y=f(x)\). Vi finner likevel \(y'\) og \(y''\) i et punkt ved implisitt derivasjon, og setter dem rett inn i Taylorformelen med \(y_0\) i stedet for \(f(a)\).

Fremgangsmåte:

1. Deriver \(F(x,y)=0\) implisitt mhp. \(x\), løs for \(y'\).

2. Deriver én gang til for \(y''\) (sett inn \(y'\) du allerede fant).

3. \(T_2(x)=y_0+y'(x-x_0)+\dfrac{y''}{2}(x-x_0)^2\).

Eksempel 2 – sirkelen \(x^2+y^2=25\) i punktet \((3,4)\):

Deriver: \(2x+2yy'=0\Rightarrow y'=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{4}\)

Deriver igjen: \(2+2(y')^2+2yy''=0\)

\(\Rightarrow y''=-\dfrac{1+(y')^2}{y}=-\dfrac{1+\tfrac{9}{16}}{4}=-\dfrac{25/16}{4}=-\dfrac{25}{64}\)

Kvadratisk koeffisient: \(\dfrac{y''}{2}=-\dfrac{25}{128}\)

\(T_1(x)=4-\dfrac{3}{4}(x-3)\) (tangentlinjen)

\(T_2(x)=4-\dfrac{3}{4}(x-3)-\dfrac{25}{128}(x-3)^2\)

Lineær approksimasjon i anvendelser

Tangentlinjen brukes til å regne ut verdier i hodet og til feilforplantning. Differensialet \(dy=f'(x)\,dx\) gir \(\Delta y\approx f'(x)\,\Delta x\). Velg utviklingspunktet \(a\) nær verdien du vil tilnærme og der utregningen er enkel.

Eksempel 3 – feilforplantning i kulevolum:

\(V=\dfrac{4}{3}\pi r^3,\quad r=5\ \text{cm},\quad \Delta r=0{,}1\ \text{cm}\)

\(\dfrac{dV}{dr}=4\pi r^2\)

\(\Delta V\approx 4\pi r^2\,\Delta r=4\pi(25)(0{,}1)=10\pi\)

\(\Delta V\approx 31{,}4\ \text{cm}^3\)

Feilvurdering med Lagranges restledd

Hvor god er tilnærmingen? Forskjellen \(f(x)-T_n(x)\) kalles restleddet, og Lagranges form gir oss en eksakt formel med et ukjent mellompunkt \(c\).

Lagranges restledd:

\(R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\), for en \(c\) mellom \(a\) og \(x\).

Feilgrense: \(|R_n(x)|\le \dfrac{M}{(n+1)!}\,|x-a|^{n+1}\), der \(M=\max|f^{(n+1)}|\) på intervallet.

Eksempel 4 – feilgrense for \(e^{0,1}\) med \(T_2\) (om 0):

\(f^{(3)}(x)=e^x\), så \(R_2=\dfrac{e^c}{3!}(0{,}1)^3\) med \(0

Bruk \(M=e^{0{,}1}\le 1{,}2\)

\(|R_2|\le \dfrac{1{,}2}{6}(0{,}001)=0{,}2\cdot 0{,}001=0{,}0002\)

Tilnærming: \(T_2(0{,}1)=1+0{,}1+0{,}005=1{,}105\)

Faktisk feil \(\approx |1{,}10517-1{,}105|=0{,}00017\) — innenfor grensen

Fortegnet til \(R_n\) sier om tilnærmingen er for stor eller for liten. Eksempel: for \(\ln(1+x)\) er \(f''<0\), så den lineære tilnærmingen \(\ln(1{,}05)\approx 0{,}05\) overvurderer (faktisk \(\approx 0{,}0488\)).

Studieguide: Taylorpolynom og tilnærming

Studieguide: Taylorpolynom og tilnærming