Oversikt

ECON2130-eksamen krever at du behersker tre fordelinger: binomisk, Poisson og normalfordelingen. I motsetning til STK1100, som fokuserer pa MGF-utledninger og gammafordelinger, legger ECON2130 vekt pa praktisk bruk: gjenkjenne hvilken fordeling som passer, beregne sannsynligheter, og bruke normalfordelingen som tilnaerming.

Binomisk fordeling

Nar vi har $n$ uavhengige forsok med sannsynlighet $p$ for suksess, er antall suksesser $X$ binomisk fordelt:

$$X \sim \text{Bin}(n, p), \quad P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

$$E(X) = np, \quad V(X) = np(1-p)$$

Pa V2025 ble myntkast modellert med binomisk fordeling ($n = 10$, $p = 0.5$) for a finne $P(X \geq 6)$. Pa V2024 ble antall realfagsstudenter i et utvalg pa 10 modellert binomisk.

Poisson-fordeling

For antall hendelser i et gitt tidsrom eller omrade:

$$X \sim \text{Pois}(\lambda), \quad P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$$

$$E(X) = V(X) = \lambda$$

Pa V2023 ble antall fisk fanget i lopet av en fisketur modellert med Poisson ($\lambda = 4$). Et viktig poeng er at forutsetningene for Poisson-fordeling ble eksplisitt spart om: hendelser skjer uavhengig av hverandre, med konstant rate, og to hendelser kan ikke skje pa noyaktig samme tidspunkt.

Normalfordelingen

$X \sim N(\mu, \sigma^2)$ med standardisering $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$. Pa V2024 ble aksjeverdier modellert normalfordelt. For a finne $P(X_W > 104)$ nar $X_W \sim N(100, 2)$:

$$Z = \frac{104 - 100}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} \approx 2.83$$

$P(X_W > 104) = P(Z > 2.83)$, som er svart liten (ca. 0.002). I R: 1 - pnorm(104, mean=100, sd=sqrt(2)).

Normalfordeling som tilnaerming

Nar $n$ er stor, kan binomisk fordeling tilnaermes med normalfordeling. For $X \sim \text{Bin}(n, p)$:

$$X \approx N(np, np(1-p))$$

Tilsvarende for $\hat{p} = X/n$:

$$\hat{p} \approx N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$$

Pa V2025 ble studenter bedt om a bruke denne tilnaermingen for a finne $P(\hat{p} \geq 0.6)$ nar $n = 200$ og $p = 0.5$, og for a bestemme nodvendig utvalgsstorrelse.

Total sannsynlighet med fordelinger

Pa V2024 ble normalfordeling kombinert med betinget sannsynlighet: aksje C har 30% sjanse for konkurs (verdi = 0), og 70% sjanse for at verdien er $N(10, 2)$. For a finne $P(X_C > 9)$:

$$P(X_C > 9) = P(X_C > 9 | \text{ikke konkurs}) \cdot P(\text{ikke konkurs}) + P(X_C > 9 | \text{konkurs}) \cdot P(\text{konkurs})$$

$$= P(N(10,2) > 9) \cdot 0.7 + 0 \cdot 0.3$$

Eksempel 1: Myntkast og binomisk fordeling (V2025)

Oppgave: Du kaster en mynt $n = 10$ ganger med $p = 0.5$. X = antall kron. (a) Hvilken fordeling har X? (b) Finn $P(X \geq 6)$.

Losning:

(a) $X \sim \text{Bin}(10, 0.5)$. Forventning: $E(X) = 10 \cdot 0.5 = 5$. Varians: $V(X) = 10 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 2.5$.

(b) $P(X \geq 6) = \sum_{k=6}^{10} \binom{10}{k} 0.5^{10}$. Bruker symmetrien: $P(X \geq 6) = P(X \leq 4) = 1 - P(X \leq 5) + P(X = 5)/2$. Alternativt direkte: $P(X \geq 6) = \binom{10}{6}0.5^{10} + \cdots + \binom{10}{10}0.5^{10}$. I R: 1 - pbinom(5, 10, 0.5) $\approx 0.377$.

Eksempel 2: Poisson-fordeling og forutsetninger (V2023)

Oppgave: Antall fisk pa en 4-timers tur er Poisson-fordelt med $\lambda = 4$. Diskuter forutsetningene.

Losning: Poisson-modellen forutsetter at: (1) fangster skjer uavhengig av hverandre -- at du nettopp fanget en fisk pavirker ikke sjansen for neste, (2) raten er konstant over hele fisketuren -- du fanger ikke mer i starten enn pa slutten, (3) det er umulig a fange to fisk pa noyaktig samme tidspunkt. I praksis kan disse vaere brutt: fisk kan samle seg i stimer (avhengighet), og aktiviteten kan variere gjennom dagen (ikke-konstant rate).

Studieguide: Fordelinger

Studieguide: Fordelinger