Studieguide

Konsumentens maksimeringsproblem

En konsument med nyttefunksjon $u(x_1, x_2)$ star overfor priser $p_1$ og $p_2$ og har inntekt $m$. Konsumentens problem er:

$$\max_{x_1, x_2} u(x_1, x_2) \quad \text{gitt} \quad p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$$

Vi antar at nytten er okende i begge goder ($u'_1 > 0, u'_2 > 0$) og at marginalnytten er avtakende ($u''_{11} < 0, u''_{22} < 0$). Budsjettbetingelsen holder med likhet fordi konsumenten alltid bruker hele inntekten nar nytten er voksende.

Losning med Lagrange

Vi setter opp Lagrange-funksjonen:

$$\mathcal{L} = u(x_1, x_2) - \lambda(p_1 x_1 + p_2 x_2 - m)$$

Forsteordensbetingelsene (FOB) er:

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} = u'_1 - \lambda p_1 = 0$$

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} = u'_2 - \lambda p_2 = 0$$

Ved a dividere de to forsteordensbetingelsene pa hverandre eliminerer vi $\lambda$ og far tilpasningsbetingelsen:

$$\frac{u'_1}{u'_2} = \frac{p_1}{p_2}$$

Tolkning av tilpasningsbetingelsen

Venstresiden er den marginale substitusjonsbroken (MRS) -- konsumentens subjektive bytteforhold mellom godene. Den uttrykker hvor mange enheter av gode 2 konsumenten er villig til a gi opp for a fa en ekstra enhet av gode 1. Hoyresiden er det relative prisforholdet pa markedet -- hvor mange enheter av gode 2 konsumenten ma gi opp for a fa en ekstra enhet av gode 1 i markedet. I optimum ma disse vare like. Hvis MRS > prisforholdet, verdsetter konsumenten gode 1 hoyere enn markedet, og kan oke nytten ved a kjope mer av gode 1 og mindre av gode 2.

Grafisk fremstilling

I et $(x_1, x_2)$-diagram er budsjettlinjen en rett linje med helning $-p_1/p_2$ og skjaeringspunkter $m/p_1$ pa $x_1$-aksen og $m/p_2$ pa $x_2$-aksen. Indifferenskurvene er konvekse kurver som viser kombinasjoner som gir lik nytte. Optimum er der den hoyeste oppnaelige indifferenskurven tangerer budsjettlinjen -- ikke skjaerer den. Et punkt der indifferenskurven skjaerer budsjettlinjen er ikke optimalt: konsumenten kan oke nytten ved a bevege seg langs budsjettlinjen.

Innsettingsmetoden vs. Lagrange

Noen oppgaver kan loses med innsettingsmetoden: los budsjettbetingelsen for $x_2 = (m - p_1 x_1)/p_2$, sett inn i nyttefunksjonen, og deriver med hensyn pa $x_1$. Men Lagrange-metoden er mer generell og fungerer alltid -- ogsa for produsentens kostnadsminimering der innsetting ikke er mulig med generelle produktfunksjoner. Sensor aksepterer begge metoder for konsumentproblemet, men du bor beherske Lagrange fordi den trengs i oppgave 3.

Lagrange-multiplikatorens tolkning

Lagrange-multiplikatoren $\lambda$ har en okonomisk tolkning: den maler marginalnytten av en ekstra krone inntekt. Fra FOB ser vi at $\lambda = u'_1/p_1 = u'_2/p_2$, som betyr at nytten av a bruke den siste kronen er lik uansett om den brukes pa gode 1 eller gode 2. Nar dette ikke gjelder, kan konsumenten forbedre sin allokering.