Fra tilpasningsbetingelse til etterspørsel

Tilpasningsbetingelsen $u'_1/u'_2 = p_1/p_2$ og budsjettbetingelsen $p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$ er to ligninger med to ukjente ($x_1$ og $x_2$). Ved å løse disse simultant finner vi de Marshallske etterspørselsfunksjonene $x_1(p_1, p_2, m)$ og $x_2(p_1, p_2, m)$.

Cobb-Douglas nyttefunksjon

Den mest vanlige nyttefunksjonen på eksamen er Cobb-Douglas:

$$u(x_1, x_2) = a \ln x_1 + b \ln x_2 \quad \text{der} \quad a + b = 1$$

eller ekvivalent $u = x_1^a x_2^b$ (monoton transformasjon). Marginalnytten er $u'_1 = a/x_1$ og $u'_2 = b/x_2$. Tilpasningsbetingelsen gir:

$$\frac{a/x_1}{b/x_2} = \frac{p_1}{p_2} \implies p_2 x_2 = \frac{b}{a} p_1 x_1$$

Sett inn i budsjettbetingelsen og bruk $a + b = 1$:

$$p_1 x_1 + \frac{b}{a} p_1 x_1 = m \implies p_1 x_1 \cdot \frac{1}{a} = m$$

$$x_1 = \frac{am}{p_1}, \quad x_2 = \frac{bm}{p_2}$$

Et viktig resultat: konsumenten bruker en fast andel av budsjettet på hvert gode – andelen $a$ på gode 1 og $b$ på gode 2. Merk også at etterspørselen etter gode 1 er uavhengig av $p_2$, og vice versa.

Ekvivalente nyttefunksjoner

To nyttefunksjoner representerer de samme preferansene dersom den ene er en strengt voksende transformasjon av den andre. For eksempel er $u = 0{,}4 \ln x_1 + 0{,}6 \ln x_2$ og $v = 4 \ln x_1 + 6 \ln x_2$ ekvivalente fordi $v = 10u$ og $f(t) = 10t$ er strengt voksende. Rangeringen av varekurver er identisk, og de gir nøyaktig de samme etterspørselsfunksjonene.

Normale og inferiøre goder

Et gode er normalt dersom etterspørselen øker med inntekten: $\partial x_i / \partial m > 0$. Et gode er inferiørt (mindreverdigt) dersom etterspørselen faller med inntekten: $\partial x_i / \partial m < 0$. For Cobb-Douglas: $\partial x_1 / \partial m = a/p_1 > 0$ – begge goder er alltid normale.

Eksempel – Utledning av Cobb-Douglas-etterspørsel og normalitet

Nyttefunksjon: $u = a \ln c_1 + b \ln c_2$ der $a + b = 1$. Prisene er $p_1, p_2$ og inntekten er $m$.

Marginalnytte: $u'_1 = a/c_1$, $u'_2 = b/c_2$

Tilpasningsbetingelse: $\dfrac{a c_2}{b c_1} = \dfrac{p_1}{p_2} \implies p_2 c_2 = \dfrac{b}{a} p_1 c_1$

Sett inn i budsjett og bruk $a + b = 1$: $p_1 c_1 / a = m$

$$c_1 = \frac{am}{p_1}, \quad c_2 = \frac{bm}{p_2}$$

Normalitet: $\partial c_1 / \partial m = a/p_1 > 0$ og $\partial c_2 / \partial m = b/p_2 > 0$.

Eksempel – Ekvivalente nyttefunksjoner

Er $u = 0{,}4 \ln x_1 + 0{,}6 \ln x_2$ og $v = 4 \ln x_1 + 6 \ln x_2$ ekvivalente?

Vi har $v = 10 \cdot u$. Siden $f(t) = 10t$ er strengt voksende, representerer de samme preferanser.

Begge gir etterspørsel: $x_1 = 0{,}4 m / p_1$ og $x_2 = 0{,}6 m / p_2$.

Studieguide: Etterspørselsfunksjoner og komparativ statikk

Studieguide: Etterspørselsfunksjoner og komparativ statikk