Bytteøkonomien og Edgeworth-boks

I en bytteøkonomi har vi to konsumenter A og B og to goder 1 og 2 med gitte totalmengder \(\Omega_1\) og \(\Omega_2\). Hver konsument har en initialbeholdning \((\omega^A_1, \omega^A_2)\) og \((\omega^B_1, \omega^B_2)\). En allokering er en fordeling av godene mellom konsumentene som oppfyller materialbalansen: \(x^A_i + x^B_i = \Omega_i\).

Edgeworth-boksen er et rektangel med bredde \(\Omega_1\) og høyde \(\Omega_2\). Konsument A måles fra nedre venstre hjørne, konsument B fra øvre høyre (rotert 180°). Begge konsumenter har samme budsjettlinje i boksen fordi det A kjøper er nøyaktig det B selger.

Pareto-effektivitet

En allokering er Pareto-effektiv dersom det ikke finnes en alternativ allokering som gir strengt høyere nytte til minst én konsument uten å redusere nytten til den andre. I Edgeworth-boksen er dette der indifferenskurvene tangerer hverandre: \(\text{MRS}^A = \text{MRS}^B\). Kontraktkurven er mengden av alle Pareto-effektive allokeringer i boksen.

Markedslikevekt i bytteøkonomi

En markedslikevekt er et sett med priser \((p_1, p_2)\) og en allokering slik at: (1) begge konsumenter tilpasser seg optimalt gitt budsjettet, og (2) markedene klarerer – total etterspørsel = total tilgang for hvert gode. I Edgeworth-boksen er dette punktet der begge konsumenters høyeste oppnåelige indifferenskurver tangerer hverandre og budsjettlinjen i ett og samme punkt.

Første velferdsteorem

Første velferdsteorem: Enhver markedslikevekt er Pareto-effektiv, forutsatt at:

Konsumentene er rasjonelle pristakere (ingen markedsmakt)
Ingen eksternaliteter
Ingen kollektive goder
Fullstendig informasjon / ingen asymmetrisk informasjon
Rivaliserende og ekskluderbare goder

Intuisjon: I likevekten tilpasser begge konsumenter seg slik at \(\text{MRS}^A = p_1/p_2 = \text{MRS}^B\). Dermed er indifferenskurvene tangente – Pareto-effektivitet.

Andre velferdsteorem

Andre velferdsteorem: Enhver Pareto-effektiv allokering kan understøttes som en markedslikevekt, gitt passende omfordeling av initialbeholdninger og konvekse preferanser. Teoremet skiller mellom effektivitet (sikres av markedet) og fordeling (styres av initialbeholdningen).

Eksempel – Argument for at markedslikevekten er Pareto-effektiv

For at A skal få høyere nytte, må A nå en allokering strengt over sin nåværende indifferenskurve. Men materialbalansen krever at B da får en allokering strengt under sin nåværende indifferenskurve – altså lavere nytte. Siden indifferenskurvene tangerer i likevekten, er begge krav umulig å tilfredsstille simultaneously. Dermed er det ingen Pareto-forbedring mulig.

Eksempel – Beregning av likevektspris

Begge konsumenter har \(u = 2\sqrt{x} + c\). A eier 2 enheter \(x\), B eier 0. Prisen på \(c\) er 1, prisen på \(x\) er \(p\).

Maksimer \(2\sqrt{x} + (m - px)/1\) mhp. \(x\): FOB gir \(1/\sqrt{x} = p\), dvs. \(x = 1/p^2\).

Total etterspørsel etter \(x\): \(2/p^2\). Total tilgang: 2.

Klarering: \(2/p^2 = 2 \implies p^2 = 1 \implies p = 1\).

Studieguide: Generell likevekt og velferdsteorem

Studieguide: Generell likevekt og velferdsteorem