Kostnadsminimeringsproblemet

En bedrift produserer varen $Y$ med kapital $K$ og arbeidskraft $L$. Produktfunksjonen er $Y = F(K, L)$ med $F'_K > 0$, $F'_L > 0$, $F''_{KK} < 0$, $F''_{LL} < 0$. Bedriften ønsker å produsere en gitt mengde $\bar{Y}$ til lavest mulige kostnader:

$$\min_{K,L} rK + wL \quad \text{gitt} \quad F(K, L) = \bar{Y}$$

Her er $r$ prisen på kapital og $w$ lønnen. Vi løser med Lagrange:

$$\mathcal{L} = rK + wL - \lambda(F(K,L) - \bar{Y})$$

Førstegradsbetingelsene gir tilpasningsbetingelsen:

$$\frac{F'_K}{F'_L} = \frac{r}{w}$$

Tolkning: MRTS = faktorprisforholdet

Venstresiden er den marginale tekniske substitusjonsbrøken (MRTS eller MTSB) – antall enheter arbeidskraft bedriften kan erstatte med én ekstra enhet kapital og fremdeles produsere like mye. Høyresiden er faktorprisforholdet – hva én enhet kapital koster relativt til arbeidskraft. Grafisk er kostnadsminimum der isokvanten tangerer isokostlinjen.

Skalautbytte

Skalautbytte beskriver hva som skjer med produksjonen når alle innsatsfaktorer øker proporsjonalt med faktoren $t > 1$:

Konstant skalautbytte: $F(tK, tL) = t F(K,L)$ – dobling av innsats gir dobbel produksjon. Kostnadsfunksjonen er lineær: $c(Y) = c \cdot Y$. Marginalkostnad = gjennomsnittskostnad = $c$ for alle $Y$.
Avtakende skalautbytte: $F(tK, tL) < t F(K,L)$ – dobling av innsats gir mindre enn dobbel produksjon. Kostnadsfunksjonen er konveks (stigende marginalkostnader).
Tiltakende skalautbytte: $F(tK, tL) > t F(K,L)$ – dobling av innsats gir mer enn dobbel produksjon. Kostnadsfunksjonen er konkav (synkende marginalkostnader).

Kostnadsfunksjonens grafiske form

Med konstant skalautbytte er kostnadsfunksjonen en rett linje gjennom origo, og marginalkostnadskurven er horisontal. Med avtakende skalautbytte buker kostnadsfunksjonen oppover (konveks), og marginalkostnadskurven er stigende.

Eksempel – Kostnadsminimering med Lagrange

Minimer $rK + wL$ gitt $F(K,L) = \bar{Y}$.

$\mathcal{L} = rK + wL - \lambda(F(K,L) - \bar{Y})$

FOB: $r - \lambda F'_K = 0$ og $w - \lambda F'_L = 0$

Del: $r/w = F'_K / F'_L$ – tilpasningsbetingelse

Tolkning: MRTS = faktorprisforholdet. Bytteforholdet mellom kapital og arbeidskraft i produksjonen er lik markedsprisen på dette byttet.

Eksempel – Skalautbytte og kostnader

Tre ulike teknologier, konstante faktorpriser:

Konstant skalautbytte: $c(Y) = kY$ – rett linje, $MC = AC = k$.

Avtakende skalautbytte: $c(Y)$ konveks (buker oppover) – stigende MC.

Tiltakende skalautbytte: $c(Y)$ konkav (buker nedover) – synkende MC.

Studieguide: Produsentteori og kostnadsminimiering