ECON3120

Studieguide

God oversikt over pensum med forklaringer, formler, vanlige feil og eksamenstips.

Introduksjon

Denne studieguiden dekker de sentrale temaene i ECON3120/4120 Matematikk 2 ved Universitetet i Oslo. Til tross for emnekoden er dette et rent matematikkfag som gir verktoyene okonomer trenger: lineaer algebra, optimering med bibetingelser, integrasjon, differensiallikninger, differenslikninger og dynamisk programmering.

Eksamen er en 4-timers skriftlig skoleeksamen med tilgang til vedlegget "Rules and formulas" og enkel kalkulator i Inspera. Typisk format er 4-5 problemer med deloppgaver (a, b, c, d), der hvert bokstavpunkt teller likt. Oppgavene bygger ofte pa hverandre: informasjon fra (a) brukes i (c), selv om du ikke klarte (a).

Basert pa eksamener fra 2023-2025 gar disse temaene igjen hver gang: (1) implisitt derivasjon av likningssystemer, (2) matriseregning med determinant og Cramers regel, (3) Lagrange-optimering med konveksitet/konkavitet, (4) dynamisk programmering med Bellman-likning, (5) integrasjon ved delvis integrasjon, og (6) differensial- eller differenslikninger. Du ma beherske alle disse for a fa en god karakter. Vis alltid utregninger og begrunn hvert steg.

Lineaer algebra og matriser

Matriseprodukter, determinanter, inverse matriser, Cramers regel og likningssystemer med parametre. Kommer pa nesten alle eksamener, ofte som Problem 1 eller 2.

Matriseprodukter og dimensjoner

Et sentralt tema pa eksamen er a avgjore hvilke matriseprodukter som er veldefinerte. Regelen er enkel: produktet $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$ er veldefinert hvis og bare hvis antall kolonner i $\mathbf{A}$ er lik antall rader i $\mathbf{B}$ . Hvis $\mathbf{A}$ er $m \times n$ og $\mathbf{B}$ er $n \times p$ , er produktet $m \times p$ . Typiske oppgaver gir deg en vektor $\mathbf{v}_t$ ( $4 \times 1$ ), en matrise $\mathbf{M}_t$ ( $4 \times 2$ ) og en matrise $\mathbf{A}_t$ ( $4 \times 4$ ), og ber deg sjekke produkter som $(\mathbf{v}_t)^2$ , $\mathbf{M}_t' \mathbf{M}_t$ , $\mathbf{M}_t \mathbf{A}_t$ , $\mathbf{A}_t \mathbf{M}_t$ og $(\mathbf{A}_t)^2$ . Husk at $(\mathbf{v}_t)^2 = \mathbf{v}_t \cdot \mathbf{v}_t$ krever at dimensjonene matcher — en $4 \times 1$ -vektor ganget med seg selv er ikke veldefinert, men $\mathbf{v}_t' \mathbf{v}_t$ ( $1 \times 4$ ganger $4 \times 1$ ) gir en skalar.

Determinanter

Determinanten til en $3 \times 3$ -matrise beregnes med kofaktorekspansjon. For matrisen $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$ er $\det(\mathbf{A}) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$ . Pa eksamen inneholder matrisen ofte en parameter $t$ eller $w$ , slik at determinanten blir et uttrykk i denne parameteren. Determinanten er null for spesielle verdier av parameteren — dette betyr at matrisen er singulaer og systemet $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$ kan ha ingen eller uendelig mange losninger.

Cramers regel

Nar $\det(\mathbf{A}) \neq 0$ , kan vi lose $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$ med Cramers regel: $x_i = \frac{\det(\mathbf{A}_i)}{\det(\mathbf{A})}$ , der $\mathbf{A}_i$ er matrisen der kolonne $i$ er erstattet med $\mathbf{b}$ . Eksamensoppgavene ber ofte om a vise at en spesifikk variabel er null ved a vise at den tilhorende determinanten $\det(\mathbf{A}_i) = 0$ . Husk: Cramers regel gir entydig losning bare nar determinanten er ulik null.

Likningssystemer med parameter

En klassisk oppgavetype (H2025, Problem 1) gir et $3 \times 3$ -system med parameter $a$ og ber deg finne for hvilke verdier av $a$ systemet har (i) noyaktig en losning, (ii) ingen losning, (iii) uendelig mange losninger. Fremgangsmaten er: beregn determinanten som funksjon av $a$ , finn verdiene der den er null, og undersok hva som skjer ved disse spesielle verdiene. Nar $\det \neq 0$ : entydig losning. Nar $\det = 0$ : sjekk om systemet er konsistent (uendelig mange losninger) eller inkonsistent (ingen losning).

Eksempel 1 (H2025, Problem 1a-b)

System: $x + z = 1$ , $ax + y + z = 1$ , $x + y + az = -2$ . Koeffisientmatrise med parameter $a$ .

\det(\mathbf{A}) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = 1(a-1) - 0 + 1(a-1) = 2(a-1) + \ldots

Finn nullpunkter: sett

\det = 0

og los for

a

For

a

-verdier der

\det \neq 0

: entydig losning

For

a

-verdier der

\det = 0

: sjekk konsistens via radreduksjon

Eksempel 2 (H2023, Problem 2d)

Gitt $\mathbf{M}_w = \begin{pmatrix} 2 & -5 & 0 \\ 1 & 0 & -3 \\ 0 & 4 & w \end{pmatrix}$ , $\mathbf{b}_w = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ w \end{pmatrix}$ . For $w = 0$ , vis at $x_2 = 0$ med Cramers regel.

Beregn

\det(\mathbf{M}_0)

\det(\mathbf{M}_{0,2})

(kolonne 2 erstattet med

\mathbf{b}_0

)

x_2 = \frac{\det(\mathbf{M}_{0,2})}{\det(\mathbf{M}_0)} = \frac{0}{\det(\mathbf{M}_0)} = 0

Nøkkelformler

•$ $\det(\mathbf{A}) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$ $ -- Kofaktorekspansjon for 3x3-matrise
•$ $\displaystyle x_i = \frac{\det(\mathbf{A}_i)}{\det(\mathbf{A})}$ $ -- Cramers regel (krever $\det(\mathbf{A}) \neq 0$)
•$ $\displaystyle \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \text{adj}(\mathbf{A})$ $ -- Invers matrise via adjungert
•$ $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b} \Rightarrow \mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}$ $ -- Losning via invers

Vanlige feil

⚠️Glemmer a sjekke dimensjoner for matriseprodukter: (4x1)(4x1) er IKKE veldefinert, men (1x4)(4x1) gir en skalar
⚠️Regner determinanten feil ved fortegnsfeil i kofaktorekspansjonen — vekslingen +, -, + i forste rad er kritisk
⚠️Bruker Cramers regel nar determinanten er null — da er regelen ikke anvendbar
⚠️Nar oppgaven sier 'bruk Cramers regel', gir andre metoder null poeng — les oppgaveteksten noyaktig

Eksamenstips

💡Sjekk alltid dimensjonene for du begynner a multiplisere matriser — skriv dimensjonene eksplisitt som (mxn)(nxp)=(mxp)
💡Nar du beregner determinanter med parameter, faktoriser uttrykket for a finne nullpunktene enkelt
💡Vis Cramers regel steg for steg: skriv opp bade den originale determinanten og den modifiserte
💡Nar matrisen inneholder nuller, ekspander langs raden/kolonnen med flest nuller for a spare tid

Laster...