Cramers regel

For et $n\times n$-system $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ med $\det(\mathbf{A})\neq 0$ gir Cramers regel:

$$x_i = \frac{\det(\mathbf{A}_i)}{\det(\mathbf{A})}$$

der $\mathbf{A}_i$ er matrisen der kolonne $i$ er erstattet med $\mathbf{b}$. Regelen er særlig nyttig når oppgaven ber om én bestemt ukjent (f.eks. «vis at $x_2=0$») — du trenger bare å beregne $\det(\mathbf{A}_2)$ og vise at den er null.

Typisk eksamenoppsett

H2023, Problem 2d: for $w=0$, vis at $x_2=0$ er den unike løsningen til $\mathbf{M}_0\mathbf{x}=\mathbf{b}_0$ der $\mathbf{M}_0=\begin{pmatrix}2&-5&0\\1&0&-3\\0&4&0\end{pmatrix}$ og $\mathbf{b}_0=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}$. Beregn $\det(\mathbf{M}_0)\neq 0$ og $\det((\mathbf{M}_0)_2)=0$ — ferdig.

Kombinasjon med parameteranalyse

Ofte kombineres Cramers regel med en parameter-avhengig matrise. Fremgangsmåte:

Beregn $\det(\mathbf{A}(t))$ som funksjon av $t$
Finn $t$-verdier der $\det=0$ (singulære tilfeller)
For $\det\neq 0$: bruk Cramers regel
For $\det=0$: klassifiser via radreduksjon

Kobling til implisitt derivasjon

Etter differensiering av et likningssystem (se seksjonen om implisitt funksjonsteorem) oppstår et lineært system på formen $\mathbf{J}\,d\mathbf{x} = \mathbf{c}\,dp$. Cramers regel brukes til å finne de spesifikke deriverte $dx_i/dp$.

Eksempel (vis at en variabel er null)

System: $2x_1-5x_2=0$, $x_1-3x_3=4$, $4x_2=0$. Vis at $x_2=0$ med Cramers regel.

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix}2&-5&0\\1&0&-3\\0&4&0\end{pmatrix}$, $\mathbf{b}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}$

$\det(\mathbf{A}) = 2(0-(-3)\cdot4)-(-5)(0-0)+0 = 24\neq 0$ — entydig løsning

$\mathbf{A}_2=\begin{pmatrix}2&0&0\\1&4&-3\\0&0&0\end{pmatrix}$: tredje rad er null, $\det(\mathbf{A}_2)=0$

$x_2 = 0/24 = 0$ ✓

Studieguide: Cramer's Rule and Equation Systems with Parameters

Studieguide: Cramer's Rule and Equation Systems with Parameters