Lineær førsteordens ODE

Standardform: $\dot{x}(t) + a(t)x(t) = b(t)$. Den generelle løsningen (formel F1) er:

$$x(t) = e^{-A(t)}\left(C + \int b(t)e^{A(t)}\,dt\right)$$

der $A(t) = \int a(t)\,dt$. For konstante koeffisienter $a,b$: $x(t) = Ce^{-at} + b/a$. For å finne $C$: bruk initialbetingelsen $x(t_0) = x_0$.

Hjelpemetode: homogen + partikulær

Den homogene løsningen $x_h$ løser $\dot{x}+ax=0$: $x_h = Ce^{-at}$. Den partikulære løsningen $x_p$ løser hele likningen. Metoden «gjett og verifiser»: anta en form for $x_p$ (f.eks. konstant, eksponential, polynom) og finn koeffisientene ved innsetting. H2024, Problem 5a: gjett $x_p = q\cdot 2^{-t}+h$ for $\dot{x}-\frac{3}{4}x=7-2^{-t}$. Sett inn og sammenlign koeffisienter til $2^{-t}$ og konstantleddet.

Separable ODE-er

Formen $\dot{x} = f(t)g(x)$ løses ved separasjon: $\int\frac{dx}{g(x)} = \int f(t)\,dt + C$. Husk å sjekke konstante løsninger: hvis $g(x_0)=0$, er $x\equiv x_0$ en løsning. H2023, Problem 3d: $\dot{x} = (e-x)x\cdot t\ln(t^3e^4)$ — her er $x\equiv 0$ og $x\equiv e$ konstante løsninger, og høyresiden bruker delbrøker for integrasjon.

Kobling til integrasjon

Differensiallikninger og integrasjon er tett koblet på eksamen. H2025, Problem 4 bygger differensiallikningen $tI'(t)+I(t) = \alpha^2 e^{t\alpha} - \ldots$ fra integralresultatene i (a)–(b), og ber om en partikulær løsning med $I(1)=1$. Hvis $\hat{I}$ er en partikulær løsning, er $I = \hat{I} + C/t$ også en løsning (del (c)), og $C$ finnes fra initialbetingelsen (del (d)).

Eksempel (gjetting av partikulær løsning)

Finn koeffisientene $q, h$ slik at $x_p(t) = q\cdot 2^{-t}+h$ løser $\dot{x} - \frac{3}{4}x = 7-2^{-t}$.

$\dot{x}_p = -q\ln 2\cdot 2^{-t}$

Sett inn: $-q\ln 2\cdot 2^{-t} - \frac{3}{4}(q\cdot 2^{-t}+h) = 7 - 2^{-t}$

Koeffisient til $2^{-t}$: $-q\ln 2 - \frac{3q}{4} = -1 \Rightarrow q = \frac{1}{\ln 2 + 3/4}$

Konstantledd: $-\frac{3h}{4} = 7 \Rightarrow h = -28/3$

Lineær første­ordens ODE

Hjelpemetode: homogen + partikulær

Separable ODE-er

Kobling til integrasjon

Lineær førsteordens ODE

Studieguide: Differential Equations (First-Order Linear and Separable)