Delvis integrasjon

Formelen er \(\int u\,dv = uv - \int v\,du\), eller ekvivalent \(\int f'(t)g(t)\,dt = f(t)g(t) - \int f(t)g'(t)\,dt\) (formel E3 i vedlegget). Valget av \(u\) og \(dv\): la \(u\) være funksjonen som forenkles ved derivering (logaritmer, polynomer) og \(dv\) være funksjonen som integreres enkelt (eksponentialfunksjoner). Huskeliste: LIATE — Logaritmer, Invers trig, Algebra (polynomer), Trig, Eksponential — velg \(u\) fra venstre i rekkefølgen.

Iterert delvis integrasjon

Noen ganger kreves flere runder (f.eks. \(\int x^2 e^x\,dx\)). H2024, Problem 5c: vis at \(\int(1-r)\frac{(\ln z)^2}{z^r}\,dz = \frac{\alpha(\ln z)^2+\beta\ln z+\gamma}{z^{r-1}}+C\) ved delvis integrasjon. Her velger du \(u=(\ln z)^2\) og \(dv=(1-r)z^{-r}\,dz = d(z^{1-r})\) for \(r\neq 1\), og itererer. Merk: \(r=1\) krever spesiell behandling (\(\int (\ln z)^2/z\,dz = (\ln z)^3/3+C\)).

Parameteravhengige integraler og Leibniz' regel

Leibniz' regel (E8): \(\frac{d}{dt}\int_{a(t)}^{b(t)} f(x,t)\,dx = f(b,t)b'(t) - f(a,t)a'(t) + \int_{a}^{b} f_t'(x,t)\,dx\). H2025, Problem 4b: \(J(t) = \int_0^\alpha e^{tx}\,dx\), vis at \(J'(t) = I(t) = \int_0^\alpha xe^{tx}\,dx\). Her er grensene konstante, så \(J'(t) = \int_0^\alpha xe^{tx}\,dx = I(t)\).

Uegentlige integraler

Et uegentlig integral har uendelig integrasjonsintervall eller singularitet i integranden. Konvergenstesten: beregn grenser. For \(\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{R\to\infty}\int_a^R f(x)\,dx\). For singularitet i \(c\in(a,b)\): split og ta ensidige grenser. Divergens avsløres typisk ved at \(\ln|x-c|\to\pm\infty\).

Eksempel (delvis integrasjon med parameterintegral)

Vis at \(I(t) = \int_0^\alpha xe^{tx}\,dx = \frac{\alpha e^{t\alpha}}{t} - \frac{1}{t}J(t)\), der \(J(t) = \int_0^\alpha e^{tx}\,dx\).

Velg \(u = x\) (deriveres til 1) og \(dv = e^{tx}\,dx\) (integreres til \(e^{tx}/t\))

\(I(t) = \left[\frac{xe^{tx}}{t}\right]_0^\alpha - \int_0^\alpha \frac{e^{tx}}{t}\,dx = \frac{\alpha e^{t\alpha}}{t} - \frac{1}{t}J(t)\)

Deretter: \(J'(t) = \int_0^\alpha xe^{tx}\,dx = I(t)\) (Leibniz med konstante grenser)

Studieguide: Integration by Parts and Improper Integrals