Dimensjonsregler

Produktet \(\mathbf{A}\mathbf{B}\) er veldefinert hvis og bare hvis antall kolonner i \(\mathbf{A}\) er lik antall rader i \(\mathbf{B}\). Hvis \(\mathbf{A}\) er \(m\times n\) og \(\mathbf{B}\) er \(n\times p\), er produktet \(m\times p\). Transponering snur dimensjonene: \(\mathbf{A}'\) er \(n\times m\) når \(\mathbf{A}\) er \(m\times n\).

Typisk eksamenoppsett (H2024, Problem 2): vektor \(\mathbf{v}_t\) (\(4\times 1\)), matrise \(\mathbf{M}_t\) (\(4\times 2\)), matrise \(\mathbf{A}_t\) (\(4\times 4\)). Du bes sjekke produktene \((\mathbf{v}_t)^2\), \(\mathbf{M}_t'\mathbf{M}_t\), \(\mathbf{M}_t\mathbf{A}_t\), \(\mathbf{A}_t\mathbf{M}_t\), \((\mathbf{A}_t)^2\):

\((\mathbf{v}_t)^2 = \mathbf{v}_t \cdot \mathbf{v}_t\): \((4\times 1)(4\times 1)\) — ikke veldefinert (indre dimensjoner passer ikke)
\(\mathbf{M}_t'\mathbf{M}_t\): \((2\times 4)(4\times 2) = 2\times 2\) — veldefinert, kvadratisk men ikke \(4\times 4\)
\(\mathbf{M}_t\mathbf{A}_t\): \((4\times 2)(4\times 4)\) — ikke veldefinert
\(\mathbf{A}_t\mathbf{M}_t\): \((4\times 4)(4\times 2) = 4\times 2\) — veldefinert
\((\mathbf{A}_t)^2\): \((4\times 4)(4\times 4) = 4\times 4\) — veldefinert

Beregning av produkter

Når oppgaven ber om beregning av ett av de kvadratiske produktene (H2024 ber om det ene \(2\times 2\)-produktet \(\mathbf{M}_t'\mathbf{M}_t\)), bruk standard matrisemultiplikasjon. Husk at \((\mathbf{M}_t'\mathbf{M}_t)_{ij} = \sum_k (M_t)_{ki}(M_t)_{kj}\) — altså dot-produktet av kolonne \(i\) og kolonne \(j\) i \(\mathbf{M}_t\).

Transponering og symmetri

\(\mathbf{M}'\mathbf{M}\) er alltid symmetrisk: \((\mathbf{M}'\mathbf{M})' = \mathbf{M}'(\mathbf{M}')' = \mathbf{M}'\mathbf{M}\). Likeledes er \(\mathbf{M}\mathbf{M}'\) symmetrisk. Disse produktene er også positivt semidefinitte, noe som er nyttig i konveksitetsargumenter.

Eksempel (dimensjonssjekk og beregning)

La \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\\t\end{pmatrix}\) (\(4\times 1\)) og \(\mathbf{M} = \begin{pmatrix}1&2\\0&3\\1&0\\t&-4\end{pmatrix}\) (\(4\times 2\)). Beregn \(\mathbf{M}'\mathbf{M}\) (\(2\times 2\)).

\((\mathbf{M}'\mathbf{M})_{11} = 1^2+0^2+1^2+t^2 = 2+t^2\)

\((\mathbf{M}'\mathbf{M})_{12} = (\mathbf{M}'\mathbf{M})_{21} = 1\cdot2+0\cdot3+1\cdot0+t\cdot(-4) = 2-4t\)

\((\mathbf{M}'\mathbf{M})_{22} = 4+9+0+16 = 29\)

Resultat: \(\mathbf{M}'\mathbf{M} = \begin{pmatrix}2+t^2 & 2-4t \\ 2-4t & 29\end{pmatrix}\)

Studieguide: Linear Algebra: Matrix Operations and Products

Studieguide: Linear Algebra: Matrix Operations and Products