Oversikt

Ikke-lineære spesifikasjoner er testet på 4 av 5 eksamener. Du skal kjenne igjen riktig funksjonell form fra grafiske mønstre (V2025 Oppgave 2), tolke polynom- og log-spesifikasjoner, og sette opp interaksjonsmodeller for å teste om effekter er like mellom grupper.

Kvadratledd og polynomer

For å modellere et ikke-lineært (kurvekoblet) forhold mellom $X$ og $Y$:

$$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \beta_2 X_i^2 + u_i$$

I R: feols(y ~ x + I(x^2), data). Den marginale effekten av $X$: $\partial Y/\partial X = \beta_1 + 2\beta_2 X$. Knekkpunktet (maksimum/minimum): $X^* = -\beta_1/(2\beta_2)$.

Gjennomsnittlig marginal effekt: $\bar{\beta}_1 + 2\hat{\beta}_2 \bar{X}$ (evaluert i gjennomsnittet av $X$).

Interaksjonsmodeller

For å teste om effekten av $X$ avhenger av en dummyvariabel $D$:

$$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \beta_2 D_i + \beta_3 (X_i \cdot D_i) + u_i$$

$\beta_2$: skift i konstantledd mellom grupper. $\beta_3$: skift i helning mellom grupper. Effekten av $X$ for gruppen $D=1$: $\beta_1 + \beta_3$. Nullhypotesen om like helninger: $H_0: \beta_3 = 0$.

I R: feols(y ~ x*d, data) (inkluderer $x$, $d$ og interaksjonen $x:d$ automatisk). For å teste $H_0: \beta_3 = 0$, bruk t-test på interaksjonsleddet.

Knekkpunkt-regresjon

Lar effekten av $X$ variere over ulike segmenter. Eksempel med knekkpunkt ved $c$:

$$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \beta_2 (X_i - c) \cdot D_i + u_i$$

der $D_i = \mathbf{1}(X_i \geq c)$. Helningen er $\beta_1$ for $X < c$ og $\beta_1 + \beta_2$ for $X \geq c$.

Identifisere form fra grafer

Mønstre og tilhørende modeller:

Rett linje: $Y \sim X$
To parallelle linjer (to grupper): $Y \sim X + D$
To linjer med ulik helning: $Y \sim X \times D$ (= $Y \sim X + D + X:D$)
Kurvekoblet (U-form/invertert U): $Y \sim X + I(X^2)$
Logaritmisk kurve: $Y \sim \log(X)$

Eksempel 1: Aldersprofil med kvadratledd (inspirert av V2022)

Oppgave: Regresjon: feols(ahe ~ bachelor + age + I(age^2), df). Koeffisienter: $\hat{\beta}_{\text{age}} = 1.501$, $\hat{\beta}_{\text{age}^2} = -0.019$. Beregn gjennomsnittlig marginal effekt av alder, med $\bar{\text{age}} = 29.7$.

Løsning: Marginal effekt av alder: $\partial \text{ahe}/\partial \text{age} = 1.501 + 2 \times (-0.019) \times \text{age}$.

Evaluert i $\bar{\text{age}} = 29.7$: $1.501 - 0.038 \times 29.7 = 1.501 - 1.129 = 0.372$ dollar/år.

Knekkpunkt (topp): $\text{age}^* = -1.501 / (2 \times (-0.019)) = 1.501/0.038 \approx 39.5$ år.

Eksempel 2: Interaksjonsmodell for heterogene effekter (inspirert av V2023)

Oppgave: Test om effekten av sigaretter på fødselsvekt er den samme for mødre med og uten videregående utdanning ($\text{motheduc} \geq 12$ vs. $< 12$). Sett opp regresjonsmodellen og nullhypotesen.

Løsning: La $D_i = \mathbf{1}(\text{motheduc}_i \geq 12)$. Regresjonen:

$$\text{bwght}_i = \beta_0 + \beta_1 \cdot \text{cigs}_i + \beta_2 D_i + \beta_3 (\text{cigs}_i \cdot D_i) + u_i$$

Effekten for $D=0$ (uten VGS): $\beta_1$. Effekten for $D=1$ (med VGS): $\beta_1 + \beta_3$. Nullhypotesen om like effekter: $H_0: \beta_3 = 0$. Test med t-test på interaksjonsleddet.

Studieguide: Ikke-lineære spesifikasjoner

Studieguide: Ikke-lineære spesifikasjoner