Oversikt

Multippel regresjon utgjør grunnstammen i enhver ECON3150-eksamen. Du får typisk 3–5 regresjonsmodeller med stigende antall kontrollvariabler, og skal tolke koeffisienter, sammenligne modeller og bruke F-testen til å teste felles signifikans.

Tolkning ceteris paribus

I multippel regresjon $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \cdots + \beta_k X_{ki} + u_i$ tolkes $\hat{\beta}_j$ som den gjennomsnittlige endringen i $Y$ for én enhets økning i $X_j$, holdt alle andre variabler konstant (ceteris paribus). Dette skiller multippel OLS fra enkel OLS.

F-test for felles signifikans

For å teste $H_0: \beta_{j_1} = \beta_{j_2} = \cdots = \beta_{j_q} = 0$ (q restriksjoner), bruk F-statistikken:

$$F = \frac{(SSR_{\text{restricted}} - SSR_{\text{unrestricted}}) / q}{SSR_{\text{unrestricted}} / (n - k - 1)}$$

Tilsvarende med $R^2$:

$$F = \frac{(R^2_{ur} - R^2_r) / q}{(1 - R^2_{ur}) / (n - k_{ur} - 1)}$$

Under homoskedastisitet og $H_0$: $F \sim F_{q, n-k-1}$. Med stor $n$: bruk $F_{q,\infty}$-tabellen. Forkast $H_0$ på nivå $\alpha$ dersom $F > F_{q,\infty,\alpha}$.

R² og justert R²

$R^2$ øker alltid (eller er uendret) når vi legger til variabler. Justert $R^2$ straffer for ekstra variabler:

$$\bar{R}^2 = 1 - \frac{SSR/(n-k-1)}{SST/(n-1)} = 1 - \frac{(1-R^2)(n-1)}{n-k-1}$$

Justert $R^2$ kan brukes til å sammenligne modeller med ulikt antall regressorer. Likevel: F-testen er mer formell for å teste om ekstra variabler bidrar signifikant.

Skaleringseffekter

Endring i måleenhet på en uavhengig variabel (f.eks. fra USD til 1000s USD) skalerer kun den tilhørende koeffisienten (og SE). Konstantledd og andre koeffisienter er uendret. Endring i måleenhet på avhengig variabel skalerer alle koeffisienter og standardfeil med samme faktor; $R^2$ endres ikke.

Eksempel 1: F-test med R² (inspirert av V2025)

Oppgave: Modell A (med bedrooms og age): $R^2 = 0.232$. Modell B (uten): $R^2 = 0.092$. $n = 200$, $k_{ur} = 4$. Test felles nullitet av bedrooms og age.

Løsning: $q = 2$ restriksjoner.

$$F = \frac{(0.232 - 0.092)/2}{(1 - 0.232)/(200 - 4 - 1)} = \frac{0.070}{0.768/195} = \frac{0.070}{0.00394} \approx 17.8$$

Kritisk verdi $F_{2,\infty}$ på 10%: 2.30; på 1%: 4.61. Siden $17.8 \gg 4.61$, forkaster vi $H_0$ på alle konvensjonelle signifikansnivåer. bedrooms og age er felles signifikante.

Eksempel 2: Skalering av avhengig variabel

Kontekst (inspirert av V2023): Fødselsvekt måles i ounces. Koeffisient på cigs i reg1: $-0.514$ ounces/sigarett. Hvis fødselsvekt måles i gram (1 oz = 28.35 g), blir koeffisienten $-0.514 \times 28.35 = -14.6$ gram/sigarett. Alle andre koeffisienter og SE skaleres tilsvarende med 28.35. $R^2$ = uendret.

Studieguide: Multippel regresjon og modellvalg

Studieguide: Multippel regresjon og modellvalg