Oversikt

Probit og logit brukes når den avhengige variabelen er binær ($Y \in \{0, 1\}$). De er testet på V2021 (sannsynlighet for å bestå eksamen) og V2022 (medisinsk skole / inntekt). Modellene estimeres med MLE, ikke OLS.

Lineær sannsynlighetsmodell (LPM)

$$P(Y_i = 1 | X_i) = \beta_0 + \beta_1 X_i$$

Enkel å tolke: $\beta_1$ er endringen i sannsynlighet for én enhets økning i $X$. Ulemper: predikerte sannsynligheter kan være utenfor [0, 1]; koeffisientene kan være gode tilnærminger for moderate effekter.

Probit-modellen

$$P(Y_i = 1 | X_i) = \Phi(\beta_0 + \beta_1 X_i)$$

der $\Phi$ er den kumulative standardnormalfordelingen. Koeffisientene tolkes IKKE direkte som marginale effekter — de er i «probit-skala». Marginal effekt av $X$ for observasjon $i$: $\phi(\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_i) \cdot \hat{\beta}_1$ der $\phi = \Phi'$ er normalfordelte tetthetsfunksjon.

Logit-modellen

$$P(Y_i = 1 | X_i) = \frac{e^{\beta_0 + \beta_1 X_i}}{1 + e^{\beta_0 + \beta_1 X_i}} = \Lambda(\beta_0 + \beta_1 X_i)$$

der $\Lambda$ er den logistiske funksjonen. Odds ratio: $\text{Odds} = e^{\beta_0 + \beta_1 X_i}$. Én enhets økning i $X$ multipliserer oddsen med $e^{\beta_1}$.

Predikerte sannsynligheter

For å beregne predikert sannsynlighet for et individ med kovariater $(X_1, X_2, \ldots)$:

Beregn den lineære indeksen $z = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_1 + \ldots$
For probit: $\hat{P} = \Phi(z)$ — bruk $\Phi$-tabellen fra eksamensvedlegget
For logit: $\hat{P} = e^z / (1 + e^z)$

Sammenligning av metoder

Modell	Fordeler	Ulemper
LPM	Enkel tolkning; kan bruke OLS	P utenfor [0,1]
Probit	P alltid i [0,1]; god for normalfordelte data	Kompleks tolkning av koeffisienter
Logit	P alltid i [0,1]; enkel odds-tolkning	Kompleks tolkning av koeffisienter

Eksempel 1: Predikert sannsynlighet og marginal effekt (inspirert av V2021)

Oppgave: Probit-regresjon av passed på summer_school og disadvantaged gir $\hat{\beta}_0 = 0.5$, $\hat{\beta}_{\text{ss}} = 0.8$, $\hat{\beta}_{\text{dis}} = -0.6$. Beregn sannsynligheten for å bestå for en fordelaktig bakgrunn-student som deltok på sommerskole ($\text{ss} = 1$, $\text{dis} = 0$).

Løsning: Lineær indeks: $z = 0.5 + 0.8 \times 1 - 0.6 \times 0 = 1.3$. Predikert sannsynlighet: $\Phi(1.3) \approx 0.903$ (fra $\Phi$-tabellen). Marginal effekt av sommerskole: $\phi(1.3) \times 0.8 \approx 0.171 \times 0.8 \approx 0.137$. Tolkning: sommerskolen øker sannsynligheten for å bestå med ca. 13.7 prosentpoeng for et individ med denne bakgrunnen.

Eksempel 2: Interaksjon i probit/logit (inspirert av V2021)

Oppgave: Probit med interaksjon mellom summer_school og disadvantaged: koeffisient $\hat{\beta}_{\text{ss} \times \text{dis}} < 0$. Hva betyr dette?

Løsning: En negativ interaksjonskoeffisient antyder at effekten av sommerskole er svakere for elever fra vanskeligstilte bakgrunner sammenlignet med ikke-vanskeligstilte elever. Tolkning i probit: den marginale effekten av sommerskole avhenger av alle kovariater — beregn alltid ved å evaluere i spesifikke kovariat-kombinasjoner, ikke bare lese av koeffisienten.

Studieguide: Probit og logit-modeller