Oversikt

Utelatt variabel-bias (Omitted Variable Bias, OVB) oppstår når en variabel som påvirker utfallet ($Y$) og er korrelert med forklaringsvariabelen ($X$) utelates fra regresjonen. OVB-formelen er et av de viktigste verktøyene på ECON3150 — alle eksamener (V2022–V2025) har oppgaver om OVB.

OVB-formelen

Betrakt den korte regresjonen (uten kontrollvariabel $W$):

$$Y_i = \tilde{\beta}_0 + \tilde{\beta}_1 X_i + \tilde{u}_i$$

og den lange regresjonen (med $W$):

$$Y_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_i + \hat{\beta}_2 W_i + \hat{u}_i$$

Da gjelder (eksakt i utvalget):

$$\tilde{\beta}_1 = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 \cdot \tilde{\delta}_1$$

der $\tilde{\delta}_1$ er koeffisienten fra regresjonen av $W$ på $X$. Skjevheten er $\hat{\beta}_2 \cdot \tilde{\delta}_1$.

Retning på skjevheten

$\hat{\beta}_2 > 0$ og $\tilde{\delta}_1 > 0$: positiv bias ($\tilde{\beta}_1$ overestimerer $\beta_1$)
$\hat{\beta}_2 > 0$ og $\tilde{\delta}_1 < 0$: negativ bias
$\hat{\beta}_2 < 0$ og $\tilde{\delta}_1 > 0$: negativ bias
$\hat{\beta}_2 < 0$ og $\tilde{\delta}_1 < 0$: positiv bias

Bruke OVB baklengs for å finne korrelasjon

Gitt to regresjoner, finn $\tilde{\delta}_1$:

$$\tilde{\delta}_1 = \frac{\tilde{\beta}_1 - \hat{\beta}_1}{\hat{\beta}_2}$$

Korrelasjonen mellom $X$ og $W$: $\tilde{\delta}_1 = r_{XW} \cdot SD(W)/SD(X)$, så:

$$r_{XW} = \tilde{\delta}_1 \cdot \frac{SD(X)}{SD(W)}$$

Eksempel 1: OVB og familieinntekt (inspirert av V2023)

Oppgave: I reg1 er koeffisienten på cigs = $-0.514$. I reg3 (med faminc) er den $-0.464$. Koeffisienten på faminc i reg3 er $0.092$. Bruk OVB-formelen til å beregne korrelasjonen mellom faminc og cigs. ($SD(\text{cigs}) = 5.975$, $SD(\text{faminc}) = 18.737$)

Løsning:

$$\tilde{\delta}_1 = \frac{-0.514 - (-0.464)}{0.092} = \frac{-0.050}{0.092} \approx -0.543$$

$$r = -0.543 \cdot \frac{5.975}{18.737} \approx -0.173$$

Negativ korrelasjon: mødre som røyker mer har lavere familieinntekt.

Eksempel 2: OVB-retning (inspirert av V2024)

Oppgave: Koeffisienten på cathhs faller fra 0.060 (reg1) til 0.039 (reg2) når farsutdanning og rasedummyer legges til. Forklar med OVB-formelen.

Løsning: Bias = $0.060 - 0.039 = 0.021 > 0$. Positiv skjevhet betyr at produktet $\hat{\beta}_2 \cdot \tilde{\delta}_1 > 0$. Intuisjon: barn som går på katolske skoler har i gjennomsnitt fedre med høyere utdanning ($\tilde{\delta}_1 > 0$), og høyere farsutdanning øker sannsynligheten for å fullføre ($\hat{\beta}_2 > 0$). Uten kontroll er den observerte «effekten» av katolsk skole delvis drevet av familiebakgrunn.

Studieguide: Utelatt variabel-bias og OVB-formelen

Studieguide: Utelatt variabel-bias og OVB-formelen