ECON4310

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Macroeconomic Theory

eksamenssett.no

Formler

Solow-modellen

• $K_{t+1} = sY_t + (1-\delta)K_t$ (Kapitalakkumulasjon)
• $k_{t+1} = \frac{1}{1+n}[sf(k_t) + (1-\delta)k_t]$ (Per arbeider)
• $K_{ss}/Y_{ss} = s/\delta$ (Steady state, uten vekst)
• $K/Y = s/(n+\delta)$ (Med befolkningsvekst)
• $K/Y = s/(g+\delta)$ (Balansert vekstbane med teknologisk vekst)
• $K_{ss} = (s/\delta)^{1/(1-\alpha)}$ (Cobb-Douglas)
• $w = (1-\alpha)f(k^*), \quad R = \alpha f(k^*)/k^*$ (Faktorpriser)

Ramsey-modellen

• $u'(c_t) = \beta(1+r_{t+1})u'(c_{t+1})$ (Euler-betingelsen)
• $c_{t+1}/c_t = [\beta(1+r_{t+1})]^{1/\theta}$ (Konsumvekst, CRRA)
• $r^* = 1/\beta - 1$ (Steady-state-renten)
• $k_{t+1} - k_t = k_t^\alpha - \delta k_t - c_t$ (Ressursbetingelsen)

OLG-modellen

• $s_t = \frac{\beta}{1+\beta} w_t$ (Optimal sparing, log-nytte)
• $k_{t+1} = s_t/(1+n)$ (Kapitalmarkedsklarering)
• $k_{t+1} = \frac{\beta(1-\alpha)}{(1+\beta)(1+n)} k_t^\alpha$ (Bevegelseslikning, Cobb-Douglas)

Konsumteori

• $c_1^{-\sigma} = (1+r)c_2^{-\sigma}$ (Euler, CRRA, to perioder)
• $u'(c_1) = \beta(1+r)\mathbb{E}[u'(c_2)]$ (Stokastisk Euler)
• $c_1 = \frac{y}{1+(1+r)^{1/\sigma-1}}$ (Konsumfunksjon, to perioder)
• $c = ra_0 + y$ (Permanentinntektshypotesen, $\beta(1+r)=1$ )

Investeringsteori og Piketty

• $V = d/r$ (Evig kontantstrøm)
• $K^* = (\alpha/(r+\delta))^{1/(1-\alpha)}$ (Optimal kapital)
• $K/Y = s/g$ (Pikettys lov)
• $K/Y = s/(g+\delta)$ (Solow på BGP)

Sosial sikkerhet og geometriske rekker

• $b = (1+n)\tau y_1 / p$ (PAYG-ytelse)
• $u'(c_1) = p(1+r)u'(c_2)$ (Euler med overlevelsessannsynlighet)
• $\sum_{t=0}^{\infty} x^t = \frac{1}{1-x}$ for $|x| < 1$
• $\sum_{t=1}^{\infty} x^t = \frac{x}{1-x}$ for $|x| < 1$

Nøkkelformler per tema

Solow-modellen

• $K_{t+1} = sY_t + (1-\delta)K_t$ (Kapitalakkumulasjon, brutto)
• $k_{t+1} = \frac{1}{1+n}\left[sf(k_t) + (1-\delta)k_t\right]$ (Per arbeider, med befolkningsvekst)
• $\frac{K_{ss}}{Y_{ss}} = \frac{s}{\delta}$ (Steady-state kapital-inntektsforhold, uten vekst)
• $\frac{K}{Y} = \frac{s}{n+\delta}$ (Med befolkningsvekst)
• $K_{ss} = \left(\frac{s}{\delta}\right)^{1/(1-\alpha)}$ (Cobb-Douglas steady state)
• $w = (1-\alpha)f(k^*), \quad R = \alpha f(k^*)/k^*$ (Faktorpriser i likevekt)

Ramsey-modellen (optimal vekst)

• $\frac{c_{t+1}}{c_t} = \left[\beta(1+r_{t+1})\right]^{1/\theta}$ (Konsumvekst, CRRA)
• $r^* = 1/\beta - 1$ (Steady-state-renten, lik tidspreferanseraten)
• $c = k^\alpha - \delta k$ ($\dot{k}=0$-kurven)

OLG-modeller (overlappende generasjoner)

• $s_t = \frac{\beta}{1+\beta} w_t$ (Optimal sparing med log-nytte)
• $k_{t+1} = \frac{s_t}{1+n}$ (Kapitalmarkedsklarering)
• $w_t = (1-\alpha)k_t^\alpha, \quad r_{t+1} = \alpha k_{t+1}^{\alpha-1}$ (Faktorpriser)

Konsumteori og Euler-betingelse

• $c_1^{-\sigma} = (1+r)c_2^{-\sigma}$ (Euler-ligningen, to perioder, CRRA)
• $u'(c_t) = \beta(1+r)u'(c_{t+1})$ (Euler-ligningen, generell)
• $c_1 = \frac{y}{1 + (1+r)^{1/\sigma-1}}$ (Konsumfunksjon, to perioder)
• $c = ra_0 + y$ (Permanentinntektshypotesen, $\beta(1+r)=1$)

Real Business Cycle (RBC) og stokastiske modeller

• $U = u(c_1) + \beta\,\mathbb{E}[u(c_2)] = u(c_1) + \beta[p\,u(c_{2G}) + (1-p)u(c_{2B})]$ (Forventet nytte over tilstander)
• $c_1 + a_2 = w_1, \quad c_{2s} = w_{2s} + (1+r)a_2$ (Tilstandsbetingede budsjetter)
• $u'(c_1) = \beta(1+r)[p\,u'(c_{2G}) + (1-p)u'(c_{2B})]$ (Stokastisk Euler-ligning)
• $w_1 = A_1, \quad w_{2s} = A_s$ (Likevektslønn = marginalprodukt ved lineær teknologi)

Investeringsteori og firmaoptimering

• $V_0 = \sum_{t=1}^\infty \left(\frac{1}{1+r}\right)^t d_t$ (Nåverdi av kontantstrøm)
• $V = d/r$ (Evig, konstant kontantstrøm)
• $\alpha K^{\alpha-1} = r + \delta$ (Optimalbetingelse: marginalprodukt = brukerkostnad)
• $K^* = \left(\frac{\alpha}{r+\delta}\right)^{1/(1-\alpha)}$ (Optimal kapital)
• $V_0 = \frac{K^{*\alpha} - \delta K^*}{r}$ (Firmaverdien i steady state)

Ricardsk ekvivalens og finanspolitikk

• $PV(\text{skatt Policy a}) = g$ (Nåverdi av skatt er lik under alle policyer ved Ricardsk ekvivalens)
• $\frac{(1+r)g}{1+r} = g$ (Bevis: Policy b = Policy a i nåverdi)

Arbeidstilbud og skatt

• $\frac{-u_l(c,l)}{u_c(c,l)} = 1 - \tau$ (Tangentbetingelse: MRS = netto lønn)
• $c = (1-\tau)l$ (Budsjettbetingelse, normert timelønn)
• $l = 1 \text{ (uavhengig av } \tau)$ (Spesialtilfelle: log–kvadratisk nytte $\log c - l^2/2$)

Sosial sikkerhet og pensjon

• $b = \frac{(1+n)\tau y_1}{p}$ (PAYG-ytelse med befolkningsvekst $n$)
• $u'(c_1) = p(1+r)u'(c_2)$ (Euler med overlevelsessannsynlighet $p$)
• $\text{PAYG bedre enn fondert når } (1+n) > (1+r)$ (Samuelson-betingelsen)

Piketty og kapital-inntektsforhold

• $\frac{K}{Y} = \frac{s}{g}$ (Pikettys andre fundamentallov, ingen depresiering)
• $\frac{K}{Y} = \frac{s}{g+\delta}$ (Solow på balansert vekstbane)
• $\hat{Y}_t = Y_t - \delta K_t$ (Nettoinntekt)
• $\hat{s}_t = \frac{sY_t - \delta K_t}{\hat{Y}_t}$ (Nettosparerate – tidsvarierende i Solow)

Heterogene agenter og HANK

• $MPC_{RANK} \approx \frac{r}{1+r}$ (Marginal konsumtilbøyelighet, representativ agent)
• $MPC_{HANK} \gg MPC_{RANK}$ (for lavinntekts-/hånd-til-munn-husholdninger)

Klimaøkonomi og eksogene sjokk

• $k^*_{CC} = \left(\frac{s}{\delta_{CC}}\right)^{1/(1-\alpha)} < k^*$ (Lavere steady state ved høyere δ)
• $w_{CC} = (1-\alpha)f(k^*_{CC}) < w^*$ (Lavere lønn)
• $R_{CC} = \alpha f(k^*_{CC})/k^*_{CC} > R^*$ (Høyere kapitalleie)

Vanlige feil å unngå

Solow-modellen

•Glemme å dele på $(1+n)$ ved utledning av bevegelseslikningen per arbeider – dette er det hyppigste regnefeilet.
•Forveksle vekstraten for $Y_t$ (= n) med vekstraten for $y_t = Y_t/L_t$ (= 0) i modellen uten teknologisk vekst.
•Etter et klimasjokk (høyere δ): tro at lønn øker fordi kapital er knappere – faktisk faller lønn og øker kapitalleie.
•Sette $s_{GR} = 1$ i stedet for $s_{GR} = \alpha$ for Cobb-Douglas.

Ramsey-modellen (optimal vekst)

•Tegne $\dot{c}=0$-kurven som horisontal – den er vertikal ved $k^*$ (renten bestemmer dette nivået).
•Etter et midlertidig sjokk: glemme at $c$ hopper umiddelbart til ny saddelstibane, ikke gradvis.
•Forveksle renten i steady state ($1/\beta-1$) med kapitalleien $R = \alpha k^{\alpha-1}$ – renten er $R - \delta$.
•Bruke feil fortegn på θ i Euler-ligningen – CRRA gir $u'(c) = c^{-\theta}$, ikke $c^{\theta}$.

OLG-modeller (overlappende generasjoner)

•Glemme faktoren $1/(1+n)$ i kapitalmarkedsklareringslikningen – det er $N_{t+1}=(1+n)N_t$ arbeidere neste periode.
•Sette sparing lik $w/(1+\beta)$ i stedet for $\beta w/(1+\beta)$ – sjekk FOB fra Lagrange.
•Anta at en skatt alltid er nøytral – den er bare nøytral hvis refusjonen går til de unge (ikke de gamle).

Konsumteori og Euler-betingelse

•Glemme no-Ponzi-betingelsen ved utledning av nåverdibetingelsen – uten den kan ikke grensesummen settes til null.
•Forveksle substitusjonseffekt og inntektseffekt: når $\sigma < 1$ dominerer substitusjonseffekten (lavere $c_1$ ved høyere $r$).
•Sette $c = y$ i stedet for $c = ra_0 + y$ – formueleddet $ra_0$ mangler.
•Ved stokastisk Euler: blande Lagrange-multiplikatorer med marginalnytte – eliminer $\lambda$ eksplisitt.

Real Business Cycle (RBC) og stokastiske modeller

•Bruke én felles multiplikator for begge andreperiodetilstander – det skal være én multiplikator per tilstand ($\lambda_{2G}, \lambda_{2B}$).
•Glemme sannsynlighetsvektene $p$ og $1-p$ i forventningsoperatoren i Euler-ligningen.
•Tro at ett risikofritt aktiva gir full konsumglatting – det glatter bare mot forventet andreperiode, ikke på tvers av tilstander.
•Ved null tilbud av aktiva: sette $a_2$ fritt i stedet for å pålegge likevektsbetingelsen $a_2=0$.

Investeringsteori og firmaoptimering

•Starte geometrisk rekke fra $t=0$ i stedet for $t=1$ – dette gir feil formel ($1/(1-x)$ vs. $x/(1-x)$).
•Glemme at $I = \delta K^*$ i steady state – mange setter $I=0$.
•Forveksle de to kanalene for renteeffekten på firmaverdien – begge kontantstrøm og diskonteringsfaktor endres.

Ricardsk ekvivalens og finanspolitikk

•Anta at Policy c alltid er best – den belaster fremtidige generasjoner og er ikke gratis.
•Glemme å sjekke om lånebegrensningen er bindende – den er det kun hvis ønsket sparing uten begrensning er negativ.
•I OLG-kontekst: ikke skille mellom nålevende og fremtidige generasjoner – dette er nettopp kjernen i OLG-argumentet.

Arbeidstilbud og skatt

•Sette opp FOB uten å ta hensyn til at $c$ avhenger av $l$ via budsjettbetingelsen.
•Glemme inntektseffekten ved skattøkning – den trekker i motsatt retning av substitusjonseffekten.
•Anta at refusjon alltid øker arbeidstilbudet – effekten avhenger av preferansene.

Sosial sikkerhet og pensjon

•Glemme faktoren $p$ i Euler-ligningen – overlevelsessannsynligheten demper sparemotivet.
•Forveksle PAYG (løpende overføring, avkastning = n) og fondert system (avkastning = r).
•Anta at PAYG alltid er velferdsmessig bedre – det gjelder bare når $n > r$ (Samuelson-betingelsen).

Piketty og kapital-inntektsforhold

•Forveksle $s/g$ (Piketty) med $s/(g+\delta)$ (Solow) – de gir svært forskjellige prediksjoner.
•Anta at nettospareraten er konstant i Solow-modellen – den er tidsvarierende.
•Ikke beregne konkrete tall – oppgaven forventer at du kvantifiserer forskjellen mellom de to modellene.

DSGE-modeller og makroøkonomisk metodologi

•Blande Friedmans kriterium (prediktiv kraft) med Lucas' kriterium (strukturelle agenter) – de er prinsipielt forskjellige.
•Glemme spesifikke pensumsreferanser (Gerdrup og Nicolaisen 2011, Solow 1997) – sensor forventer dem.
•Skrive for generelt uten å evaluere modellene opp mot kriteriene – beskriv ikke bare hva modellene er.
•Overskride ordgrensen (500–750 ord).

Heterogene agenter og HANK

•Anta at HANK fullt ut tilfredsstiller Solows kriterium – HANK bruker fortsatt rasjonelle forventninger.
•Glemme å nevne konkret empirisk evidens (Johnson, Parker og Souleles) – sensor forventer pensumsforankring.
•Forveksle HANK (heterogene agenter, Keynesiansk) med Ramsey-modellen (representativ agent, optimal vekst).

Klimaøkonomi og eksogene sjokk

•Anta at kapital alltid akkumulerer opp etter en storm – dette stemmer bare dersom kapital er under nytt steady state.
•Glemme at permanent høyere $\delta$ gir nytt (lavere) steady state – mange svarer bare på den kortsiktige effekten.
•Forveksle effekten på lønn og kapitalleie: høyere $\delta$ → lavere $k^*$ → lavere $w$ og høyere $R$.

Eksamenstips

Solow-modellen

•Solow-modellen har kommet på alle 8 eksamener – drill alle varianter (med/uten n og g, med/uten Cobb-Douglas).
•Etter hvert sjokk: bruk fasediagram-logikk for å si om k beveger seg opp eller ned.
•Oppgaven spør alltid om intuisjon i tillegg til utledning – tren på å forklare faktorpriseffekter i 2–3 setninger.
•Konvergensoppgaven krever at du erstatter $k_t$ med $y_t$ via $f(k)=k^\alpha \Rightarrow k=y^{1/\alpha}$.

Ramsey-modellen (optimal vekst)

•Ramsey-modellen krever oftest fasediagram – øv på å tegne de to kurvene korrekt og markere retningspiler.
•Sjokk-oppgaver: midlertidig vs. permanent og engangs vs. vedvarende har hvert sitt mønster – lær disse separat.
•Saddelstibanen er unik: forklar alltid at løsninger off saddelstibanen leder til uholdbare baner.
•H2021 Del A er en komplett Ramsey-øvelse med 7 deloppgaver – gjennomgå den som fullstendig repetisjon.

OLG-modeller (overlappende generasjoner)

•OLG-modellen kobler naturlig til Ricardsk ekvivalens og sosial sikkerhet – lær disse tre temaene samlet.
•Kapitalmarkedsklareringslikningen er nøkkelen: ung sparing = kapital per arbeider neste periode (skalert med 1+n).
•Sjekk alltid om steady state er stabilt: $|dk_{t+1}/dk_t|_{k=k^*} < 1$ kreves for lokal stabilitet.

Konsumteori og Euler-betingelse

•Euler-ligningen er den viktigste enkeltlikningen i kurset – drill utledning fra Lagrange og direkte substitusjon.
•Geometrisk rekke: $\sum_{t=0}^\infty x^t = 1/(1-x)$ og $\sum_{t=1}^\infty x^t = x/(1-x)$ – bruk dem til å forenkle nåverdibetingelsen.
•H2024 Del B introduserte ulik $\sigma$ og $\gamma$ i de to periodene – viser at konsumvekst kan drives av preferanser alene.
•Stokastisk Euler (H2018, H2020): sett opp Lagrange med tilstandsbetingede budsjetter og multiplikatorer.

Real Business Cycle (RBC) og stokastiske modeller

•RBC-oppgaven har vært en full Exercise C (høy vekt) på H2018 og H2020 – øv på hele kjeden fra lønnsbestemmelse til Euler-ligning.
•Sett alltid opp Lagrange med én multiplikator per tilstandsbudsjett, og eliminer dem eksplisitt for å nå den stokastiske Euler-ligningen.
•Skill klart mellom glatting over tid (mulig med ett aktiva) og glatting over tilstander (krever fullstendige markeder).
•Ved null netto tilbud: forklar at likevektsrenten presses ned av forsiktighetssparing (Jensens ulikhet på konveks marginalnytte).

Investeringsteori og firmaoptimering

•Investeringsteori kom i H2025 – er en naturlig kandidat for gjentakelse på fremtidige eksamener.
•FOB fra Lagrange for dynamisk problem: sett opp betingelser for $d_t$, $K_{t+1}$ og $I_t$ separat.
•Geometrisk rekke er et verktøy som brukes i mange temaer (konsum, OLG, firma) – lær den grundig.

Ricardsk ekvivalens og finanspolitikk

•Ricardsk ekvivalens er et klassisk kortspørsmål-tema – ha klar en strukturert forklaring på 3–4 setninger.
•Alltid sjekk om lånebegrensningen er bindende FØR du rangerer policyer.
•OLG-varianten er den viktigste bruddbetingelsen – nålevende agenter foretrekker å skyve gjeld på fremtiden.

Arbeidstilbud og skatt

•Arbeidstilbudsoppgaver krever at du alltid identifiserer inntekts- og substitusjonseffekt separat.
•Sjekk alltid om nyttefunksjonen gir arbeidstilbud som avhenger av $\tau$ – for log-kvadratisk nytte er resultatet overraskende.
•Refusjon-scenariet er en god kandidat for essayspørsmål om distorsjon vs. nøytralitet.

Sosial sikkerhet og pensjon

•Sosial sikkerhet kobler direkte til OLG-modellen – lær disse to temaene samlet.
•Euler-ligningen med overlevelsessannsynlighet $p$ er hyppig – husk at $p$ multipliserer fremtidig marginalnytte.
•Samuelson-betingelsen ($n > r$) er svaret på 'hvorfor har vi offentlig pensjon?' – bruk den eksplisitt.

Piketty og kapital-inntektsforhold

•Piketty-oppgaven (H2025) er en god kandidat for gjentakelse – øv på hele kjeden fra balansert vekst til nettoformulering.
•Husk at $\delta=0.1$ dominerer $\Delta g = 0.01$ i Solow-formelen – dette er den viktigste intuisjonen.
•Nettospareraten $\hat{s}_t$ er ikke en fri parameter i Solow – understreke dette eksplisitt.

DSGE-modeller og makroøkonomisk metodologi

•Essayet teller 1/3 av eksamen – sett av minst 55–60 minutter, inkludert planlegging.
•Sensorveiledningen scorer essayet mot fire kriterier: (1) Friedman-forståelse, (2) Lucas-forståelse, (3) konkret vurdering av NEMO og SAM mot begge kriterier, (4) struktur/språk. Treff alle fire for full uttelling.
•Nevn minst 2–3 spesifikke referanser fra pensum – dette skiller A fra B.
•H2025 introduserte Solow/HANK-tematikken – forbered deg på begge varianter.

Heterogene agenter og HANK

•HANK er relativt nytt på pensum og kom på H2025 – forbered en kortfattet fremstilling av forskjellen RANK vs. HANK.
•Koble alltid HANK til Solow (1997) og empiriske MPC-studier – dette er essayets røde tråd.
•Nevn Kaplan, Moll og Violante (2018) som referanse hvis mulig.

Klimaøkonomi og eksogene sjokk

•H2022 Del B er en komplett øvelse i klimaøkonomi – gjennomgå den steg for steg som forberedelse.
•Klimasjokk er i bunn og grunn et Solow-sjokk til $\delta$ – bruk standard Solow-analyse og koble til faktorpriser.
•Gullregel-spareraten $s_{GR}=\alpha$ er uavhengig av $\delta$ for Cobb-Douglas, men kapital-inntektsforholdet i gullregelen $k_{GR}$ faller ved høyere $\delta$.

ECON4310

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Macroeconomic Theory

eksamenssett.no

Formler

Solow-modellen

• $K_{t+1} = sY_t + (1-\delta)K_t$ (Kapitalakkumulasjon)
• $k_{t+1} = \frac{1}{1+n}[sf(k_t) + (1-\delta)k_t]$ (Per arbeider)
• $K_{ss}/Y_{ss} = s/\delta$ (Steady state, uten vekst)
• $K/Y = s/(n+\delta)$ (Med befolkningsvekst)
• $K/Y = s/(g+\delta)$ (Balansert vekstbane med teknologisk vekst)
• $K_{ss} = (s/\delta)^{1/(1-\alpha)}$ (Cobb-Douglas)
• $w = (1-\alpha)f(k^*), \quad R = \alpha f(k^*)/k^*$ (Faktorpriser)

Ramsey-modellen

• $u'(c_t) = \beta(1+r_{t+1})u'(c_{t+1})$ (Euler-betingelsen)
• $c_{t+1}/c_t = [\beta(1+r_{t+1})]^{1/\theta}$ (Konsumvekst, CRRA)
• $r^* = 1/\beta - 1$ (Steady-state-renten)
• $k_{t+1} - k_t = k_t^\alpha - \delta k_t - c_t$ (Ressursbetingelsen)

OLG-modellen

• $s_t = \frac{\beta}{1+\beta} w_t$ (Optimal sparing, log-nytte)
• $k_{t+1} = s_t/(1+n)$ (Kapitalmarkedsklarering)
• $k_{t+1} = \frac{\beta(1-\alpha)}{(1+\beta)(1+n)} k_t^\alpha$ (Bevegelseslikning, Cobb-Douglas)

Konsumteori

• $c_1^{-\sigma} = (1+r)c_2^{-\sigma}$ (Euler, CRRA, to perioder)
• $u'(c_1) = \beta(1+r)\mathbb{E}[u'(c_2)]$ (Stokastisk Euler)
• $c_1 = \frac{y}{1+(1+r)^{1/\sigma-1}}$ (Konsumfunksjon, to perioder)
• $c = ra_0 + y$ (Permanentinntektshypotesen, $\beta(1+r)=1$ )

Investeringsteori og Piketty

• $V = d/r$ (Evig kontantstrøm)
• $K^* = (\alpha/(r+\delta))^{1/(1-\alpha)}$ (Optimal kapital)
• $K/Y = s/g$ (Pikettys lov)
• $K/Y = s/(g+\delta)$ (Solow på BGP)

Sosial sikkerhet og geometriske rekker

• $b = (1+n)\tau y_1 / p$ (PAYG-ytelse)
• $u'(c_1) = p(1+r)u'(c_2)$ (Euler med overlevelsessannsynlighet)
• $\sum_{t=0}^{\infty} x^t = \frac{1}{1-x}$ for $|x| < 1$
• $\sum_{t=1}^{\infty} x^t = \frac{x}{1-x}$ for $|x| < 1$

Nøkkelformler per tema

Solow-modellen

• $K_{t+1} = sY_t + (1-\delta)K_t$ (Kapitalakkumulasjon, brutto)
• $k_{t+1} = \frac{1}{1+n}\left[sf(k_t) + (1-\delta)k_t\right]$ (Per arbeider, med befolkningsvekst)
• $\frac{K_{ss}}{Y_{ss}} = \frac{s}{\delta}$ (Steady-state kapital-inntektsforhold, uten vekst)
• $\frac{K}{Y} = \frac{s}{n+\delta}$ (Med befolkningsvekst)
• $K_{ss} = \left(\frac{s}{\delta}\right)^{1/(1-\alpha)}$ (Cobb-Douglas steady state)
• $w = (1-\alpha)f(k^*), \quad R = \alpha f(k^*)/k^*$ (Faktorpriser i likevekt)

Ramsey-modellen (optimal vekst)

• $\frac{c_{t+1}}{c_t} = \left[\beta(1+r_{t+1})\right]^{1/\theta}$ (Konsumvekst, CRRA)
• $r^* = 1/\beta - 1$ (Steady-state-renten, lik tidspreferanseraten)
• $c = k^\alpha - \delta k$ ($\dot{k}=0$-kurven)

OLG-modeller (overlappende generasjoner)

• $s_t = \frac{\beta}{1+\beta} w_t$ (Optimal sparing med log-nytte)
• $k_{t+1} = \frac{s_t}{1+n}$ (Kapitalmarkedsklarering)
• $w_t = (1-\alpha)k_t^\alpha, \quad r_{t+1} = \alpha k_{t+1}^{\alpha-1}$ (Faktorpriser)

Konsumteori og Euler-betingelse

• $c_1^{-\sigma} = (1+r)c_2^{-\sigma}$ (Euler-ligningen, to perioder, CRRA)
• $u'(c_t) = \beta(1+r)u'(c_{t+1})$ (Euler-ligningen, generell)
• $c_1 = \frac{y}{1 + (1+r)^{1/\sigma-1}}$ (Konsumfunksjon, to perioder)
• $c = ra_0 + y$ (Permanentinntektshypotesen, $\beta(1+r)=1$)

Real Business Cycle (RBC) og stokastiske modeller

• $U = u(c_1) + \beta\,\mathbb{E}[u(c_2)] = u(c_1) + \beta[p\,u(c_{2G}) + (1-p)u(c_{2B})]$ (Forventet nytte over tilstander)
• $c_1 + a_2 = w_1, \quad c_{2s} = w_{2s} + (1+r)a_2$ (Tilstandsbetingede budsjetter)
• $u'(c_1) = \beta(1+r)[p\,u'(c_{2G}) + (1-p)u'(c_{2B})]$ (Stokastisk Euler-ligning)
• $w_1 = A_1, \quad w_{2s} = A_s$ (Likevektslønn = marginalprodukt ved lineær teknologi)

Investeringsteori og firmaoptimering

• $V_0 = \sum_{t=1}^\infty \left(\frac{1}{1+r}\right)^t d_t$ (Nåverdi av kontantstrøm)
• $V = d/r$ (Evig, konstant kontantstrøm)
• $\alpha K^{\alpha-1} = r + \delta$ (Optimalbetingelse: marginalprodukt = brukerkostnad)
• $K^* = \left(\frac{\alpha}{r+\delta}\right)^{1/(1-\alpha)}$ (Optimal kapital)
• $V_0 = \frac{K^{*\alpha} - \delta K^*}{r}$ (Firmaverdien i steady state)

Ricardsk ekvivalens og finanspolitikk

• $PV(\text{skatt Policy a}) = g$ (Nåverdi av skatt er lik under alle policyer ved Ricardsk ekvivalens)
• $\frac{(1+r)g}{1+r} = g$ (Bevis: Policy b = Policy a i nåverdi)

Arbeidstilbud og skatt

• $\frac{-u_l(c,l)}{u_c(c,l)} = 1 - \tau$ (Tangentbetingelse: MRS = netto lønn)
• $c = (1-\tau)l$ (Budsjettbetingelse, normert timelønn)
• $l = 1 \text{ (uavhengig av } \tau)$ (Spesialtilfelle: log–kvadratisk nytte $\log c - l^2/2$)

Sosial sikkerhet og pensjon

• $b = \frac{(1+n)\tau y_1}{p}$ (PAYG-ytelse med befolkningsvekst $n$)
• $u'(c_1) = p(1+r)u'(c_2)$ (Euler med overlevelsessannsynlighet $p$)
• $\text{PAYG bedre enn fondert når } (1+n) > (1+r)$ (Samuelson-betingelsen)

Piketty og kapital-inntektsforhold

• $\frac{K}{Y} = \frac{s}{g}$ (Pikettys andre fundamentallov, ingen depresiering)
• $\frac{K}{Y} = \frac{s}{g+\delta}$ (Solow på balansert vekstbane)
• $\hat{Y}_t = Y_t - \delta K_t$ (Nettoinntekt)
• $\hat{s}_t = \frac{sY_t - \delta K_t}{\hat{Y}_t}$ (Nettosparerate – tidsvarierende i Solow)

Heterogene agenter og HANK

• $MPC_{RANK} \approx \frac{r}{1+r}$ (Marginal konsumtilbøyelighet, representativ agent)
• $MPC_{HANK} \gg MPC_{RANK}$ (for lavinntekts-/hånd-til-munn-husholdninger)

Klimaøkonomi og eksogene sjokk

• $k^*_{CC} = \left(\frac{s}{\delta_{CC}}\right)^{1/(1-\alpha)} < k^*$ (Lavere steady state ved høyere δ)
• $w_{CC} = (1-\alpha)f(k^*_{CC}) < w^*$ (Lavere lønn)
• $R_{CC} = \alpha f(k^*_{CC})/k^*_{CC} > R^*$ (Høyere kapitalleie)

Vanlige feil å unngå

Solow-modellen

•Glemme å dele på $(1+n)$ ved utledning av bevegelseslikningen per arbeider – dette er det hyppigste regnefeilet.
•Forveksle vekstraten for $Y_t$ (= n) med vekstraten for $y_t = Y_t/L_t$ (= 0) i modellen uten teknologisk vekst.
•Etter et klimasjokk (høyere δ): tro at lønn øker fordi kapital er knappere – faktisk faller lønn og øker kapitalleie.
•Sette $s_{GR} = 1$ i stedet for $s_{GR} = \alpha$ for Cobb-Douglas.

Ramsey-modellen (optimal vekst)

•Tegne $\dot{c}=0$-kurven som horisontal – den er vertikal ved $k^*$ (renten bestemmer dette nivået).
•Etter et midlertidig sjokk: glemme at $c$ hopper umiddelbart til ny saddelstibane, ikke gradvis.
•Forveksle renten i steady state ($1/\beta-1$) med kapitalleien $R = \alpha k^{\alpha-1}$ – renten er $R - \delta$.
•Bruke feil fortegn på θ i Euler-ligningen – CRRA gir $u'(c) = c^{-\theta}$, ikke $c^{\theta}$.

OLG-modeller (overlappende generasjoner)

•Glemme faktoren $1/(1+n)$ i kapitalmarkedsklareringslikningen – det er $N_{t+1}=(1+n)N_t$ arbeidere neste periode.
•Sette sparing lik $w/(1+\beta)$ i stedet for $\beta w/(1+\beta)$ – sjekk FOB fra Lagrange.
•Anta at en skatt alltid er nøytral – den er bare nøytral hvis refusjonen går til de unge (ikke de gamle).

Konsumteori og Euler-betingelse

•Glemme no-Ponzi-betingelsen ved utledning av nåverdibetingelsen – uten den kan ikke grensesummen settes til null.
•Forveksle substitusjonseffekt og inntektseffekt: når $\sigma < 1$ dominerer substitusjonseffekten (lavere $c_1$ ved høyere $r$).
•Sette $c = y$ i stedet for $c = ra_0 + y$ – formueleddet $ra_0$ mangler.
•Ved stokastisk Euler: blande Lagrange-multiplikatorer med marginalnytte – eliminer $\lambda$ eksplisitt.

Real Business Cycle (RBC) og stokastiske modeller

•Bruke én felles multiplikator for begge andreperiodetilstander – det skal være én multiplikator per tilstand ($\lambda_{2G}, \lambda_{2B}$).
•Glemme sannsynlighetsvektene $p$ og $1-p$ i forventningsoperatoren i Euler-ligningen.
•Tro at ett risikofritt aktiva gir full konsumglatting – det glatter bare mot forventet andreperiode, ikke på tvers av tilstander.
•Ved null tilbud av aktiva: sette $a_2$ fritt i stedet for å pålegge likevektsbetingelsen $a_2=0$.

Investeringsteori og firmaoptimering

•Starte geometrisk rekke fra $t=0$ i stedet for $t=1$ – dette gir feil formel ($1/(1-x)$ vs. $x/(1-x)$).
•Glemme at $I = \delta K^*$ i steady state – mange setter $I=0$.
•Forveksle de to kanalene for renteeffekten på firmaverdien – begge kontantstrøm og diskonteringsfaktor endres.

Ricardsk ekvivalens og finanspolitikk

•Anta at Policy c alltid er best – den belaster fremtidige generasjoner og er ikke gratis.
•Glemme å sjekke om lånebegrensningen er bindende – den er det kun hvis ønsket sparing uten begrensning er negativ.
•I OLG-kontekst: ikke skille mellom nålevende og fremtidige generasjoner – dette er nettopp kjernen i OLG-argumentet.

Arbeidstilbud og skatt

•Sette opp FOB uten å ta hensyn til at $c$ avhenger av $l$ via budsjettbetingelsen.
•Glemme inntektseffekten ved skattøkning – den trekker i motsatt retning av substitusjonseffekten.
•Anta at refusjon alltid øker arbeidstilbudet – effekten avhenger av preferansene.

Sosial sikkerhet og pensjon

•Glemme faktoren $p$ i Euler-ligningen – overlevelsessannsynligheten demper sparemotivet.
•Forveksle PAYG (løpende overføring, avkastning = n) og fondert system (avkastning = r).
•Anta at PAYG alltid er velferdsmessig bedre – det gjelder bare når $n > r$ (Samuelson-betingelsen).

Piketty og kapital-inntektsforhold

•Forveksle $s/g$ (Piketty) med $s/(g+\delta)$ (Solow) – de gir svært forskjellige prediksjoner.
•Anta at nettospareraten er konstant i Solow-modellen – den er tidsvarierende.
•Ikke beregne konkrete tall – oppgaven forventer at du kvantifiserer forskjellen mellom de to modellene.

DSGE-modeller og makroøkonomisk metodologi

•Blande Friedmans kriterium (prediktiv kraft) med Lucas' kriterium (strukturelle agenter) – de er prinsipielt forskjellige.
•Glemme spesifikke pensumsreferanser (Gerdrup og Nicolaisen 2011, Solow 1997) – sensor forventer dem.
•Skrive for generelt uten å evaluere modellene opp mot kriteriene – beskriv ikke bare hva modellene er.
•Overskride ordgrensen (500–750 ord).

Heterogene agenter og HANK

•Anta at HANK fullt ut tilfredsstiller Solows kriterium – HANK bruker fortsatt rasjonelle forventninger.
•Glemme å nevne konkret empirisk evidens (Johnson, Parker og Souleles) – sensor forventer pensumsforankring.
•Forveksle HANK (heterogene agenter, Keynesiansk) med Ramsey-modellen (representativ agent, optimal vekst).

Klimaøkonomi og eksogene sjokk

•Anta at kapital alltid akkumulerer opp etter en storm – dette stemmer bare dersom kapital er under nytt steady state.
•Glemme at permanent høyere $\delta$ gir nytt (lavere) steady state – mange svarer bare på den kortsiktige effekten.
•Forveksle effekten på lønn og kapitalleie: høyere $\delta$ → lavere $k^*$ → lavere $w$ og høyere $R$.

Eksamenstips

Solow-modellen

•Solow-modellen har kommet på alle 8 eksamener – drill alle varianter (med/uten n og g, med/uten Cobb-Douglas).
•Etter hvert sjokk: bruk fasediagram-logikk for å si om k beveger seg opp eller ned.
•Oppgaven spør alltid om intuisjon i tillegg til utledning – tren på å forklare faktorpriseffekter i 2–3 setninger.
•Konvergensoppgaven krever at du erstatter $k_t$ med $y_t$ via $f(k)=k^\alpha \Rightarrow k=y^{1/\alpha}$.

Ramsey-modellen (optimal vekst)

•Ramsey-modellen krever oftest fasediagram – øv på å tegne de to kurvene korrekt og markere retningspiler.
•Sjokk-oppgaver: midlertidig vs. permanent og engangs vs. vedvarende har hvert sitt mønster – lær disse separat.
•Saddelstibanen er unik: forklar alltid at løsninger off saddelstibanen leder til uholdbare baner.
•H2021 Del A er en komplett Ramsey-øvelse med 7 deloppgaver – gjennomgå den som fullstendig repetisjon.

OLG-modeller (overlappende generasjoner)

•OLG-modellen kobler naturlig til Ricardsk ekvivalens og sosial sikkerhet – lær disse tre temaene samlet.
•Kapitalmarkedsklareringslikningen er nøkkelen: ung sparing = kapital per arbeider neste periode (skalert med 1+n).
•Sjekk alltid om steady state er stabilt: $|dk_{t+1}/dk_t|_{k=k^*} < 1$ kreves for lokal stabilitet.

Konsumteori og Euler-betingelse

•Euler-ligningen er den viktigste enkeltlikningen i kurset – drill utledning fra Lagrange og direkte substitusjon.
•Geometrisk rekke: $\sum_{t=0}^\infty x^t = 1/(1-x)$ og $\sum_{t=1}^\infty x^t = x/(1-x)$ – bruk dem til å forenkle nåverdibetingelsen.
•H2024 Del B introduserte ulik $\sigma$ og $\gamma$ i de to periodene – viser at konsumvekst kan drives av preferanser alene.
•Stokastisk Euler (H2018, H2020): sett opp Lagrange med tilstandsbetingede budsjetter og multiplikatorer.

Real Business Cycle (RBC) og stokastiske modeller

•RBC-oppgaven har vært en full Exercise C (høy vekt) på H2018 og H2020 – øv på hele kjeden fra lønnsbestemmelse til Euler-ligning.
•Sett alltid opp Lagrange med én multiplikator per tilstandsbudsjett, og eliminer dem eksplisitt for å nå den stokastiske Euler-ligningen.
•Skill klart mellom glatting over tid (mulig med ett aktiva) og glatting over tilstander (krever fullstendige markeder).
•Ved null netto tilbud: forklar at likevektsrenten presses ned av forsiktighetssparing (Jensens ulikhet på konveks marginalnytte).

Investeringsteori og firmaoptimering

•Investeringsteori kom i H2025 – er en naturlig kandidat for gjentakelse på fremtidige eksamener.
•FOB fra Lagrange for dynamisk problem: sett opp betingelser for $d_t$, $K_{t+1}$ og $I_t$ separat.
•Geometrisk rekke er et verktøy som brukes i mange temaer (konsum, OLG, firma) – lær den grundig.

Ricardsk ekvivalens og finanspolitikk

•Ricardsk ekvivalens er et klassisk kortspørsmål-tema – ha klar en strukturert forklaring på 3–4 setninger.
•Alltid sjekk om lånebegrensningen er bindende FØR du rangerer policyer.
•OLG-varianten er den viktigste bruddbetingelsen – nålevende agenter foretrekker å skyve gjeld på fremtiden.

Arbeidstilbud og skatt

•Arbeidstilbudsoppgaver krever at du alltid identifiserer inntekts- og substitusjonseffekt separat.
•Sjekk alltid om nyttefunksjonen gir arbeidstilbud som avhenger av $\tau$ – for log-kvadratisk nytte er resultatet overraskende.
•Refusjon-scenariet er en god kandidat for essayspørsmål om distorsjon vs. nøytralitet.

Sosial sikkerhet og pensjon

•Sosial sikkerhet kobler direkte til OLG-modellen – lær disse to temaene samlet.
•Euler-ligningen med overlevelsessannsynlighet $p$ er hyppig – husk at $p$ multipliserer fremtidig marginalnytte.
•Samuelson-betingelsen ($n > r$) er svaret på 'hvorfor har vi offentlig pensjon?' – bruk den eksplisitt.

Piketty og kapital-inntektsforhold

•Piketty-oppgaven (H2025) er en god kandidat for gjentakelse – øv på hele kjeden fra balansert vekst til nettoformulering.
•Husk at $\delta=0.1$ dominerer $\Delta g = 0.01$ i Solow-formelen – dette er den viktigste intuisjonen.
•Nettospareraten $\hat{s}_t$ er ikke en fri parameter i Solow – understreke dette eksplisitt.

DSGE-modeller og makroøkonomisk metodologi

•Essayet teller 1/3 av eksamen – sett av minst 55–60 minutter, inkludert planlegging.
•Sensorveiledningen scorer essayet mot fire kriterier: (1) Friedman-forståelse, (2) Lucas-forståelse, (3) konkret vurdering av NEMO og SAM mot begge kriterier, (4) struktur/språk. Treff alle fire for full uttelling.
•Nevn minst 2–3 spesifikke referanser fra pensum – dette skiller A fra B.
•H2025 introduserte Solow/HANK-tematikken – forbered deg på begge varianter.

Heterogene agenter og HANK

•HANK er relativt nytt på pensum og kom på H2025 – forbered en kortfattet fremstilling av forskjellen RANK vs. HANK.
•Koble alltid HANK til Solow (1997) og empiriske MPC-studier – dette er essayets røde tråd.
•Nevn Kaplan, Moll og Violante (2018) som referanse hvis mulig.

Klimaøkonomi og eksogene sjokk

•H2022 Del B er en komplett øvelse i klimaøkonomi – gjennomgå den steg for steg som forberedelse.
•Klimasjokk er i bunn og grunn et Solow-sjokk til $\delta$ – bruk standard Solow-analyse og koble til faktorpriser.
•Gullregel-spareraten $s_{GR}=\alpha$ er uavhengig av $\delta$ for Cobb-Douglas, men kapital-inntektsforholdet i gullregelen $k_{GR}$ faller ved høyere $\delta$.