Oversikt

Ramsey-modellen erstatter Solows eksogene sparing med optimal husholdningsatferd. Modellen har forekommet på 5 av 8 eksamener (2018–2022), særlig i forbindelse med fasediagram og sjokk til avskrivningsraten.

Modellens struktur

Representativ husholdning maksimerer:

$$U = \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t u(c_t), \quad u(c) = \frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta}$$

gitt budsjettbetingelsen $c_t + a_{t+1} = w_t + (1+r_t)a_t$ og transversalitetsbetingelsen $\lim_{t\to\infty} \beta^t u'(c_t)a_{t+1}=0$.

Euler-betingelsen

Forsteordensbetingelsen gir:

$$u'(c_t) = \beta(1+r_{t+1})u'(c_{t+1})$$

Med CRRA-nytte $u'(c)=c^{-\theta}$:

$$\frac{c_{t+1}}{c_t} = \left[\beta(1+r_{t+1})\right]^{1/\theta}$$

Konsumveksten er positiv dersom $r > 1/\beta - 1$ (avkastningen overstiger tidspreferanseraten).

Fasediagrammet

To isokurver:

$\dot{c}=0$-kurven: Vertikal linje ved steady-state-kapital $k^*$, der $r^* = 1/\beta - 1$.
$\dot{k}=0$-kurven: $c = k^\alpha - \delta k$, oppover-konveks med maks ved gullregel-kapital $k_{GR}$.

Saddelstibanen er den unike stabile banen som leder til steady state.

Dynamikk ved sjokk til δ

Ved et midlertidig økt $\delta$:

$\dot{c}=0$-kurven skifter venstre (lavere steady-state-kapital)
$\dot{k}=0$-kurven skifter ned
Husholdningen hopper umiddelbart til ny saddelstibane

Ved permanent økt $\delta$: begge kurvene skifter til et nytt, permanent lavere steady state.

Eksempel 1: Euler-betingelsen fra Lagrange (type: H2022 Del A, H2021 Del A)

Oppgave (egne tall): Husholdningen lever 2 perioder, $u(c)=\log(c)$, $\beta=0.95$. Sett opp Lagrange og utled Euler-betingelsen.

Løsning: $\mathcal{L} = \log c_1 + \beta \log c_2 - \lambda(c_1 + c_2/(1+r) - W)$. FOB mhp. $c_1$: $1/c_1 = \lambda$. FOB mhp. $c_2$: $\beta/c_2 = \lambda/(1+r)$. Del:

$$\frac{c_2}{\beta c_1} = 1+r \implies c_2 = \beta(1+r)c_1$$

Med $\beta(1+r)=1$ er konsumet konstant: $c_1=c_2$.

Eksempel 2: Permanent økning i avskrivningsrate i fasediagrammet (type: H2021 Del A)

Oppgave: Forklar dynamikken etter en permanent, uventet økning i $\delta$.

Løsning: Begge kurvene skifter: $\dot{c}=0$ går til venstre (lavere $k^*$), $\dot{k}=0$ går ned. Et nytt, lavere steady state oppstår. Konsumentene er foroverskuende og hopper umiddelbart ned på ny saddelstibane. Deretter faller både $c$ og $k$ gradvis til nytt steady state. Lønn faller og kapitalleie stiger langs veien.

Studieguide: Ramsey-modellen (optimal vekst)