Oversikt

Statikk studerer legemer i ro. For at et legeme skal være i statisk likevekt, må summen av alle krefter og summen av alle dreiemomenter om et vilkårlig punkt begge være null.

Statisk likevekt

$$\sum \vec{F} = 0 \quad \text{og} \quad \sum M_O = 0$$

Dreiemoment om et punkt $O$: $M_O = F \cdot d$, der $d$ er momentarmen – den vinkelrette avstanden fra $O$ til kraftens virkningslinje. Velg dreiepunkt slik at flest mulig ukjente krefter faller bort.

Newtons gravitasjonslov

Gravitasjonskraften mellom to masser $m_1$ og $m_2$ med sentrumsavstand $r$:

$$F_g = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

der $G = 6{,}674 \times 10^{-11}$ N m² kg⁻². Nær jordoverflaten gir dette tyngdeakselerasjonen $g = GM_J/R_J^2 \approx 9{,}81$ m/s².

Sirkulær bevegelse og gravitasjon

For en satellitt i sirkelbane med radius $r$ gir gravitasjonen sentripetalkraften:

$$\frac{Gm_J m}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{GM_J}{r}}$$

Omløpsperioden: $T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi r^{3/2} / \sqrt{GM_J}$ (Keplers 3. lov).

Eksempel 1: Bjelke i likevekt

Oppgave: En jevn bjelke (masse $M = 8{,}0$ kg, lengde $L = 2{,}0$ m) er hengslet i venstre ende og støttet av en vertikal wire i høyre ende. Et lodd ($m = 5{,}0$ kg) henger fra midten. Finn wirespenningen $T$.

Løsning: Ta dreiemoment om venstre ende (hengselet). Tyngdekrafter virker i $L/2 = 1{,}0$ m (bjelken) og $L/2 = 1{,}0$ m (loddet). Wire virker i $L = 2{,}0$ m. Momentbalanse: $T \cdot 2{,}0 = Mg \cdot 1{,}0 + mg \cdot 1{,}0$. $T = \frac{(8{,}0 + 5{,}0) \cdot 9{,}81}{2} \approx 63{,}7$ N.

Eksempel 2: Geostasjonær satellitt (eksamenstype)

Oppgave: En kommunikasjonssatellitt går i sirkelbane med omløpstid lik ett døgn ($T = 86\,400$ s). Jordas masse er $M_J = 5{,}97\times10^{24}$ kg. Finn baneradien $r$. Hvor stort arbeid gjør tyngdekraften på satellitten i løpet av ett omløp?

Løsning: Gravitasjon gir sentripetalkraft: $GM_J/r^2 = v^2/r$ med $v = 2\pi r/T$. Setter inn og løser: $r = \left(\dfrac{GM_J T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} = \left(\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\cdot5{,}97\times10^{24}\cdot(86\,400)^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} \approx 4{,}2\times10^7$ m. Arbeidet over ett helt omløp er $W = 0$: tyngdekraften står hele tiden vinkelrett på (den sirkulære) bevegelsen, så den gjør ikke arbeid, og banen går tilbake til samme punkt (uendret $E_k$).

Studieguide: Statikk og gravitasjon

Studieguide: Statikk og gravitasjon