Oversikt

Elektrostatikk handler om krefter og felt fra stasjonaere ladninger. I FYS1120 ma du beherske bade diskrete ladningsfordelinger (punktladninger) og kontinuerlige fordelinger (linje-, flate- og volumladninger). Coulombs lov er utgangspunktet for alt:

$$\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^2} \hat{\mathbf{R}}$$

der $\mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{r}'$ er vektoren fra kildeladningen til feltpunktet og $\hat{\mathbf{R}} = \mathbf{R}/|\mathbf{R}|$.

Superposisjon

Det elektriske feltet fra flere ladninger er vektorsummen av bidragene fra hver enkelt ladning. For $N$ punktladninger:

$$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{i=1}^{N} \frac{q_i}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_i|^2} \hat{\mathbf{R}}_i$$

Dette er en gjenganger pa eksamen. Typisk far du to eller flere ladninger og skal finne feltet i origo eller langs en akse. Nokkelferdighetene er: (1) tegn opp geometrien, (2) finn retning og storrelse pa hvert bidrag, (3) summer vektoriellt.

Kontinuerlige ladningsfordelinger

For en kontinuerlig fordeling erstatter vi summen med et integral:

$$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^2} \hat{\mathbf{R}} \, dV'$$

For linjeladninger brukes $\lambda \, dl'$, for flateladninger $\sigma \, dA'$. Pa eksamen (2025) er halvsirkelformede ladninger en favoritt: du ma parametrisere buen med en vinkel $\phi$ og integrere komponentvis.

Elektrisk potensial

Potensialet fra en punktladning er:

$$V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}$$

Potensialet er en skalar, sa superposisjon er enklere enn for feltet -- ingen vektoraddisjon. Sammenhengen med feltet er $\mathbf{E} = -\nabla V$.

Eksempel 1 (Eksamen 2025, Oppgave 1)

Oppgave: En ladning $Q$ er jevnt fordelt utover en halvsirkel med radius $a$. Finn $x$-komponenten av det elektriske feltet i origo.

Losning: Parametriser halvsirkelen med vinkel $\phi$ fra $\pi/2$ til $3\pi/2$. Et lite element har ladning $dq = \frac{Q}{\pi a} \cdot a \, d\phi = \frac{Q}{\pi} d\phi$. Posisjonen er $\mathbf{r}' = a\cos\phi \, \hat{x} + a\sin\phi \, \hat{y}$. Vektoren fra $dq$ til origo er $\mathbf{R} = -\mathbf{r}'$, med $|\mathbf{R}| = a$. Bidraget til $E_x$:

$$dE_x = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{dq}{a^2}(-\cos\phi) = -\frac{Q}{4\pi^2 \epsilon_0 a^2} \cos\phi \, d\phi$$

Integrerer over halvsirkelen:

$$E_x = -\frac{Q}{4\pi^2 \epsilon_0 a^2} \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \cos\phi \, d\phi = -\frac{Q}{4\pi^2 \epsilon_0 a^2} [\sin\phi]_{\pi/2}^{3\pi/2} = -\frac{Q}{4\pi^2 \epsilon_0 a^2}(-2) = \frac{Q}{2\pi^2 \epsilon_0 a^2}$$

Eksempel 2 (Eksamen 2023 kont, Oppgave 1)

Oppgave: Ladningene $Q_1 = 3q$ og $Q_2 = q$ ligger i $(-a,0,0)$ og $(a,0,0)$. Finn det elektriske potensialet i origo.

Losning: Potensialet er en skalar, sa vi summerer direkte:

$$V(0) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{3q}{a} + \frac{q}{a}\right) = \frac{4q}{4\pi\epsilon_0 a} = \frac{q}{\pi\epsilon_0 a}$$

Merk: selv om ladningene er ulike, er avstanden til origo den samme ($a$) for begge.

Studieguide: Elektrostatikk

Studieguide: Elektrostatikk