Oversikt

Magnetostatikk handler om magnetfelt fra stasjonaere strommer. De to hovedverktoyene er Biot-Savarts lov (for vilkaarlige geometrier) og Amperes lov (for symmetriske systemer).

Biot-Savarts lov

Magnetfeltet fra et lite stromelement $I \, d\mathbf{l}'$ i punktet $\mathbf{r}$:

$$d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \, d\mathbf{l}' \times \hat{\mathbf{R}}}{R^2}$$

Brukes nar geometrien ikke har nok symmetri for Amperes lov, f.eks. for en sirkulaer stromsloeyfe (magnetisk dipol).

Amperes lov

$$\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{innesluttet}}$$

Velg en Ampere-sloyfe der B er parallell med $d\mathbf{l}$ og konstant. Fungerer for uendelig lange ledere, solenoider og toroider.

Uendelig lang, rett leder

For en strom $I$ langs $z$-aksen:

$$\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \hat{\boldsymbol{\phi}}$$

Retningen bestemmes av hoyrehandsregelen.

Sylinderskall

Et uendelig langt, tynt sylinderskall med radius $a$ og strom $I$:

Utenfor ($r > a$): $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ -- identisk med en lang, rett leder.

Innenfor ($r < a$): $B = 0$ -- ingen innesluttet strom.

Dette er eksakt analogt med et kuleformet skall i elektrostatikken og ble testet pa eksamen 2025 (Oppgave 4).

Magnetisk dipol

En sirkulaer stromsloeyfe med areal $A = \pi a^2$ og strom $I$ har magnetisk dipolmoment:

$$\mathbf{m} = I A \hat{\mathbf{n}} = I \pi a^2 \hat{\mathbf{z}}$$

Langs $z$-aksen er feltet:

$$B_z(z) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2\pi a^2 I}{(a^2 + z^2)^{3/2}}$$

For store $z$ gir dette dipolfeltet $B \approx \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2m}{z^3}$.

Eksempel 1 (Eksamen 2025, Oppgave 4)

Oppgave: Et uendelig langt, tynt sylinderskall med radius $a$ og strom $I$ i $z$-retning. Finn B overalt.

Losning: Bruk Amperes lov med en sirkulaer Ampere-sloyfe med radius $r$ sentrert pa $z$-aksen:

$$\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = B \cdot 2\pi r = \mu_0 I_{\text{inn}}$$

For $r < a$: $I_{\text{inn}} = 0$ (ingen strom innesluttet), sa $\mathbf{B} = 0$.

For $r > a$: $I_{\text{inn}} = I$, sa $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ i $\hat{\boldsymbol{\phi}}$-retning.

Eksempel 2 (Eksamen 2023, Oppgave 5)

Oppgave: To lange ledninger ved $x = -2a$ og $x = 2a$ med strommer $I$ i motsatte retninger. Vis at $B_z = \frac{\mu_0 I}{2\pi}\left(\frac{1}{2a+x} + \frac{1}{2a-x}\right)$ i $xy$-planet.

Losning: Feltet fra en uendelig lang leder i avstand $d$ er $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi d}$. Ledningen ved $x = -2a$ har avstand $2a + x$ fra punktet $(x, 0)$ og bidrar med felt i $+z$-retning (hoyrehandsregelen). Ledningen ved $x = 2a$ har avstand $2a - x$ og bidrar ogsa i $+z$-retning. Summering gir det onsksede uttrykket. $\square$

Studieguide: Magnetostatikk

Studieguide: Magnetostatikk