Oversikt

Når vi ikke kan derivere eller integrere eksakt, bruker vi tilnærminger basert på funksjonsverdier i noen punkter. Eksamen tester både å regne ut en tilnærming med en gitt steglengde, og å vise at en differanseformel er eksakt for alle polynomer opp til en viss grad.

Numerisk derivasjon

De grunnleggende formlene er forlengsdifferansen \(f'(a)\approx \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) (feil \(O(h)\)) og sentraldifferansen \(f'(a)\approx \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}\) (feil \(O(h^2)\)). Den andrederiverte tilnærmes med \(\frac{f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}{h^2}\). En vanlig eksamenstype gir en uvanlig formel og ber deg vise at den er eksakt for alle andre- eller tredjegradspolynomer.

Vise eksakthet

Den ryddigste metoden: sjekk formelen for basisfunksjonene \(1, x, x^2\) (og \(x^3\) ved tredjegrad). Fordi både derivasjon og formelen er lineære, følger eksaktheten for alle lineærkombinasjoner, altså alle polynomer av tilsvarende grad.

Numerisk integrasjon

For \(\int_a^b f\,dx\) med steglengde \(h\) og delepunkter \(x_k=a+kh\):

Trapesmetoden: \(h\big(\tfrac{f(x_0)+f(x_n)}{2} + f(x_1)+\dots+f(x_{n-1})\big)\).
Midtpunktsmetoden: \(h\sum f(m_k)\), der \(m_k\) er midtpunktet i hvert delintervall.
Simpsons metode: eksakt for polynomer opp til grad 3.

Eksempel: vise eksakthet for andregradspolynomer

Vis at \(f'(a) \approx \frac{-4f(a-h)+3f(a)+f(a+2h)}{6h}\) er eksakt for alle andregradspolynomer.

Vi sjekker basisfunksjonene:

\(f=1\): teller \(=-4+3+1=0=f'(a)\). OK.
\(f=x\): teller \(=-4(a-h)+3a+(a+2h)=6h\), delt på \(6h\) gir \(1=f'(a)\). OK.
\(f=x^2\): teller \(=-4(a-h)^2+3a^2+(a+2h)^2 = 12ah\), delt på \(6h\) gir \(2a=f'(a)\). OK.

Siden formelen og derivasjon begge er lineære, er den eksakt for ethvert \(ax^2+bx+c\).

Eksempel: midtpunktsmetoden

Tilnærm \(\int_0^2 \sin(\tfrac{\pi}{2}x+\tfrac{\pi}{8})\,dx\) med fire delintervaller, \(h=1/2\). Midtpunktene er \(1/4,3/4,5/4,7/4\). Funksjonsverdiene blir \(\sin(\pi/4)=\tfrac{\sqrt2}{2}\), \(\sin(\pi/2)=1\), \(\sin(3\pi/4)=\tfrac{\sqrt2}{2}\), \(\sin(\pi)=0\). Summen ganget med \(h\): \(\tfrac12(\tfrac{\sqrt2}{2}+1+\tfrac{\sqrt2}{2}+0)=\tfrac{\sqrt2+1}{2}\).

Studieguide: Numerisk derivasjon og integrasjon

Studieguide: Numerisk derivasjon og integrasjon