Oversikt

Grenser og kontinuitet er det teoretiske fundamentet i kalkulus. I MAT1100 ma du ikke bare kunne beregne grenser, men ogsa bevise at funksjoner er kontinuerlige (eller ikke) ved hjelp av definisjonen. Stykkevis definerte funksjoner er den vanligste konteksten for slike oppgaver pa eksamen.

Grenseverdier

Vi sier at $\lim_{x \to a} f(x) = L$ dersom $f(x)$ kan gjores vilkarlig nar $L$ ved a velge $x$ tilstrekkelig nar $a$. Formelt (epsilon-delta): For alle $\varepsilon > 0$ finnes $\delta > 0$ slik at $|f(x) - L| < \varepsilon$ nar $0 < |x - a| < \delta$.

Viktige grenseverdier du ma kunne:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}, \quad \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$$

Skviseteoremet (Squeeze theorem)

Dersom $g(x) \le f(x) \le h(x)$ for alle $x$ nar $a$, og $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$, sa er $\lim_{x \to a} f(x) = L$.

Dette er den viktigste teknikken for funksjoner med oscillerende faktorer, f.eks. $\sin(1/x)$ eller $\cos(1/x^2)$. Ideen er a bruke $|\sin(\cdot)| \le 1$ og $|\cos(\cdot)| \le 1$ for a binde funksjonen mellom to grenser som begge gar mot 0.

Kontinuitet

En funksjon $f$ er kontinuerlig i $x = a$ dersom:

$f(a)$ er definert
$\lim_{x \to a} f(x)$ eksisterer
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

For stykkevis definerte funksjoner ma du sjekke at grenseverdien fra begge sider stemmer overens med funksjonsverdien i overgangspunktet.

Stykkevis definerte funksjoner -- eksamensfavoritt

En typisk eksamensoppgave gir en funksjon pa formen:

$$f(x) = \begin{cases} \text{uttrykk med } x & \text{for } x \neq 0 \\ c & \text{for } x = 0 \end{cases}$$

Du ma finne $c$ slik at $f$ er kontinuerlig, eller vise at $f$ er kontinuerlig for en gitt verdi av $c$. Teknikken er alltid: beregn $\lim_{x \to 0} f(x)$ og sett lik $f(0) = c$.

Eksempel 1 (Eksamen 2022, Oppgave 4)

Oppgave: La $f(x) = \begin{cases} 1 + \sin\frac{1}{x} \cdot \sin x & \text{for } x \neq 0 \\ 1 & \text{for } x = 0 \end{cases}$. Vis at $f$ er kontinuerlig i $x = 0$.

Losning: Vi bruker skviseteoremet. Siden $|\sin(1/x)| \le 1$ for alle $x \neq 0$, har vi:

$$\left|\sin\frac{1}{x} \cdot \sin x\right| \le |\sin x|$$

Dermed:

$$1 - |\sin x| \le 1 + \sin\frac{1}{x} \cdot \sin x \le 1 + |\sin x|$$

Siden $\lim_{x \to 0} (1 - |\sin x|) = 1$ og $\lim_{x \to 0} (1 + |\sin x|) = 1$, gir skviseteoremet:

$$\lim_{x \to 0} f(x) = 1 = f(0)$$

Altsa er $f$ kontinuerlig i $x = 0$. $\square$

Eksempel 2 (Eksamen 2023, Oppgave 6a)

Oppgave: La $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vare en funksjon med $f(0) = 0$, $f'(0) = 2$, $f''(0) = 3$. La $g(x) = \begin{cases} f(x)/x & \text{for } x \neq 0 \\ a & \text{for } x = 0 \end{cases}$. Hva er $a$ for at $g$ er kontinuerlig?

Losning: Vi trenger $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = a$. Siden $f(0) = 0$, er dette en $0/0$-form. Ved definisjonen av den deriverte:

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(0) = 2$$

Altsa ma $a = 2$. $\square$

Studieguide: Grenser og kontinuitet

Studieguide: Grenser og kontinuitet