Oversikt

Konvergens handler om hva som skjer nar $n \to \infty$ -- for folger, rekker og potensrekker. I MAT1100 er dette nart knyttet til matriser (overgangsmatriser), potensrekker og folger definert rekursivt.

Konvergens av folger

En folge $\{a_n\}$ konvergerer mot $L$ dersom: for alle $\varepsilon > 0$ finnes $N$ slik at $|a_n - L| < \varepsilon$ for alle $n > N$.

Monoton konvergens: En folge som er monotont voksende og begrenset ovenfra, konvergerer. Tilsvarende for avtagende + begrenset nedenfra.

Konvergensradius for potensrekker

For en potensrekke $\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n$ er konvergensradiusen:

$$R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} |c_n|^{1/n}}$$

eller via forholdskriteriet: $R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|$ (nar grensen eksisterer).

Rekken konvergerer absolutt for $|x - a| < R$ og divergerer for $|x - a| > R$. Pa randen $|x - a| = R$ ma konvergens sjekkes separat.

Overgangsmatriser og konvergens

Et gjennomgangstema pa eksamen er diskrete dynamiske systemer:

$$\mathbf{x}_{n+1} = M \mathbf{x}_n \quad \Rightarrow \quad \mathbf{x}_n = M^n \mathbf{x}_0$$

Systemets langtidsoppforsel avhenger av egenverdiene til $M$. Dersom alle egenverdier har $|\lambda| < 1$ (bortsett fra muligens en med $\lambda = 1$), konvergerer systemet.

Egenverdier og diagonalisering

En egenverdi $\lambda$ til matrisen $M$ er en losning av $\det(M - \lambda I) = 0$. Den tilhorende egenvektoren $\mathbf{v}$ oppfyller $M\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$.

Dersom $M$ har egenverdier $\lambda_1$ og $\lambda_2$, kan $M^n$ beregnes effektivt: skriv $\mathbf{x}_0$ som lineaerkombinasjon av egenvektorer og multipliser med $\lambda_i^n$.

Eksempel 1 (Eksamen 2023, Oppgave 2)

Oppgave: Et bibliotek har to filialer A og B. Av bokene i A vil 80% vaere i A neste ar, 15% i B, resten tapt. Av bokene i B vil 20% vaere i A, 70% i B, resten tapt. Finn overgangsmatrisen $M$ og beregn $M^2$.

Losning: Overgangsmatrisen (kolonnevektor for fordeling fra A hhv. B):

$$M = \begin{pmatrix} 0.80 & 0.20 \\ 0.15 & 0.70 \end{pmatrix}$$

$$M^2 = M \cdot M = \begin{pmatrix} 0.80 & 0.20 \\ 0.15 & 0.70 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0.80 & 0.20 \\ 0.15 & 0.70 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.67 & 0.30 \\ 0.225 & 0.52 \end{pmatrix}$$

Med 100\,000 boker i hver filial etter 2 ar: $M^2 \begin{pmatrix} 100000 \\ 100000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 97000 \\ 74500 \end{pmatrix}$. Tapt: $200000 - 171500 = 28500$.

Eksempel 2 (Eksamen 2021, Oppgave 3)

Oppgave: Finn en egenvektor $\mathbf{v}$ til $M = \begin{pmatrix} 1.1 & 1.2 \\ 0.3 & 0.2 \end{pmatrix}$ med egenverdi $k = 1.4$.

Losning: Vi loser $(M - 1.4I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$:

$$M - 1.4I = \begin{pmatrix} -0.3 & 1.2 \\ 0.3 & -1.2 \end{pmatrix}$$

Forste rad gir: $-0.3x + 1.2y = 0 \Rightarrow x = 4y$. Velg $y = 1$:

$$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Sjekk: $M\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1.1 \cdot 4 + 1.2 \cdot 1 \\ 0.3 \cdot 4 + 0.2 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5.6 \\ 1.4 \end{pmatrix} = 1.4 \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$. $\checkmark$

Studieguide: Konvergens

Studieguide: Konvergens