MAT1110

Studieguide

God oversikt over pensum med forklaringer, formler, vanlige feil og eksamenstips.

Introduksjon

MAT1110 Kalkulus og lineaer algebra er et sentralt andresemesterfag ved Universitetet i Oslo som kombinerer flervariabel kalkulus med lineaer algebra. Eksamen er skriftlig (4 timer) og bestar typisk av 6-10 deloppgaver med lik poengvekt (6-10 poeng per oppgave). Tillatte hjelpemidler er godkjent kalkulator og vedlagt formelsamling.

Pensum spenner over atte hovedtemaer: lineaer algebra (egenverdier, baser, matriser), partielle deriverte (gradient, kjerneregel, tangentplan), implisitt definerte funksjoner, stasjonaere punkter og andrederiverttesten, Lagranges multiplikatormetode, rekker og konvergensomrade, dobbelt- og trippelintegraler, og vektoranalyse (linjeintegraler, flateintegraler, Greens teorem, divergensteoremet). Oppgavene krever bade regneferdigheter og presise begrunnelser. Du ma vise nok mellomregninger til at sensor lett kan folge argumentene dine.

Basert pa eksamenene fra 2022-2025 er det klare monstre: egenverdier/egenvektorer og stasjonaere punkter med andrederiverttesten er pa alle eksamener. Implisitt derivasjon (med setningen om implisitt definerte funksjoner) og Lagranges metode dukker opp hvert ar. Rekker (konvergensomrade + sumformel) og dobbeltintegraler med Greens teorem er ogsa faste gjengangere. Trippelintegraler med divergensteoremet er vanlige pa de mer krevende eksamenene (2025).

Lineaer algebra: egenverdier og baser

Egenverdier, egenvektorer, diagonalisering, grenseverdier av A^n * v, og sporsmalet om vektorer danner en basis. Testes pa alle eksamener.

Oversikt

Lineaer algebra er det forste temaet pa nesten alle MAT1110-eksamener. De vanligste oppgavetypene er: (1) finn egenverdier og egenvektorer, (2) skriv en vektor som lineaerkombinasjon av egenvektorer og beregn $\lim_{n \to \infty} A^n \mathbf{x}_0$ , og (3) avgjor om gitte vektorer danner en basis for $\mathbb{R}^n$ .

Egenverdier og egenvektorer

En egenverdi $\lambda$ og tilhorende egenvektor $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ til en matrise $A$ tilfredsstiller:

$A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$

Egenverdiene finnes ved a lose det karakteristiske polynomet:

$\det(\lambda I - A) = 0$

For en $2 \times 2$ -matrise $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ er det karakteristiske polynomet:

$\lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad - bc) = 0$

Egenvektorene finnes ved a lose $(\lambda I - A)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ for hver egenverdi.

Grenseverdier av $A^n \mathbf{x}_0$

Dersom $A$ har egenverdier $\lambda_1, \lambda_2, \ldots$ med tilhorende egenvektorer $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots$ , og vi skriver:

$\mathbf{x}_0 = c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots$

da er:

$A^n \mathbf{x}_0 = c_1 \lambda_1^n \mathbf{v}_1 + c_2 \lambda_2^n \mathbf{v}_2 + \cdots$

Dersom $|\lambda_i| < 1$ for alle $i$ bortsett fra en egenverdi $\lambda_j = 1$ , konvergerer $A^n \mathbf{x}_0 \to c_j \mathbf{v}_j$ . Dette er typisk for stokastiske matriser (radsum = 1, alle elementer $\ge 0$ ) som ofte dukker opp pa eksamen.

Basis for $\mathbb{R}^n$

Tre vektorer i $\mathbb{R}^3$ danner en basis hvis og bare hvis de er lineaert uavhengige, dvs. determinanten til matrisen de danner er $\neq 0$ .

$\text{Basis} \iff \det\begin{pmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \mathbf{v}_3 \end{pmatrix} \neq 0$

Eksempel 1 (Eksamen 2022, Oppgave 1)

Oppgave: La $A = \begin{pmatrix} 0.3 & 0.6 \\ 0.7 & 0.4 \end{pmatrix}$ . (a) Finn egenverdiene og egenvektorene. (b) Skriv $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ som lineaerkombinasjon av egenvektorene, og finn $\lim_{n \to \infty} A^n \mathbf{v}$ .

Losning (a): Det karakteristiske polynomet: $\lambda^2 - 0.7\lambda - 0.30 = 0$ , dvs. $\lambda^2 - 0.7\lambda - 0.30 = 0$ . Vi regner diskriminanten: sporet er $0.3 + 0.4 = 0.7$ , determinanten er $0.12 - 0.42 = -0.30$ . Sa $\lambda^2 - 0.7\lambda - 0.30 = 0$ gir $\lambda = 1$ og $\lambda = -0.3$ .

For $\lambda_1 = 1$ : $(I - A)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ gir $\begin{pmatrix} 0.7 & -0.6 \\ -0.7 & 0.6 \end{pmatrix}\mathbf{v} = \mathbf{0}$ , sa $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \end{pmatrix}$ .

For $\lambda_2 = -0.3$ : $(-0.3I - A)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ gir $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ .

Losning (b): Vi loser $c_1 \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Fra radene: $6c_1 + c_2 = 1$ og $7c_1 - c_2 = 1$ . Addisjon gir $13c_1 = 2$ , sa $c_1 = 2/13$ , $c_2 = 1 - 12/13 = 1/13$ .

$\lim_{n \to \infty} A^n \mathbf{v} = c_1 \cdot 1^n \cdot \mathbf{v}_1 + c_2 \cdot (-0.3)^n \cdot \mathbf{v}_2 = \frac{2}{13}\begin{pmatrix} 6 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12/13 \\ 14/13 \end{pmatrix}$

Eksempel 2 (Eksamen 2025, Oppgave 1)

Oppgave: Avgjor om vektorene $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ danner en basis for $\mathbb{R}^3$ .

Losning: Vi beregner determinanten:

$\det \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Utvikling langs forste rad: $2(0 \cdot 1 - 2 \cdot 1) - 1(1 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) + (-1)(1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1))$

$= 2(-2) - 1(3) + (-1)(1) = -4 - 3 - 1 = -8 \neq 0$

Siden determinanten er ulik null, er vektorene lineaert uavhengige og danner dermed en basis for $\mathbb{R}^3$ . $\square$

Nøkkelformler

•Karakteristisk polynom: $ $\det(\lambda I - A) = 0$ $
•Egenverdiproblemet: $ $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$ $
•Grenseverdi: $ $A^n \mathbf{x}_0 = \sum_i c_i \lambda_i^n \mathbf{v}_i$ $
•Basis-test: $ $\det(\mathbf{v}_1 \; \mathbf{v}_2 \; \mathbf{v}_3) \neq 0 \iff \text{basis for } \mathbb{R}^3$ $
•For $2 \times 2$: $ $\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ $

Vanlige feil

⚠️Feil fortegn i det karakteristiske polynomet: det er det(lambda*I - A), ikke det(A - lambda*I) -- begge gir samme polynom, men pass pa fortegnene.
⚠️Glemme a sjekke at A^n-grensen krever |lambda| < 1 for de andre egenverdiene. Dersom |lambda| > 1, divergerer grensen.
⚠️Ved dekomponering av x_0 i egenvektorer: lose feil likningssystem eller glemme a verifisere losningen.
⚠️Forveksle determinant lik 0 (lineaert avhengige) med determinant ulik 0 (lineaert uavhengige/basis).

Eksamenstips

💡Egenverdier/egenvektorer er pa ALLE eksamener (2022 Oppg 1, 2024 Oppg 1, 2025 Oppg 1). Start med det karakteristiske polynomet.
💡Stokastiske matriser (radsummen er 1, alle elementer >= 0) har alltid lambda = 1 som storste egenverdi. Grensen A^n * v konvergerer mot et multiplum av den tilhorende egenvektoren.
💡For 3x3-matriser: bruk kofaktorutvikling langs raden/kolonnen med flest nuller for a spare tid.

Laster...

Introduksjon

Studieguide

Introduksjon

Lineaer algebra: egenverdier og baser

Oversikt

Egenverdier og egenvektorer

Grenseverdier av Anx0A^n \mathbf{x}_0Anx0​

Basis for Rn\mathbb{R}^nRn

Eksempel 1 (Eksamen 2022, Oppgave 1)

Eksempel 2 (Eksamen 2025, Oppgave 1)

Studieguide

Introduksjon

Lineaer algebra: egenverdier og baser

Oversikt

Egenverdier og egenvektorer

Grenseverdier av Anx0A^n \mathbf{x}_0Anx0​

Basis for Rn\mathbb{R}^nRn

Eksempel 1 (Eksamen 2022, Oppgave 1)

Eksempel 2 (Eksamen 2025, Oppgave 1)

Grenseverdier av $A^n \mathbf{x}_0$

Basis for $\mathbb{R}^n$

Grenseverdier av $A^n \mathbf{x}_0$

Basis for $\mathbb{R}^n$