MAT1110

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Kalkulus og lineær algebra

eksamenssett.no

Formler

Lineaer algebra

• $\det(\lambda I - A) = 0 \quad \text{(egenverdier)}$
• $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \quad \text{(egenverdiproblemet)}$
• $A^n \mathbf{x}_0 = \sum_i c_i \lambda_i^n \mathbf{v}_i$

Partielle deriverte

• $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$
• $\text{Tangentplan: } z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$

Andrederiverttesten

• $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$
• $D > 0,\, A > 0: \text{ lok. min.} \quad D > 0,\, A < 0: \text{ lok. maks.} \quad D < 0: \text{ sadel}$

Lagranges metode

• $\nabla f = \lambda \nabla g, \quad g = 0$

Implisitt derivasjon

• $g'(x) = -\frac{F_x}{F_y} \quad \text{(2D)}, \quad \frac{\partial g}{\partial x_i} = -\frac{F_{x_i}}{F_z} \quad \text{(3D)}$

Rekker

• $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \quad -\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$

Multiple integraler

• $\text{Polar: } dA = r\,dr\,d\theta, \quad \text{Sylinder: } dV = r\,dr\,d\theta\,dz$
• $\text{Kule: } dV = \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$

Vektoranalyse

• $\text{Greens: } \oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D (Q_x - P_y)\,dA$
• $\text{Divergens: } \text{div}\,\mathbf{F} = P_x + Q_y + R_z$
• $\text{Gauss: } \oint_T \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_V \text{div}\,\mathbf{F}\,dV$

Nøkkelformler per tema

Lineaer algebra: egenverdier og baser

•Karakteristisk polynom: $\det(\lambda I - A) = 0$
•Egenverdiproblemet: $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$
•Grenseverdi: $A^n \mathbf{x}_0 = \sum_i c_i \lambda_i^n \mathbf{v}_i$
•Basis-test: $\det(\mathbf{v}_1 \; \mathbf{v}_2 \; \mathbf{v}_3) \neq 0 \iff \text{basis for } \mathbb{R}^3$
•For $2 \times 2$: $\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$

Partielle deriverte og gradient

•Gradient: $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$
•Kjerneregel: $\frac{d}{dt}f(x(t),y(t)) = f_x \cdot x'(t) + f_y \cdot y'(t)$
•Tangentplan: $z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$
•Implisitt derivasjon: $g'(x) = -\frac{f_x(x,g(x))}{f_y(x,g(x))}$
•Normalvektor til $F(x,y,z)=c$: $\mathbf{n} = \nabla F$

Stasjonaere punkter og andrederiverttesten

•Stasjonaert punkt: $\nabla f(a,b) = \mathbf{0}$ , dvs. $f_x = f_y = 0$
•Andrederiverttesten: $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$
• $D > 0, \; A > 0 \Rightarrow$ lokalt minimum
• $D > 0, \; A < 0 \Rightarrow$ lokalt maksimum
• $D < 0 \Rightarrow$ sadelpunkt

Lagranges multiplikatormetode

•Lagranges likninger: $\nabla f = \lambda \nabla g, \quad g(\mathbf{x}) = 0$
•For to variable: $f_x = \lambda g_x, \quad f_y = \lambda g_y, \quad g(x,y) = 0$
•Med flere bibetingelser: $\nabla f = \lambda_1 \nabla g_1 + \lambda_2 \nabla g_2$
•Sammenlign f-verdier i alle kandidatpunkter for a avgjore maks/min

Rekker og konvergensomrade

•Forholdstesten: $R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$
•Geometrisk rekke: $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \quad |x| < 1$
•Logaritmerekke: $-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}, \quad -1 \le x < 1$
• $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
•Konvergensomrade: $|x| < R$, sjekk endepunktene separat

Dobbelt- og trippelintegraler

•Polarkoordinater: $dA = r\,dr\,d\theta$
•Sylinderkoordinater: $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$
•Kulekoordinater: $dV = \rho^2 \sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$
•Variabelskifte: $dA = \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| du\,dv$
•Flateareal: $A = \iint_D \sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2}\,dA$

Greens teorem og linjeintegraler

•Greens teorem: $\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$
•Linjeintegral: $\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)\,dt$
•Konservativt felt: $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
•Weiunavhengighet: $\int_C \nabla\phi \cdot d\mathbf{r} = \phi(\mathbf{b}) - \phi(\mathbf{a})$

Divergensteoremet og flateintegraler

•Divergens: $\text{div}\,\mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
•Divergensteoremet: $\oint_T \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,dS = \iiint_V \text{div}\,\mathbf{F}\,dV$
•Flateintegral: $\int_T \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,dS = \iint_A \mathbf{F} \cdot \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right) du\,dv$
•Plan flate $z = c$, $\mathbf{n} = \mathbf{k}$: $\int_T \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_R R(x,y,c)\,dA$

Implisitt definerte funksjoner

•Implisitt derivasjon (2D): $g'(x) = -\frac{F_x}{F_y}$
•Implisitt derivasjon (3D): $\frac{\partial g}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial g}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$
•Eksistensbetingelse: $F(a,b) = 0 \text{ og } F_y(a,b) \neq 0$
•Generelt: deriverer du $F(x,g(x))=0$ mhp x med kjerneregelen

Vanlige feil å unngå

Lineaer algebra: egenverdier og baser

•Feil fortegn i det karakteristiske polynomet: det er det(lambda*I - A), ikke det(A - lambda*I) -- begge gir samme polynom, men pass pa fortegnene.
•Glemme a sjekke at A^n-grensen krever |lambda| < 1 for de andre egenverdiene. Dersom |lambda| > 1, divergerer grensen.
•Ved dekomponering av x_0 i egenvektorer: lose feil likningssystem eller glemme a verifisere losningen.
•Forveksle determinant lik 0 (lineaert avhengige) med determinant ulik 0 (lineaert uavhengige/basis).

Partielle deriverte og gradient

•Glemme kjerneregelen: nar du deriverer f(x,y) = ln(1 + x^2*y^2) med hensyn pa x, ma du multiplisere med den indre deriverte 2xy^2/(1 + x^2*y^2).
•Forveksle tangentplanet (z = ...) med normalvektoren (nabla F). Tangentplanet er en likning, normalvektoren er en vektor.
•Ved implisitt derivasjon: feil fortegn. Formelen er g'(x) = -f_x / f_y, IKKE f_x / f_y.
•Glemme a sjekke at f_y != 0 for setningen om implisitt definerte funksjoner kan brukes.

Stasjonaere punkter og andrederiverttesten

•Glemme losninger i likningssystemet: nar du loser f_x = 0 og f_y = 0, maa du finne ALLE losninger, ikke bare de mest apenbare.
•Bruke andrederiverttesten feil: D = AC - B^2, IKKE D = A + C - B^2.
•Glemme at D = 0 betyr at testen er inkonklusiv -- du maa bruke andre argumenter (f.eks. at f >= 0 overalt).
•Faktoriseringsfeil nar du loser likningssystemet: f.eks. x^4 - x = x(x^3 - 1), IKKE (x^2 - 1)(x^2 + 1).

Lagranges multiplikatormetode

•Glemme spesialtilfeller: nar du dividerer to Lagrange-likninger for a eliminere lambda, maa du behandle tilfellene der nevneren er 0 separat.
•Glemme a evaluere f i alle kandidatpunktene. Lagranges metode gir kandidater, ikke direkte svar pa maks/min.
•Feil oppstilling av bibetingelsen: g = 0 skal vaere pa formen h(x,y) = c, dvs. flytt alt til en side.
•Feil fortegn i gradienten til g: dobbeltsjekk at du deriverer g(x,y) = x^2 + xy + y^2 - 3 korrekt.

Rekker og konvergensomrade

•Glemme a sjekke endepunktene: konvergensradius gir intervallet (-R, R), men du maa teste x = R og x = -R separat.
•Feil manipulasjon av rekkeindekser: pass pa at summasjonsgrensene stemmer nar du substituerer m = n + k.
•Forveksle ln(1-x) og ln(1+x): ln(1-x) = -sum x^n/n, men ln(1+x) = sum (-1)^{n+1} x^n/n.
•Glemme tilfellet x = 0 nar du dividerer med x for a finne lukket form.

Dobbelt- og trippelintegraler

•Glemme faktoren r i polarkoordinater: dA = r dr d(theta), IKKE dr d(theta).
•Feil integrasjonsgrenser: tegn omradet og finn skjaeringspunktene for du begynner a integrere.
•Bruke kartesiske koordinater nar polarkoordinater er mye enklere (f.eks. nar integranden inneholder x^2 + y^2).
•Forveksle Jacobideterminanten for kulekoordinater (rho^2 sin phi) med sylinderkoordinater (r).

Greens teorem og linjeintegraler

•Feil orientering: Greens teorem krever MOT klokka. Med klokka gir motsatt fortegn.
•Forveksle rekkfolgen i Greens teorem: det er dQ/dx - dP/dy, IKKE dP/dx - dQ/dy.
•Glemme at Greens teorem krever en LUKKET kurve. For apne kurver, bruk parametrisering direkte.
•Feil beregning av dQ/dx - dP/dy: dobbeltsjekk de partielle deriverte for du integrerer.

Divergensteoremet og flateintegraler

•Feil retning pa normalvektoren: normalen skal peke UT av volumet. For det ovre planet peker n oppover (k), for det nedre ned (-k).
•Glemme Jacobideterminanten i sylinderkoordinater: dV = r dr d(theta) dz, ikke dr d(theta) dz.
•Feil oppdeling av overflaten: divergensteoremet gjelder for HELE den lukkede overflaten. Husk bade T_1 og T_2.
•Feil integrasjonsgrenser for z i sylinderkoordinater: for en kjegle z = sqrt(x^2+y^2) er z fra r til toppverdi.

Implisitt definerte funksjoner

•Glemme a verifisere at F = 0 i punktet -- dette er det forste trinnet og gir gratis poeng.
•Feil fortegn: formelen er g' = -F_x/F_y, husk minustegnet!
•Sjekke feil partiell derivert: det er F_y (den du loser for) som maa vaere ulik null, ikke F_x.
•Glemme a evaluere derivertene i det spesifikke punktet -- du maa sette inn (a,b) ETTER derivasjon.

Eksamenstips

Lineaer algebra: egenverdier og baser

•Egenverdier/egenvektorer er pa ALLE eksamener (2022 Oppg 1, 2024 Oppg 1, 2025 Oppg 1). Start med det karakteristiske polynomet.
•Stokastiske matriser (radsummen er 1, alle elementer >= 0) har alltid lambda = 1 som storste egenverdi. Grensen A^n * v konvergerer mot et multiplum av den tilhorende egenvektoren.
•For 3x3-matriser: bruk kofaktorutvikling langs raden/kolonnen med flest nuller for a spare tid.

Partielle deriverte og gradient

•Implisitt derivasjon (setningen om implisitt definerte funksjoner) er pa nesten alle eksamener: 2024 Oppg 5, 2025 Oppg 2. Sjekk alltid at f_y != 0 i punktet.
•Huskeregelen for implisitt derivasjon: 'minus f_x over f_y' -- den negative broken av de partielle deriverte.
•Oppgaver som ber deg 'vis at det finnes en funksjon g' krever to ting: (1) f = 0 i punktet, og (2) partiell derivert mhp y er != 0.

Stasjonaere punkter og andrederiverttesten

•Stasjonaere punkter + andrederiverttesten er pa ALLE eksamener: 2022 Oppg 2, 2024 Oppg 4, 2025 Oppg 3.
•For tredjegradspolynomer som x^3 - 3xy + y^3: forvent ett sadelpunkt i origo og ett minimum/maksimum.
•Nar D = 0, se om du kan argumentere direkte: er f >= 0 overalt? Da er punktet med f = 0 et minimum.

Lagranges multiplikatormetode

•Lagranges metode er pa nesten alle eksamener: 2022 Oppg 2c, 2024 Oppg 6, 2025 Oppg 4.
•Strategien 'eliminer lambda ved divisjon, deretter behandle spesialtilfeller' fungerer nesten alltid.
•Nar oppgaven gir et hint om spesialtilfeller (f.eks. 'spesialbehandle x=0'), BRUK hintet. Det sparer mye tid.
•Husk: f verdien i kandidatpunktene avgjor hva som er maks og min. Lagranges metode klassifiserer ikke automatisk.

Rekker og konvergensomrade

•Rekker er pa de fleste eksamener: 2022 Oppg 3, 2024 Oppg 2. Konvergensomrade + lukket form er standardoppgaven.
•Nesten alltid R = 1. Trikset er a relatere til ln(1-x) = -sum x^n/n eller den geometriske rekken.
•Nar oppgaven ber deg 'bruk dette til a vise at sum = tall', sett inn en spesifikk x-verdi i den lukkede formen.
•Leibniz' test (alternerende rekke med avtagende ledd mot 0 konvergerer) brukes nesten alltid for a sjekke x = -R.

Dobbelt- og trippelintegraler

•Dobbeltintegraler er pa alle eksamener: 2022 Oppg 4a, 2024 Oppg 3a, 2025 Oppg 5a.
•Se etter x^2 + y^2 i integranden eller i omradets grenser -- det er et klart signal om polarkoordinater.
•Flateareal-formelen (med sqrt(1 + g_x^2 + g_y^2)) er en vanlig tilleggsoppgave: 2024 Oppg 3b.
•Tegn alltid integrasjonsomradet! Finn skjaeringspunkter mellom kurvene for du setter opp integralene.

Greens teorem og linjeintegraler

•Greens teorem er pa de fleste eksamener: 2022 Oppg 4b, 2025 Oppg 5b. Det kombineres nesten alltid med en dobbeltintegral fra en annen deloppgave.
•Nar dQ/dx - dP/dy er en konstant (f.eks. 3), reduseres dobbeltintegralet til konstant ganger arealet!
•Oppgaver er ofte designet slik at del (a) ber om et dobbeltintegral og del (b) bruker Greens teorem -- resultatet fra (a) gjenbrukes.
•Sjekk alltid om feltet er konservativt (dP/dy = dQ/dx). Da er linjeintegralet over en lukket kurve lik 0.

Divergensteoremet og flateintegraler

•Divergensteoremet dukker opp pa de mer krevende eksamenene (2025 Oppg 6). Oppgaven har typisk tre deler: enkel flate, trippelintegral, vanskelig flate.
•Den enkle flaten (planet) beregnes direkte. Deretter brukes divergensteoremet til a finne den vanskelige flaten (kjeglen).
•cos^2(theta) integrert fra 0 til 2*pi er pi. Dette trikset trengs nesten alltid.
•Nar div F bare inneholder x^2 (eller y^2), bruk cos^2 (eller sin^2) i sylinderkoordinater.

Implisitt definerte funksjoner

•Implisitt definerte funksjoner er pa nesten alle eksamener: 2024 Oppg 5, 2025 Oppg 2. Oppgavestrukturen er nesten identisk hvert ar.
•Tre steg: (1) sjekk F=0, (2) sjekk F_y != 0, (3) bruk formelen g' = -F_x/F_y. Skriv alle tre stegene tydelig!
•Denne oppgavetypen gir relativt enkle poeng nar du har memorert fremgangsmaten. Prioriter den pa eksamen.
•For 3D-versjonen (F(x,y,z) = 0, los for z): sjekk at F_z != 0, og bruk g_x = -F_x/F_z, g_y = -F_y/F_z.

MAT1110

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Kalkulus og lineær algebra

eksamenssett.no

Formler

Lineaer algebra

• $\det(\lambda I - A) = 0 \quad \text{(egenverdier)}$
• $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \quad \text{(egenverdiproblemet)}$
• $A^n \mathbf{x}_0 = \sum_i c_i \lambda_i^n \mathbf{v}_i$

Partielle deriverte

• $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$
• $\text{Tangentplan: } z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$

Andrederiverttesten

• $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$
• $D > 0,\, A > 0: \text{ lok. min.} \quad D > 0,\, A < 0: \text{ lok. maks.} \quad D < 0: \text{ sadel}$

Lagranges metode

• $\nabla f = \lambda \nabla g, \quad g = 0$

Implisitt derivasjon

• $g'(x) = -\frac{F_x}{F_y} \quad \text{(2D)}, \quad \frac{\partial g}{\partial x_i} = -\frac{F_{x_i}}{F_z} \quad \text{(3D)}$

Rekker

• $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \quad -\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$

Multiple integraler

• $\text{Polar: } dA = r\,dr\,d\theta, \quad \text{Sylinder: } dV = r\,dr\,d\theta\,dz$
• $\text{Kule: } dV = \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$

Vektoranalyse

• $\text{Greens: } \oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D (Q_x - P_y)\,dA$
• $\text{Divergens: } \text{div}\,\mathbf{F} = P_x + Q_y + R_z$
• $\text{Gauss: } \oint_T \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_V \text{div}\,\mathbf{F}\,dV$

Nøkkelformler per tema

Lineaer algebra: egenverdier og baser

•Karakteristisk polynom: $\det(\lambda I - A) = 0$
•Egenverdiproblemet: $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$
•Grenseverdi: $A^n \mathbf{x}_0 = \sum_i c_i \lambda_i^n \mathbf{v}_i$
•Basis-test: $\det(\mathbf{v}_1 \; \mathbf{v}_2 \; \mathbf{v}_3) \neq 0 \iff \text{basis for } \mathbb{R}^3$
•For $2 \times 2$: $\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$

Partielle deriverte og gradient

•Gradient: $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$
•Kjerneregel: $\frac{d}{dt}f(x(t),y(t)) = f_x \cdot x'(t) + f_y \cdot y'(t)$
•Tangentplan: $z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$
•Implisitt derivasjon: $g'(x) = -\frac{f_x(x,g(x))}{f_y(x,g(x))}$
•Normalvektor til $F(x,y,z)=c$: $\mathbf{n} = \nabla F$

Stasjonaere punkter og andrederiverttesten

•Stasjonaert punkt: $\nabla f(a,b) = \mathbf{0}$ , dvs. $f_x = f_y = 0$
•Andrederiverttesten: $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$
• $D > 0, \; A > 0 \Rightarrow$ lokalt minimum
• $D > 0, \; A < 0 \Rightarrow$ lokalt maksimum
• $D < 0 \Rightarrow$ sadelpunkt

Lagranges multiplikatormetode

•Lagranges likninger: $\nabla f = \lambda \nabla g, \quad g(\mathbf{x}) = 0$
•For to variable: $f_x = \lambda g_x, \quad f_y = \lambda g_y, \quad g(x,y) = 0$
•Med flere bibetingelser: $\nabla f = \lambda_1 \nabla g_1 + \lambda_2 \nabla g_2$
•Sammenlign f-verdier i alle kandidatpunkter for a avgjore maks/min

Rekker og konvergensomrade

•Forholdstesten: $R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$
•Geometrisk rekke: $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \quad |x| < 1$
•Logaritmerekke: $-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}, \quad -1 \le x < 1$
• $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
•Konvergensomrade: $|x| < R$, sjekk endepunktene separat

Dobbelt- og trippelintegraler

•Polarkoordinater: $dA = r\,dr\,d\theta$
•Sylinderkoordinater: $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$
•Kulekoordinater: $dV = \rho^2 \sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$
•Variabelskifte: $dA = \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| du\,dv$
•Flateareal: $A = \iint_D \sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2}\,dA$

Greens teorem og linjeintegraler

•Greens teorem: $\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$
•Linjeintegral: $\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)\,dt$
•Konservativt felt: $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
•Weiunavhengighet: $\int_C \nabla\phi \cdot d\mathbf{r} = \phi(\mathbf{b}) - \phi(\mathbf{a})$

Divergensteoremet og flateintegraler

•Divergens: $\text{div}\,\mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
•Divergensteoremet: $\oint_T \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,dS = \iiint_V \text{div}\,\mathbf{F}\,dV$
•Flateintegral: $\int_T \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,dS = \iint_A \mathbf{F} \cdot \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right) du\,dv$
•Plan flate $z = c$, $\mathbf{n} = \mathbf{k}$: $\int_T \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_R R(x,y,c)\,dA$

Implisitt definerte funksjoner

•Implisitt derivasjon (2D): $g'(x) = -\frac{F_x}{F_y}$
•Implisitt derivasjon (3D): $\frac{\partial g}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial g}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$
•Eksistensbetingelse: $F(a,b) = 0 \text{ og } F_y(a,b) \neq 0$
•Generelt: deriverer du $F(x,g(x))=0$ mhp x med kjerneregelen

Vanlige feil å unngå

Lineaer algebra: egenverdier og baser

•Feil fortegn i det karakteristiske polynomet: det er det(lambda*I - A), ikke det(A - lambda*I) -- begge gir samme polynom, men pass pa fortegnene.
•Glemme a sjekke at A^n-grensen krever |lambda| < 1 for de andre egenverdiene. Dersom |lambda| > 1, divergerer grensen.
•Ved dekomponering av x_0 i egenvektorer: lose feil likningssystem eller glemme a verifisere losningen.
•Forveksle determinant lik 0 (lineaert avhengige) med determinant ulik 0 (lineaert uavhengige/basis).

Partielle deriverte og gradient

•Glemme kjerneregelen: nar du deriverer f(x,y) = ln(1 + x^2*y^2) med hensyn pa x, ma du multiplisere med den indre deriverte 2xy^2/(1 + x^2*y^2).
•Forveksle tangentplanet (z = ...) med normalvektoren (nabla F). Tangentplanet er en likning, normalvektoren er en vektor.
•Ved implisitt derivasjon: feil fortegn. Formelen er g'(x) = -f_x / f_y, IKKE f_x / f_y.
•Glemme a sjekke at f_y != 0 for setningen om implisitt definerte funksjoner kan brukes.

Stasjonaere punkter og andrederiverttesten

•Glemme losninger i likningssystemet: nar du loser f_x = 0 og f_y = 0, maa du finne ALLE losninger, ikke bare de mest apenbare.
•Bruke andrederiverttesten feil: D = AC - B^2, IKKE D = A + C - B^2.
•Glemme at D = 0 betyr at testen er inkonklusiv -- du maa bruke andre argumenter (f.eks. at f >= 0 overalt).
•Faktoriseringsfeil nar du loser likningssystemet: f.eks. x^4 - x = x(x^3 - 1), IKKE (x^2 - 1)(x^2 + 1).

Lagranges multiplikatormetode

•Glemme spesialtilfeller: nar du dividerer to Lagrange-likninger for a eliminere lambda, maa du behandle tilfellene der nevneren er 0 separat.
•Glemme a evaluere f i alle kandidatpunktene. Lagranges metode gir kandidater, ikke direkte svar pa maks/min.
•Feil oppstilling av bibetingelsen: g = 0 skal vaere pa formen h(x,y) = c, dvs. flytt alt til en side.
•Feil fortegn i gradienten til g: dobbeltsjekk at du deriverer g(x,y) = x^2 + xy + y^2 - 3 korrekt.

Rekker og konvergensomrade

•Glemme a sjekke endepunktene: konvergensradius gir intervallet (-R, R), men du maa teste x = R og x = -R separat.
•Feil manipulasjon av rekkeindekser: pass pa at summasjonsgrensene stemmer nar du substituerer m = n + k.
•Forveksle ln(1-x) og ln(1+x): ln(1-x) = -sum x^n/n, men ln(1+x) = sum (-1)^{n+1} x^n/n.
•Glemme tilfellet x = 0 nar du dividerer med x for a finne lukket form.

Dobbelt- og trippelintegraler

•Glemme faktoren r i polarkoordinater: dA = r dr d(theta), IKKE dr d(theta).
•Feil integrasjonsgrenser: tegn omradet og finn skjaeringspunktene for du begynner a integrere.
•Bruke kartesiske koordinater nar polarkoordinater er mye enklere (f.eks. nar integranden inneholder x^2 + y^2).
•Forveksle Jacobideterminanten for kulekoordinater (rho^2 sin phi) med sylinderkoordinater (r).

Greens teorem og linjeintegraler

•Feil orientering: Greens teorem krever MOT klokka. Med klokka gir motsatt fortegn.
•Forveksle rekkfolgen i Greens teorem: det er dQ/dx - dP/dy, IKKE dP/dx - dQ/dy.
•Glemme at Greens teorem krever en LUKKET kurve. For apne kurver, bruk parametrisering direkte.
•Feil beregning av dQ/dx - dP/dy: dobbeltsjekk de partielle deriverte for du integrerer.

Divergensteoremet og flateintegraler

•Feil retning pa normalvektoren: normalen skal peke UT av volumet. For det ovre planet peker n oppover (k), for det nedre ned (-k).
•Glemme Jacobideterminanten i sylinderkoordinater: dV = r dr d(theta) dz, ikke dr d(theta) dz.
•Feil oppdeling av overflaten: divergensteoremet gjelder for HELE den lukkede overflaten. Husk bade T_1 og T_2.
•Feil integrasjonsgrenser for z i sylinderkoordinater: for en kjegle z = sqrt(x^2+y^2) er z fra r til toppverdi.

Implisitt definerte funksjoner

•Glemme a verifisere at F = 0 i punktet -- dette er det forste trinnet og gir gratis poeng.
•Feil fortegn: formelen er g' = -F_x/F_y, husk minustegnet!
•Sjekke feil partiell derivert: det er F_y (den du loser for) som maa vaere ulik null, ikke F_x.
•Glemme a evaluere derivertene i det spesifikke punktet -- du maa sette inn (a,b) ETTER derivasjon.

Eksamenstips

Lineaer algebra: egenverdier og baser

•Egenverdier/egenvektorer er pa ALLE eksamener (2022 Oppg 1, 2024 Oppg 1, 2025 Oppg 1). Start med det karakteristiske polynomet.
•Stokastiske matriser (radsummen er 1, alle elementer >= 0) har alltid lambda = 1 som storste egenverdi. Grensen A^n * v konvergerer mot et multiplum av den tilhorende egenvektoren.
•For 3x3-matriser: bruk kofaktorutvikling langs raden/kolonnen med flest nuller for a spare tid.

Partielle deriverte og gradient

•Implisitt derivasjon (setningen om implisitt definerte funksjoner) er pa nesten alle eksamener: 2024 Oppg 5, 2025 Oppg 2. Sjekk alltid at f_y != 0 i punktet.
•Huskeregelen for implisitt derivasjon: 'minus f_x over f_y' -- den negative broken av de partielle deriverte.
•Oppgaver som ber deg 'vis at det finnes en funksjon g' krever to ting: (1) f = 0 i punktet, og (2) partiell derivert mhp y er != 0.

Stasjonaere punkter og andrederiverttesten

•Stasjonaere punkter + andrederiverttesten er pa ALLE eksamener: 2022 Oppg 2, 2024 Oppg 4, 2025 Oppg 3.
•For tredjegradspolynomer som x^3 - 3xy + y^3: forvent ett sadelpunkt i origo og ett minimum/maksimum.
•Nar D = 0, se om du kan argumentere direkte: er f >= 0 overalt? Da er punktet med f = 0 et minimum.

Lagranges multiplikatormetode

•Lagranges metode er pa nesten alle eksamener: 2022 Oppg 2c, 2024 Oppg 6, 2025 Oppg 4.
•Strategien 'eliminer lambda ved divisjon, deretter behandle spesialtilfeller' fungerer nesten alltid.
•Nar oppgaven gir et hint om spesialtilfeller (f.eks. 'spesialbehandle x=0'), BRUK hintet. Det sparer mye tid.
•Husk: f verdien i kandidatpunktene avgjor hva som er maks og min. Lagranges metode klassifiserer ikke automatisk.

Rekker og konvergensomrade

•Rekker er pa de fleste eksamener: 2022 Oppg 3, 2024 Oppg 2. Konvergensomrade + lukket form er standardoppgaven.
•Nesten alltid R = 1. Trikset er a relatere til ln(1-x) = -sum x^n/n eller den geometriske rekken.
•Nar oppgaven ber deg 'bruk dette til a vise at sum = tall', sett inn en spesifikk x-verdi i den lukkede formen.
•Leibniz' test (alternerende rekke med avtagende ledd mot 0 konvergerer) brukes nesten alltid for a sjekke x = -R.

Dobbelt- og trippelintegraler

•Dobbeltintegraler er pa alle eksamener: 2022 Oppg 4a, 2024 Oppg 3a, 2025 Oppg 5a.
•Se etter x^2 + y^2 i integranden eller i omradets grenser -- det er et klart signal om polarkoordinater.
•Flateareal-formelen (med sqrt(1 + g_x^2 + g_y^2)) er en vanlig tilleggsoppgave: 2024 Oppg 3b.
•Tegn alltid integrasjonsomradet! Finn skjaeringspunkter mellom kurvene for du setter opp integralene.

Greens teorem og linjeintegraler

•Greens teorem er pa de fleste eksamener: 2022 Oppg 4b, 2025 Oppg 5b. Det kombineres nesten alltid med en dobbeltintegral fra en annen deloppgave.
•Nar dQ/dx - dP/dy er en konstant (f.eks. 3), reduseres dobbeltintegralet til konstant ganger arealet!
•Oppgaver er ofte designet slik at del (a) ber om et dobbeltintegral og del (b) bruker Greens teorem -- resultatet fra (a) gjenbrukes.
•Sjekk alltid om feltet er konservativt (dP/dy = dQ/dx). Da er linjeintegralet over en lukket kurve lik 0.

Divergensteoremet og flateintegraler

•Divergensteoremet dukker opp pa de mer krevende eksamenene (2025 Oppg 6). Oppgaven har typisk tre deler: enkel flate, trippelintegral, vanskelig flate.
•Den enkle flaten (planet) beregnes direkte. Deretter brukes divergensteoremet til a finne den vanskelige flaten (kjeglen).
•cos^2(theta) integrert fra 0 til 2*pi er pi. Dette trikset trengs nesten alltid.
•Nar div F bare inneholder x^2 (eller y^2), bruk cos^2 (eller sin^2) i sylinderkoordinater.

Implisitt definerte funksjoner

•Implisitt definerte funksjoner er pa nesten alle eksamener: 2024 Oppg 5, 2025 Oppg 2. Oppgavestrukturen er nesten identisk hvert ar.
•Tre steg: (1) sjekk F=0, (2) sjekk F_y != 0, (3) bruk formelen g' = -F_x/F_y. Skriv alle tre stegene tydelig!
•Denne oppgavetypen gir relativt enkle poeng nar du har memorert fremgangsmaten. Prioriter den pa eksamen.
•For 3D-versjonen (F(x,y,z) = 0, los for z): sjekk at F_z != 0, og bruk g_x = -F_x/F_z, g_y = -F_y/F_z.