MAT1120

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Lineær algebra

eksamenssett.no

Nøkkelformler per tema

Vektorrom og underrom

•Dimensjonssetningen: $\text{rang}\,A + \dim(\text{Nul}\,A) = n$
• $\text{Col}\,A = \{A\mathbf{x} : \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\}$ (underrom av $\mathbb{R}^m$ )

Vanlige feil å unngå

Vektorrom og underrom

•Bruke kolonner fra den radreduserte matrisen som basis for Col A -- du må bruke de opprinnelige kolonnene fra A.
•Glemme å sjekke at nullvektoren ligger i W når du viser at noe er et underrom.
•Forveksle dimensjonen til Col A (antall pivoter) med antall kolonner i A.
•Glemme dimensjonssetningen som kontroll: rang + dim(Nul) = antall kolonner.

Ortogonalitet og Gram-Schmidt

•Bruke projeksjonsformelen med en basis som IKKE er ortogonal -- du må først kjore Gram-Schmidt.
•Regnefeil i Gram-Schmidt: dobbeltsjekk prikkproduktene. En feil tidlig forplanter seg til alle følgende vektorer.
•Glemme at minste kvadraters løsning kan være ikke-unik når A har frie variabler.
•Forveksle proj_W(y) med løsningen x-hatt. Projeksjonen er en vektor i R^m, mens x-hatt er i R^n.

Egenverdier og egenvektorer

•Konkludere at en matrise ikke er diagonaliserbar bare fordi den har gjentatte egenverdier. Du MÅ sjekke geometrisk multiplisitet.
•Glemme at symmetriske matriser ALLTID er diagonaliserbare (spektralteoremet).
•Blande rekkfolgen av egenverdier i D og egenvektorer i P -- de MÅ korrespondere.

Eksamenstips

Vektorrom og underrom

•Oppgave 1a på nesten alle eksamener (2019, 2021, 2024) ber deg finne basis for Col A og Nul A. Start alltid med radreduksjon.
•Abstrakte vektorrom (polynomer, funksjoner) dukker opp i Oppgave 3. Vis alltid de tre underromkravene eksplisitt.
•Når vedlegget gir deg den radreduserte formen, bruk den! Ikke kast bort tid på a radredusere selv.

Ortogonalitet og Gram-Schmidt

•Oppgave 1b+1c følger alltid monsteret: Gram-Schmidt -> projeksjon -> minste kvadrater. Tren på dette til det sitter automatisk.
•Når vedlegget gir deg rref av [A^T A | A^T b], bruk det direkte for å finne x-hatt.
•Vektede indreprodukter (2019 Oppg 1d): erstatt prikkproduktet med det vektede produktet i alle formler. Gram-Schmidt fungerer på samme mate.

Egenverdier og egenvektorer

•Oppgave 2 handler alltid om egenverdier. Ofte far du oppgitt en egenvektor og må finne resten.
•For 3x3 symmetriske matriser: bruk tr(A) = sum av egenverdier til å finne den manglende egenverdien etter at du har funnet to.
•Når oppgaven spør 'er matrisen diagonaliserbar?': sjekk (1) er den symmetrisk? (2) har den n distinkte egenverdier? (3) har alle egenverdier geom. mult. = alg. mult.?
•'Avgjor om A og B er diagonaliserbar UTEN å finne diagonaliseringen' (2024 Oppg 2): A symmetrisk -> ja (spektralteoremet). B ovre triangulaer -> egenverdier på diagonalen; sjekk geom. mult. for gjentatte egenverdier.

•

\text{Nul}\,A = \{\mathbf{x} : A\mathbf{x} = \mathbf{0}\}

(underrom av

\mathbb{R}^n

)

•Basis for Col A: pivotkolonnene (fra den opprinnelige matrisen

A

)

•Underromtest:

\mathbf{0} \in W

, lukket under

+

og skalarmultiplikasjon

Ortogonalitet og Gram-Schmidt

•Gram-Schmidt: $\mathbf{v}_j = \mathbf{x}_j - \sum_{i=1}^{j-1} \frac{\mathbf{x}_j \cdot \mathbf{v}_i}{\mathbf{v}_i \cdot \mathbf{v}_i}\mathbf{v}_i$
•Ortogonal projeksjon: $\hat{\mathbf{y}} = \sum_{i=1}^{k} \frac{\mathbf{y} \cdot \mathbf{v}_i}{\mathbf{v}_i \cdot \mathbf{v}_i}\mathbf{v}_i$
•Normallikningene: $A^T A \hat{\mathbf{x}} = A^T \mathbf{b}$
•Ortogonalt komplement: $W^\perp = \{\mathbf{v} : \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0 \text{ for alle } \mathbf{w} \in W\}$
• $\mathbb{R}^n = W \oplus W^\perp$ og $(\text{Col}\,A)^\perp = \text{Nul}\,A^T$

Egenverdier og egenvektorer

•Karakteristisk polynom: $\det(A - \lambda I) = 0$
•Diagonalisering: $A = PDP^{-1}$ der $D = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$
• $\det A = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n$ og $\text{tr}(A) = \lambda_1 + \cdots + \lambda_n$
•Potenser: $A^k = PD^kP^{-1}$
•Eksponential: $e^{At} = Pe^{Dt}P^{-1}$ med $e^{Dt} = \text{diag}(e^{\lambda_1 t}, \ldots, e^{\lambda_n t})$

Ortogonal diagonalisering og spektralteoremet

•Spektralteoremet: Symmetrisk $A = PDP^T$ med ortogonal $P$
•Kvadratisk form: $Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$
•Variabelskifte: $\mathbf{x} = P\mathbf{y}$ gir $Q = \lambda_1 y_1^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2$
•Ortogonal matrise: $P^T P = PP^T = I$ , dvs. $P^{-1} = P^T$
• $\|P\mathbf{y}\| = \|\mathbf{y}\|$ for ortogonal $P$
•Positiv definitt $\Leftrightarrow$ alle $\lambda_i > 0$
•Rayleigh: $\max_{\|\mathbf{x}\|=1} Q(\mathbf{x}) = \lambda_{\max}$ , $\min_{\|\mathbf{x}\|=1} Q(\mathbf{x}) = \lambda_{\min}$

Lineaere avbildninger og matriserepresentasjon

•Matriserepresentasjon: kolonne $j$ av $[T]_{\mathcal{B}}$ er $[T(\mathbf{b}_j)]_{\mathcal{B}}$
•Basisskifte: $[T]_{\mathcal{C}} = P_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} [T]_{\mathcal{B}} P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}}$
•Overgangsmatrise: kolonne $j$ av $P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}}$ er $[\mathbf{c}_j]_{\mathcal{B}}$
• $P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}} = (P_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}})^{-1}$
• $\ker T \leftrightarrow \text{Nul}([T]_{\mathcal{B}})$ , $\text{Im}\,T \leftrightarrow \text{Col}([T]_{\mathcal{B}})$

Differensiallikningssystemer

•Generell løsning: $\mathbf{x}(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} \mathbf{v}_1 + \cdots + c_n e^{\lambda_n t} \mathbf{v}_n$
•Initialbetingelse: $\mathbf{x}(0) = c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n$
•For ortogonale egenvektorer: $c_i = \frac{\mathbf{v}_i \cdot \mathbf{x}(0)}{\mathbf{v}_i \cdot \mathbf{v}_i}$
•Matrise-eksponential: $e^{At} = P\,\text{diag}(e^{\lambda_1 t}, \ldots, e^{\lambda_n t})\,P^{-1}$
• $T(f) = g$ har unik løsning $\Leftrightarrow$ $\det [T]_{\mathcal{B}} \neq 0$

Singulaerverdi-dekomposisjon (SVD)

•SVD: $B = U\Sigma V^T$
•Singulaerverdier: $\sigma_i = \sqrt{\lambda_i(B^T B)}$
•Hoyre singulaervektorer: egenvektorer for $B^T B$ (kolonnene i $V$ )
•Venstre singulaervektorer: $\mathbf{u}_i = \frac{1}{\sigma_i}B\mathbf{v}_i$
• $\max_{\|\mathbf{x}\|=1} \|B\mathbf{x}\| = \sigma_1$ (største singulaerverdi)

Ortogonale matriser og refleksjoner

•Householder-refleksjon: $R = I - 2\mathbf{v}\mathbf{v}^T$ ( $\|\mathbf{v}\| = 1$ )
• $R$ er ortogonal og symmetrisk: $R^T = R$ , $R^2 = I$
•Egenverdier for $R$ : $-1$ (retning $\mathbf{v}$ ) og $+1$ (alle ortogonale retninger)
• $f(A)\mathbf{v} = f(\lambda)\mathbf{v}$ for polynomfunksjoner $f$ av matrisen $A$
•Ortogonal matrise: $P^T P = I$ , $\|P\mathbf{x}\| = \|\mathbf{x}\|$ , $\det P = \pm 1$

Indreprodukter og abstrakte indreproduktrom

•Indreprodukt-aksiomer: linearitet, symmetri, positiv definitthet
•Vektet produkt: $\langle \mathbf{x}, \mathbf{u} \rangle = \sum w_i x_i u_i$ med $w_i > 0$
•Integralprodukt: $\langle p, q \rangle = \int_a^b p(t)q(t)\,dt$
•Evalueringsprodukt: $\langle p, q \rangle = \sum_i p(t_i)q(t_i)$ (krever minst $n+1$ punkter på $\mathbb{P}_n$ )
•Norm: $\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle}$
•Cauchy-Schwarz: $|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| \leq \|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\|$

•Forveksle algebraisk multiplisitet (fra det karakteristiske polynomet) med geometrisk multiplisitet (dimensjon til egenrommet).

Ortogonal diagonalisering og spektralteoremet

•Glemme a fordele kryssledds-koeffisienten likt: koeffisienten foran x_1*x_2 er 2*a_{12}, så a_{12} = halvparten.
•Glemme Gram-Schmidt innad i egenrom med dimensjon > 1 -- egenvektorene er bare garantert ortogonale MELLOM forskjellige egenrom.
•Feil klassifisering av kjeglesnitt: sjekk fortegnene på egenverdiene nøyaktig.
•Glemme å normalisere egenvektorene slik at P faktisk blir ortogonal (P^T P = I).

Lineaere avbildninger og matriserepresentasjon

•Forveksle retningen på basisskifte: P_{B<-C} konverterer FRA C-koordinater TIL B-koordinater.
•Glemme at kolonnene i matriserepresentasjonen er koordinatvektorer, ikke selve vektorene.
•Ved derivasjon av e^x*cos(x): glemme produktregelen. (e^x cos x)' = e^x cos x - e^x sin x.
•Blande rekkfolgen av faktorene i basisskifte-formelen for [T]_C.

Differensiallikningssystemer

•Glemme å normalisere egenvektorene for P er ortogonal -- da blir P^T x(0) feil.
•Feil fortegn på koeffisientene c_i. Dobbeltsjekk ved å verifisere at x(0) = c_1 v_1 + ... + c_n v_n.
•Forveksle e^{lambda*t} med e^{lambda}: husk at variabelen t må være med!
•Når A ikke er symmetrisk: bruke P^T i stedet for P^{-1}. P^T = P^{-1} gjelder bare for ortogonale matriser.

Singulaerverdi-dekomposisjon (SVD)

•Forveksle egenverdier av B med egenverdier av B^T B. Singulaerverdier kommer fra B^T B.
•Glemme a sortere singulaerverdiene i synkende rekkefolge.
•Feil fortegn på singulaervektorer: sjekk at u_i = (1/sigma_i)*B*v_i faktisk gir en enhetsvektor.
•Glemme å utvide {u_1, ..., u_r} til en full ortonormal basis for R^m når rang(B) < m.

Ortogonale matriser og refleksjoner

•Glemme kravet ||v|| = 1 i Householder-formelen. Uten normalisering blir R ikke ortogonal.
•Ved beregning av R^2: glemme at v^T v = 1, slik at v v^T v v^T = v v^T (ikke (v v^T)^2).
•Når oppgaven spør om f(A): glemme at egenverdien av f(A) er f(lambda), ikke f av matrisen.
•Forveksle v v^T (en n x n matrise) med v^T v (et tall). Rekkfolgen er avgjorende.

Indreprodukter og abstrakte indreproduktrom

•Bruke standard prikkprodukt når oppgaven definerer et annet indreprodukt. Les oppgaveteksten nøyaktig!
•Regnefeil i integraler når du beregner indreprodukter i funksjonsrom. Dobbeltsjekk med innsetting av grensene.
•Glemme vektene i det vektede indreproduktet: langle x, u rangle = 2*x1*u1 + ... betyr at x1-leddet veier dobbelt.
•Forveksle ortonormal (lengde 1) med ortogonal (bare vinkelrett). Oppgaven spør ofte om ortonormal basis.

•A^k og følger x_{k+1} = A*x_k (2018 2b, 2020 2b, 2022 2b): bruk A^k = P D^k P^{-1}. Egenverdier loftes i k-te potens; ledd med |lambda| < 1 eller lambda = 0 forsvinner i grensen.

•det A = produkt av egenverdier brukes baklengs: oppgitt det A -> los for den ukjente egenverdien (2021 Oppg 4).

Ortogonal diagonalisering og spektralteoremet

•Kvadratiske former og kjeglesnitt: 2021 Oppg 2c og 2024 Oppg 4b. Alltid koblet til ortogonal diagonalisering.
•For å vise Q(x) <= lambda_max * ||x||^2: bruk variabelskiftet og at alle lambda_i <= lambda_max.
•Symmetriske matriser er ALLTID ortogonalt diagonaliserbare. Du trenger ikke bevise dette, bare bruke det.
•'Finn maks av Q på enhetssfaeren' = største egenverdi, oppnadd i tilhorende egenvektor (Rayleigh). Begrenser du til et underrom ortogonalt på toppegenvektoren, blir svaret nest største egenverdi.
•'For hvilke parameterverdier er Q positiv definitt?': finn egenverdiene som funksjon av parameteren og krev at alle er > 0 (2018 Oppg 3).
•På eksamen far du ofte oppgitt det karakteristiske polynomet via poly(A) i Matlab-vedlegget -- bruk det til å slippe å regne ut det(A - lambda*I) for hand.

Lineaere avbildninger og matriserepresentasjon

•Oppgave 3 handler alltid om abstrakte vektorrom (funksjoner eller polynomer) med matriserepresentasjon. Tren på å finne [T]_B for derivasjon.
•Basisskifte-oppgaven (2019 Oppg 3a, 2024 Oppg 3b): skriv ut de nye basisvektorene som lineaerkombinasjoner av de gamle. Kolonnene i overgangsmatrisen leses direkte av.
•Kjernen ker S: finn nullrommet til [S]_B. Oversett tilbake til funksjoner/polynomer ved å bruke basisen B.
•'Er T en isomorfi?' (2018 Oppg 4b): T er isomorfi på et endeligdimensjonalt rom hvis og bare hvis [T]_B er invertibel, dvs. det [T]_B != 0.
•Diff.operator på P_n (2023 Oppg 4): finn [T]_B i standardbasisen {1, t, t^2, ...}. Er [T]_B ovre triangulaer, er egenverdiene diagonalelementene. Egenfunksjoner = egenvektorer oversatt tilbake til polynomer.
•[S]_B for S = a*f'' + b*f' + c*f kan regnes som a*[T]_B^2 + b*[T]_B + c*I der [T]_B er derivasjonsmatrisen (2019 Oppg 3c).

Differensiallikningssystemer

•Diff.likningssystemer dukker opp som del 2b etter ortogonal diagonalisering (2019 Oppg 2b). Løsningen følger direkte.
•For ortogonale P: bruk c_i = v_i . x(0) / ||v_i||^2 i stedet for å invertere P.
•Når T er en diff.operator på et funksjonsrom (2021 Oppg 3b): sjekk om [T]_B er invertibel via determinanten.

Singulaerverdi-dekomposisjon (SVD)

•SVD dukket opp på eksamen 2019 (Oppg 4b) og 2023 (egen oppgave). Vedlegget gir ofte egenverdiene/egenvektorene til B^T B -- bruk dem!
•Fremgangsmate som gir poeng: (1) ortogonal diagonalisering av B^T B = V D V^T, (2) sigma_i = sqrt(lambda_i), (3) u_i = (1/sigma_i) B v_i, (4) utvid u-ene til ortonormal basis. Dette er ofte delt i to deloppgaver (3a + 3b).
•Spørsmålet 'finn y med ||y||=1 som maksimerer ||By||' har alltid svaret y = v_1 (første hoyre singulaervektor), og maks = sigma_1.
•Husk: rang(B) = antall positive singulaerverdier. Nul(B) utspennes av v_i med sigma_i = 0.

Ortogonale matriser og refleksjoner

•Householder-refleksjoner dukket opp på eksamen 2024 (Oppg 5). Beviset at R er ortogonal er kort og elegant -- oev på det.
•Matrisefunksjoner f(A) = 2I + A - A^2 (2021 Oppg 5): bruk at Av = lambda*v gir f(A)v = f(lambda)v.
•Geometrisk tolkning: spor alltid etter rotasjon (det = +1) vs. refleksjon (det = -1).

Indreprodukter og abstrakte indreproduktrom

•Vektede indreprodukter (2018/2019 Oppg 1d) og integralbaserte (2024 Oppg 3c) krever noyaktige beregninger. Sett opp integralene/summene systematisk.
•Gram-Schmidt med generelt indreprodukt er identisk med standard Gram-Schmidt -- bare erstatt prikkproduktet.
•Når oppgaven sier 'finn ortonormal basis': husk å normalisere (dele på normen) etter Gram-Schmidt.
•Evaluerings-indreprodukt p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1) (2020/2022): regn på polynomene via verdivektorene (p(-1),p(0),p(1)) -- da blir alt vanlig prikkprodukt i R^3.
•Projeksjon ned på P1 med evalueringsprodukt = minste kvadraters rette linje gjennom punktene. Sett gjerne opp normallikningene X^T X beta = X^T y direkte (2020 Oppg 3, 2022 Oppg 4b).
•Avstanden fra q til W regnes som ||q - q-hatt|| i det aktuelle indreproduktet, og q - q-hatt utspenner W-perp når dim W-perp = 1.