Oversikt

Egenverdier og egenvektorer er det viktigste temaet i MAT1120. En egenverdi $\lambda$ for matrisen $A$ er et tall slik at $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$ for en ikke-null vektor $\mathbf{v}$ (egenvektoren). Egenrommet til $\lambda$ er $E_\lambda = \text{Nul}(A - \lambda I)$.

Karakteristisk polynom

Egenverdiene er rottene til det karakteristiske polynomet:

$$p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = 0$$

For en $3 \times 3$-matrise far du et tredjegradspolynom. Ofte er en egenverdi oppgitt eller lett a gjette (f.eks. fra sporet $\text{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3$).

Diagonalisering

En $n \times n$-matrise $A$ er diagonaliserbar dersom den har $n$ lineaert uavhengige egenvektorer. Da kan vi skrive:

$$A = PDP^{-1}$$

der $D$ er diagonalmatrisen med egenverdier pa diagonalen, og kolonnene i $P$ er de tilhorende egenvektorene.

Nar er A diagonaliserbar?

Dersom $A$ har $n$ distinkte egenverdier: alltid diagonaliserbar.
Dersom en egenverdi har algebraisk multiplisitet $> 1$: sjekk om geometrisk multiplisitet = algebraisk multiplisitet.
Geometrisk multiplisitet = $\dim(E_\lambda) = n - \text{rang}(A - \lambda I)$.

Diagonaliserbarhet -- viktig testoppgave

Eksamen 2024 (Oppgave 2) testet to matriser: en symmetrisk $A$ (alltid diagonaliserbar) og en ovre triangulaer $B = \begin{bmatrix} 1&1&0\\0&1&0\\0&0&0 \end{bmatrix}$ med egenverdi $\lambda = 1$ av algebraisk multiplisitet 2 men geometrisk multiplisitet 1. Dermed er $B$ ikke diagonaliserbar.

Potenser og eksponentialer

Med $A = PDP^{-1}$ far vi:

$$A^k = PD^kP^{-1}, \quad e^{At} = Pe^{Dt}P^{-1}$$

der $e^{Dt} = \text{diag}(e^{\lambda_1 t}, \ldots, e^{\lambda_n t})$. Dette brukes til a lose systemer av differensiallikninger $\mathbf{x}'(t) = A\mathbf{x}(t)$.

Eksempel 1 (Eksamen 2019, Oppgave 2a)

Oppgave: La $A = \begin{bmatrix} 3&0&1\\0&4&0\\1&0&3 \end{bmatrix}$. Vis at $(1,0,1)^T$ er en egenvektor. Finn ortogonal $P$ og diagonal $D$ slik at $A = PDP^T$.

Losning: $A\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3+1\\0\\1+3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4\\0\\4\end{bmatrix} = 4\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}$. Altsa egenverdi $\lambda_1 = 4$.

Karakteristisk polynom: $\det(A - \lambda I) = (4-\lambda)[(3-\lambda)^2 - 1] = (4-\lambda)(\lambda-2)(\lambda-4) = 0$ gir $\lambda = 2, 4, 4$. Men vent -- $\lambda = 4$ har algebraisk multiplisitet 2. Egenrom for $\lambda = 4$: $\text{Nul}(A - 4I) = \text{Nul}\begin{bmatrix}-1&0&1\\0&0&0\\1&0&-1\end{bmatrix}$, som har dimensjon 2 med basis $\{(1,0,1)^T, (0,1,0)^T\}$.

Egenrom for $\lambda = 2$: $\text{Nul}(A-2I)$ gir $(1,0,-1)^T$.

Normaliser: $P = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$, $D = \text{diag}(2, 4, 4)$. $\square$

Eksempel 2 (Eksamen 2021, Oppgave 4)

Oppgave: La $A$ vaere en $3 \times 3$-matrise med egenverdier $\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = 5$, $\lambda_3 = x$ ($x \neq 3, 5$). Begrunn at $A$ er diagonaliserbar. Finn $x$ dersom $\det A = 105$.

Losning: Tre distinkte egenverdier gir tre lineaert uavhengige egenvektorer, sa $A$ er diagonaliserbar. Determinanten er produktet av egenverdiene: $\det A = 3 \cdot 5 \cdot x = 15x = 105$, sa $x = 7$. $\square$

Studieguide: Egenverdier og egenvektorer

Studieguide: Egenverdier og egenvektorer