Oversikt

En homomorfi er en avbildning $\varphi: G \to H$ som respekterer gruppeoperasjonen: $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$ for alle $a, b \in G$. Kjernen $\ker(\varphi) = \{g \in G : \varphi(g) = e_H\}$ er alltid en normal undergruppe av $G$, og bildet $\text{Im}(\varphi)$ er en undergruppe av $H$.

Viktige egenskaper

For en homomorfi $\varphi: G \to H$:

$\varphi(e_G) = e_H$
$\varphi(g^{-1}) = \varphi(g)^{-1}$
$|\varphi(g)|$ deler $|g|$
$\varphi$ er injektiv $\iff \ker(\varphi) = \{e\}$

Isomorfier og automorfier

En isomorfi er en bijektiv homomorfi. To grupper er isomorfe ($G \cong H$) dersom det finnes en isomorfi mellom dem. En automorfi er en isomorfi fra en gruppe til seg selv. Indre automorfier $\alpha_g(h) = ghg^{-1}$ er spesielt viktige -- de er alltid automorfier, og deres kjerne er senteret $Z(G)$.

Gruppevirkninger

En gruppe $G$ virker pa en mengde $X$ dersom det er en homomorfi $G \to S_X$ (permutasjonsgruppen pa $X$). Virkningen er transitiv dersom det for alle $x, y \in X$ finnes $g \in G$ med $g \cdot x = y$. Bane-stabilisator-teoremet gir: $$|G| = |\text{Orb}(x)| \cdot |\text{Stab}(x)|$$

Symmetrigrupper

Den symmetriske gruppen $S_n$ bestar av alle permutasjoner av $\{1, \ldots, n\}$ og har orden $n!$. Ethvert element kan skrives som et produkt av disjunkte sykler. Ordenen til en permutasjon er LCM av sykellengdene. Den alternerende gruppen $A_n$ (partallspermutasjonene) har orden $n!/2$ og er simpel for $n \ge 5$.

Eksempel 1 (Eksamen 2019, Oppgave 2a)

Oppgave: La $\sigma = (2,6,1,4,3)$ og $\tau = (5,2,1,3)$ i $S_6$. Uttrykk $\sigma\tau$ i disjunkt sykkelnotasjon og finn ordenen.

Losning: Vi beregner $\sigma\tau$ ved a folge hvert element (forst $\tau$, sa $\sigma$):

$1 \xrightarrow{\tau} 3 \xrightarrow{\sigma} 1$, sa 1 er et fikspunkt? Nei: $\tau$ sender $1 \mapsto 3$, og $\sigma$ sender $3 \mapsto 1$. Sjekk videre:

$2 \xrightarrow{\tau} 1 \xrightarrow{\sigma} 4$, $4 \xrightarrow{\tau} 4 \xrightarrow{\sigma} 3$, $3 \xrightarrow{\tau} 5 \xrightarrow{\sigma} 5$, $5 \xrightarrow{\tau} 2 \xrightarrow{\sigma} 6$, $6 \xrightarrow{\tau} 6 \xrightarrow{\sigma} 2$.

Altsaa: $\sigma\tau = (2,4,3,5,6)$, en 5-sykel. Ordenen er 5. $\square$

Eksempel 2 (Eksamen 2019, Oppgave 2c)

Oppgave: La $G \le S_n$ inneholde permutasjoner $\sigma_2, \ldots, \sigma_n$ med $\sigma_i(1) = i$. Vis at $G$ virker transitivt pa $\{1, \ldots, n\}$.

Losning: Vi ma vise at for alle $i, j \in \{1, \ldots, n\}$ finnes $\sigma \in G$ med $\sigma(i) = j$. Definer $\sigma_1 = \text{id}$. Da $\sigma_j(1) = j$ for alle $j$. Betrakt $\sigma = \sigma_j \circ \sigma_i^{-1}$. Siden $\sigma_i(1) = i$, har vi $\sigma_i^{-1}(i) = 1$. Dermed: $$\sigma(i) = \sigma_j(\sigma_i^{-1}(i)) = \sigma_j(1) = j$$ Siden $G$ er en undergruppe og lukket under komposisjon og inversjon, er $\sigma \in G$. $\square$

Studieguide: Homomorfier