Oversikt

En kroppsutvidelse $L/K$ er et par av kropper der $K \subseteq L$. Tallgraden (graden) $[L:K]$ er dimensjonen til $L$ som vektorrom over $K$. Et element $\alpha \in L$ er algebraisk over $K$ dersom det finnes et polynom $f(x) \in K[x]$ med $f(\alpha) = 0$.

Minimalpolynom

For et algebraisk element $\alpha$ over $K$ er minimalpolynomet det unike moniske irredusible polynomet $m_\alpha(x) \in K[x]$ med $m_\alpha(\alpha) = 0$. Vi har: $$[K(\alpha):K] = \deg m_\alpha$$

Isomorfi: $K(\alpha) \cong K[x]/\langle m_\alpha(x)\rangle$.

Tornteoremet

Dersom $K \subseteq L \subseteq M$ er kroppsutvidelser, sa: $$[M:K] = [M:L] \cdot [L:K]$$

Dette er det viktigste verktøyet for a beregne tallgrader av sammensatte utvidelser.

Rotkropper (splitting fields)

Rotkroppen til et polynom $f(x) \in K[x]$ er den minste utvidelsen av $K$ der $f$ spaltes fullstendig i lineaere faktorer. Rotkroppen er unik opp til isomorfi.

Endelige kropper revisited

Kroppen $\mathbb{F}_{p^n}$ er rotkroppen til $x^{p^n} - x$ over $\mathbb{F}_p$. Vi har $\mathbb{F}_{p^m} \subseteq \mathbb{F}_{p^n}$ hvis og bare hvis $m \mid n$.

Eksempel 1 (Eksamen 2021, Oppgave 4a)

Oppgave: La $f(x) = (x^2-2)(x^2-5)$. Finn rottene i $\mathbb{C}$, bestem rotkroppen $K$ over $\mathbb{Q}$, og vis at $[K:\mathbb{Q}] = 4$.

Losning: Rottene er $\pm\sqrt{2}$ og $\pm\sqrt{5}$. Rotkroppen er $K = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{5})$.

Vi beregner tallgraden med torntilnaermingen: $$[K:\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{5}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})] \cdot [\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]$$

$[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}] = 2$ siden $x^2 - 2$ er irredusibelt over $\mathbb{Q}$.

Vi ma vise $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{5}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})] = 2$, dvs. at $\sqrt{5} \notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})$. Anta for motsetning at $\sqrt{5} = a + b\sqrt{2}$ for $a, b \in \mathbb{Q}$. Da $5 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt{2}$. Siden $\sqrt{2}$ er irrasjonell, ma $ab = 0$. Hvis $b = 0$, da $\sqrt{5} = a \in \mathbb{Q}$, en selvmotsigelse. Hvis $a = 0$, da $5 = 2b^2$, sa $b^2 = 5/2$, som ikke har rasjonell losning. Dermed $[K:\mathbb{Q}] = 2 \cdot 2 = 4$. $\square$

Eksempel 2 (Eksamen 2018, Oppgave 4a-b)

Oppgave: La $K \subset \mathbb{C}$ vaere rotkroppen til $f(x) = x^p - 2$ over $\mathbb{Q}$. Vis at $K = \mathbb{Q}(2^{1/p}, \zeta_p)$ og at $[K:\mathbb{Q}] = p(p-1)$.

Losning: Rottene av $x^p - 2$ er $2^{1/p} \cdot \zeta_p^k$ for $k = 0, 1, \ldots, p-1$. Rotkroppen ma inneholde $2^{1/p}$ og $\zeta_p$ (f.eks. $\zeta_p = (2^{1/p}\zeta_p)/2^{1/p}$). Sa $K = \mathbb{Q}(2^{1/p}, \zeta_p)$.

Tornteoremet: $[K:\mathbb{Q}] = [K:\mathbb{Q}(\zeta_p)] \cdot [\mathbb{Q}(\zeta_p):\mathbb{Q}]$. Vi har $[\mathbb{Q}(\zeta_p):\mathbb{Q}] = p-1$. Videre, $x^p - 2$ er irredusibelt over $\mathbb{Q}$ (Eisenstein med $p = 2$... mer presist: det folger av at $[\mathbb{Q}(2^{1/p}):\mathbb{Q}] = p$). Siden $\gcd(p, p-1) = 1$, ma $p \mid [K:\mathbb{Q}(\zeta_p)]$, og omvendt $[K:\mathbb{Q}(\zeta_p)] \le p$. Dermed $[K:\mathbb{Q}] = p(p-1)$. $\square$

Studieguide: Kropper og utvidelser

Studieguide: Kropper og utvidelser