Oversikt

Polynomringen $K[x]$ over en kropp $K$ er et euklidsk omrade (og dermed et PID og UFD). Ethvert ideal er hovedideal, generert av ett polynom. Kvotientringen $K[x]/\langle f(x)\rangle$ er en kropp hvis og bare hvis $f(x)$ er irredusibelt i $K[x]$.

Irredusibilitet

Et polynom $f(x) \in K[x]$ av grad $\ge 1$ er irredusibelt dersom det ikke kan skrives som et produkt av to polynomer av lavere grad i $K[x]$.

Metoder for a teste irredusibilitet:

Grad 2 eller 3: $f(x)$ er irredusibelt $\iff$ $f(x)$ har ingen rot i $K$.
Over $\mathbb{F}_p$: Sjekk alle elementer i $\mathbb{F}_p$. For grad 4 over $\mathbb{F}_2$: sjekk $f(0)$ og $f(1)$, og sjekk i tillegg om $f$ er et produkt av to irredusible grad-2-polynomer.
Over $\mathbb{Q}$: Eisensteins kriterium, rasjonalrotstesten, reduksjon modulo $p$.

Endelige kropper

For ethvert primtall $p$ og $n \ge 1$ finnes det (opp til isomorfi) noyaktig en kropp med $p^n$ elementer, betegnet $\mathbb{F}_{p^n}$. Den kan konstrueres som: $$\mathbb{F}_{p^n} \cong \mathbb{F}_p[x]/\langle f(x)\rangle$$ der $f(x)$ er et irredusibelt polynom av grad $n$ i $\mathbb{F}_p[x]$.

Den multiplikative gruppen $\mathbb{F}_{p^n}^*$ er syklisk av orden $p^n - 1$. Et primitivt polynom er et irredusibelt polynom der en rot genererer hele $\mathbb{F}_{p^n}^*$.

Regning i kvotientringer

I $K[x]/\langle f(x)\rangle$ representeres elementer av polynomer av grad $< \deg f$. Multiplikasjon: gang polynomene og reduser modulo $f(x)$. Inverse finnes med den utvidede euklidske algoritmen.

Eksempel 1 (Eksamen 2019, Oppgave 3b-c)

Oppgave: Vis at $\mathbb{Z}_2[x]/\langle x^3 + x + 1\rangle$ er en kropp. Finn $p(x)$ med $\deg p \le 2$ slik at $x^5 + \langle x^3+x+1\rangle = p(x) + \langle x^3+x+1\rangle$.

Losning: Sjekk irredusibilitet: $f(0) = 0+0+1 = 1 \neq 0$ og $f(1) = 1+1+1 = 1 \neq 0$ i $\mathbb{F}_2$. Siden $f$ har grad 3 og ingen rot, er $f$ irredusibelt. Dermed er kvotienten en kropp med $2^3 = 8$ elementer.

For $x^5 \bmod (x^3 + x + 1)$: Vi vet at $x^3 = x + 1$ i kvotienten. Dermed: $$x^4 = x \cdot x^3 = x(x+1) = x^2 + x$$ $$x^5 = x \cdot x^4 = x(x^2 + x) = x^3 + x^2 = (x+1) + x^2 = x^2 + x + 1$$ Altsaa $p(x) = x^2 + x + 1$. $\square$

Eksempel 2 (Eksamen 2021, Oppgave 3b)

Oppgave: Vis at $f(x) = x^4 + x^3 + 1$ er irredusibelt i $\mathbb{F}_2[x]$. Vis at $f$ er et primitivt polynom.

Losning: Irredusibilitet: $f(0) = 1 \neq 0$, $f(1) = 1+1+1 = 1 \neq 0$, sa ingen lineaere faktorer. Det eneste irredusible polynomet av grad 2 i $\mathbb{F}_2[x]$ er $x^2+x+1$. Sjekk: $(x^2+x+1)^2 = x^4+x^2+1 \neq x^4+x^3+1$. Altsa har $f$ ingen faktorisering i to grad-2-polynomer, og er irredusibelt.

Primitivitet: La $\theta$ vaere en rot av $f$, sa $\mathbb{F}_{16} \cong \mathbb{F}_2[\theta]$. Vi ma vise at $\theta$ genererer $\mathbb{F}_{16}^*$, dvs. at $|\theta| = 15$. Siden $\theta^4 = \theta^3 + 1$, beregner vi potenser av $\theta$ og sjekker at $\theta^k \neq 1$ for $k = 1, 3, 5$ (divisorene av 15 mindre enn 15). Siden $|\theta|$ deler 15 og $\theta \neq 1$, $\theta^3 \neq 1$, $\theta^5 \neq 1$, ma $|\theta| = 15$. $\square$

Studieguide: Polynomringer

Studieguide: Polynomringer