Oversikt

En ring \((R, +, \cdot)\) er en abelsk gruppe under addisjon med en assosiativ multiplikasjon som distribuerer over addisjonen. En ring er kommutativ dersom \(ab = ba\). Et integritetsomrade er en kommutativ ring med 1 uten nulldivisorer (dvs. \(ab = 0 \Rightarrow a = 0\) eller \(b = 0\)).

Idealer

En delmengde \(I \subseteq R\) er et ideal dersom \(I\) er en undergruppe av \((R, +)\) og \(ra \in I\) for alle \(r \in R, a \in I\). Idealer er den ringteorietiske analogien til normalgrupper.

Typer idealer:

Primsk ideal: \(P \neq R\) er primsk dersom \(ab \in P \Rightarrow a \in P\) eller \(b \in P\). Ekvivalent: \(R/P\) er et integritetsomrade.
Maksimalt ideal: \(M \neq R\) er maksimalt dersom det ikke finnes noe ideal strengt mellom \(M\) og \(R\). Ekvivalent: \(R/M\) er en kropp.

Ethvert maksimalt ideal er primsk, men ikke omvendt (i generelle ringer).

Kvotientringer

For et ideal \(I \subseteq R\) er kvotientringen \(R/I\) ringen av sideklasser \(r + I\). Den naturlige projeksjonen \(\pi: R \to R/I\) er en ringhomomorfi med kjerne \(I\).

Spesialtilfelle: \(\mathbb{Z}\)

Ethvert ideal i \(\mathbb{Z}\) er pa formen \(n\mathbb{Z}\). Idealet \(n\mathbb{Z}\) er primsk \(\iff\) \(n\) er et primtall (eller \(n = 0\)). For sammensatt \(n = ab\) har vi \(ab \in n\mathbb{Z}\) uten at \(a\) eller \(b\) er i \(n\mathbb{Z}\), sa idealet er ikke primsk.

Eksempel 1 (Eksamen 2019, Oppgave 3a)

Oppgave: Vis at dersom \(n\) ikke er et primtall, sa er \(n\mathbb{Z}\) ikke et primsk ideal i \(\mathbb{Z}\).

Losning: Siden \(n\) ikke er prim, kan vi skrive \(n = ab\) der \(1 < a, b < n\). Da er \(ab = n \in n\mathbb{Z}\), men \(a \notin n\mathbb{Z}\) (siden \(0 < a < n\)) og \(b \notin n\mathbb{Z}\) (siden \(0 < b < n\)). Dermed er definisjonen av primsk ideal brutt: vi har \(ab \in n\mathbb{Z}\) uten at \(a\) eller \(b\) er i \(n\mathbb{Z}\). Altsa er \(n\mathbb{Z}\) ikke primsk. \(\square\)

Eksempel 2 (Eksamen 2021, Oppgave 3a)

Oppgave: Avgjor om \(\mathbb{F}_2[x]/\langle x^4 + 1\rangle\) er et integritetsomrade.

Losning: Vi ma undersoke om \(x^4 + 1\) er irredusibelt i \(\mathbb{F}_2[x]\). Over \(\mathbb{F}_2\) har vi \(x^4 + 1 = (x+1)^4\) (siden char = 2, er \((x+1)^4 = x^4 + 1\)). Dermed er \(x^4 + 1\) ikke irredusibelt. Faktisk er \(\bar{x} + \bar{1}\) en nulldivisor i kvotientringen: \((\bar{x} + \bar{1})^4 = \bar{0}\), sa \(\bar{x} + \bar{1} \neq \bar{0}\) er en nulldivisor (f.eks. \((\bar{x}+\bar{1})(\bar{x}^3+\bar{x}^2+\bar{x}+\bar{1}) = \bar{x}^4 + \bar{1} = \bar{0}\)). Altsa er \(\mathbb{F}_2[x]/\langle x^4+1\rangle\) ikke et integritetsomrade. \(\square\)

Studieguide: Ringer og idealer

Studieguide: Ringer og idealer