Oversikt

Den symmetriske gruppen $S_n$ bestar av alle permutasjoner av mengden $\{1, 2, \ldots, n\}$ og har orden $n!$. Den alternerende gruppen $A_n$ bestar av partallspermutasjonene (de som er et produkt av et partall transponisjoner) og har orden $n!/2$.

Sykkelnotasjon

Enhver permutasjon kan skrives som et produkt av disjunkte sykler. For eksempel er $(1\,3\,5)(2\,4)$ permutasjonen $1 \mapsto 3 \mapsto 5 \mapsto 1$ og $2 \mapsto 4 \mapsto 2$.

Orden: Ordenen til en permutasjon i disjunkt sykkelnotasjon er $\text{lcm}$ av sykellengdene.

Fortegn: En $k$-sykel er et produkt av $k-1$ transponisjoner, sa fortegnet er $(-1)^{k-1}$. For et produkt av disjunkte sykler: multipliser fortegnene.

Diedergrupper

Diedergruppen $D_n$ er symmetrigruppen til en regulaer $n$-kant. Den har orden $2n$ og genereres av en rotasjon $r$ (orden $n$) og en refleksjon $s$ (orden 2) med relasjonen $srs^{-1} = r^{-1}$ (ekvivalent: $sr = r^{-1}s$).

Diedergrupper er de enkleste ikke-abelske gruppene og dukker ofte opp i klassifiseringsproblemer.

Konjugeringsklasser i $S_n$

To permutasjoner i $S_n$ er konjugerte hvis og bare hvis de har samme sykkeltype. For eksempel er alle 3-sykler i $S_5$ konjugerte, og de utgjor $\binom{5}{3} \cdot 2! = 20$ elementer.

Eksempel 1 (Eksamen 2019, Oppgave 2b)

Oppgave: Vis at dersom $\sigma \in S_n$ er en sykel av odde lengde $2k+1$, sa er $\sigma^2$ ogsaa en sykel av lengde $2k+1$.

Losning: La $\sigma = (a_0, a_1, \ldots, a_{2k})$. Da $\sigma^2(a_i) = a_{i+2 \bmod (2k+1)}$. Siden $\gcd(2, 2k+1) = 1$, er avbildningen $i \mapsto i + 2 \bmod (2k+1)$ en permutasjon av $\{0, 1, \ldots, 2k\}$. Dermed trawler $\sigma^2$ gjennom alle elementene i en enkelt sykel: $$\sigma^2 = (a_0, a_2, a_4, \ldots, a_{2k}, a_1, a_3, \ldots, a_{2k-1})$$ som er en sykel av lengde $2k+1$. $\square$

Eksempel 2 (Eksamen 2018, Oppgave 2b)

Oppgave: La $|G| = 2018 = 2 \cdot 1009$. Vis at $G$ er syklisk eller isomorf med diedergruppen $D_{1009}$.

Losning: Fra 2a har $G$ en normal syklisk undergruppe $H \cong \mathbb{Z}_{1009}$. La $b \in G \setminus H$ ha orden 2 (som finnes siden $[G:H] = 2$). Konjugering med $b$ gir en automorfi $\alpha$ av $H \cong \mathbb{Z}_{1009}$ med $\alpha^2 = \text{id}$.

Automorfiene av $\mathbb{Z}_{1009}$ er $\text{Aut}(\mathbb{Z}_{1009}) \cong \mathbb{Z}_{1009}^* \cong \mathbb{Z}_{1008}$. Elementer av orden 1 eller 2 i $\mathbb{Z}_{1008}$: $\alpha = \text{id}$ (identitet) eller $\alpha: a \mapsto a^{-1}$ (inversjon, som har orden 2 siden 1009 er primtall).

Hvis $\alpha = \text{id}$: $b$ sentraliserer $H$, sa $G$ er abelsk av orden $2018 = 2 \cdot 1009$, altsaa $G \cong \mathbb{Z}_{2018}$ (syklisk).

Hvis $\alpha: a \mapsto a^{-1}$: da $bab^{-1} = a^{-1}$, som er definisjonsrelasjonene for $D_{1009}$. $\square$