MAT2400

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Reell analyse

eksamenssett.no

Formler

Metriske rom

• $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z) \quad \text{(trekantulikheten)}$
• $\text{dist}(x, E) = \inf\{d(x,y) : y \in E\}, \quad |\text{dist}(x,E) - \text{dist}(y,E)| \le d(x,y)$

Normer og operatorer

• $\|f\|_\infty = \sup_x |f(x)|, \quad \|A\| = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|$
• $\|Ax\| \le \|A\|\|x\|, \quad \|AB\| \le \|A\|\|B\|$

Kontraksjoner

• $d(T(x), T(y)) \le c\,d(x,y),\; c < 1 \quad \Rightarrow \quad \exists!\; x^* : T(x^*) = x^*$

Frechet-derivasjon

• $F'(a;r) = \lim_{t \to 0} \frac{F(a+tr)-F(a)}{t} \quad \text{(retningsderivert)}$
• $\lim_{\|h\| \to 0} \frac{\|F(a+h)-F(a)-F'(a)(h)\|}{\|h\|} = 0 \quad \text{(Frechet)}$
• $(F^{-1})'(F(a)) = (F'(a))^{-1} \quad \text{(inversefunksjonssetningen)}$

Fourier-rekker

• $a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$
• $\alpha_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}\,dx, \quad \sum|\alpha_n|^2 = \frac{1}{2\pi}\int|f|^2\,dx$

Konvergens

• $\text{Weierstrass M-test: } |f_n(x)| \le M_n,\; \sum M_n < \infty \Rightarrow \sum f_n \text{ unif. konv.}$
• $\text{Konvergensradius: } \frac{1}{R} = \limsup |a_n|^{1/n}$

Hilbert-rom

• $\langle u, e_n \rangle = \alpha_n, \quad \sum|\alpha_n|^2 \le \|u\|^2 \quad \text{(Bessel)}$

Implisittfunksjonsteoremet

• $G(a,b) = 0,\; D_y G(a,b) \text{ invertibel} \Rightarrow y = \varphi(x) \text{ lokalt}, \quad \varphi'(a) = -(D_y G)^{-1}D_x G$

Nøkkelformler per tema

Metriske rom

•Metrikk-aksiomer: $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y, \quad d(x,y) = d(y,x), \quad d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$
•Apen kule: $B(x,r) = \{y \in X : d(x,y) < r\}$
•Avstand til mengde: $\text{dist}(x, E) = \inf\{d(x,y) : y \in E\}$
•Lipschitz-kontinuitet av dist: $|\text{dist}(x, E) - \text{dist}(y, E)| \le d(x,y)$
•Lukket mengde: $x_n \in A,\; x_n \to x \;\Rightarrow\; x \in A$

Kompakthet

•Folge-kompakthet: Enhver folge i $X$ har en konvergent delfolge med grenseverdi i $X$.
•Heine-Borel (i $\mathbb{R}^n$): $K \text{ kompakt} \Leftrightarrow K \text{ lukket og begrenset}$
•Bildet av kompakt mengde under kontinuerlig avbildning er kompakt.
•Kontinuerlig $f: X \to \mathbb{R}$, $X$ kompakt $\Rightarrow$ $f$ oppnar min og maks.
•Kompakt + kontinuerlig $\Rightarrow$ uniformt kontinuerlig.

Normerte rom og Banach-rom

•Norm-aksiomer: $\|x\| \ge 0, \quad \|\alpha x\| = |\alpha|\|x\|, \quad \|x+y\| \le \|x\| + \|y\|$
•Supremumsnorm: $\|f\|_\infty = \sup_{x \in X} |f(x)|$
•Ekvivalente normer: $c\|x\|_1 \le \|x\|_2 \le C\|x\|_1$
•Operatornorm: $\|A\| = \sup_{\|x\| = 1} \|Ax\|$
•Banach-rom: Fullstendig normert rom (enhver Cauchy-folge konvergerer).

Kontraksjonsavbildninger

•Kontraksjon: $d(T(x), T(y)) \le c \cdot d(x,y), \quad c \in [0,1)$
•Banachs fikspunktteorem: Fullstendig rom + kontraksjon $\Rightarrow$ unikt fikspunkt.
•Iterasjon: $x_{n+1} = T(x_n) \to x^*$ fra ethvert startpunkt.
•Feilestimat: $d(x_n, x^*) \le \frac{c^n}{1-c}d(x_0, x_1)$

Frechet-derivasjon

•Retningsderivert: $F'(a; r) = \lim_{t \to 0} \frac{F(a+tr) - F(a)}{t}$
•Frechet-derivert: $\lim_{\|h\| \to 0} \frac{\|F(a+h) - F(a) - F'(a)(h)\|}{\|h\|} = 0$
•Inversefunksjonsteoremet: $F'(a) \text{ invertibel} \Rightarrow F \text{ lokalt invertibel}, \quad (F^{-1})' = (F')^{-1}$
•Implisittfunksjonsteoremet: $G(x,y) = 0, \; G_y \text{ invertibel} \Rightarrow y = y(x) \text{ lokalt}$

Uniform konvergens og funksjonsrekker

•Uniform konvergens: $\|f_n - f\|_\infty = \sup_x |f_n(x) - f(x)| \to 0$
•Weierstrass M-test: $|f_n(x)| \le M_n,\; \sum M_n < \infty \;\Rightarrow\; \sum f_n \text{ konvergerer uniformt}$
•Konvergensradius: $\frac{1}{R} = \limsup |a_n|^{1/n}$
•Termvis derivasjon: $\left(\sum a_n x^n\right)' = \sum n a_n x^{n-1}$ (same $R$)
•Uniform grense av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig.

Fourier-rekker

•Reelle koeffisienter: $a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$
•Komplekse koeffisienter: $\alpha_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}\,dx$
•Parsevals identitet: $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx = \sum_{n \in \mathbb{Z}}|\alpha_n|^2$
•Leibniz-rekken: $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}$
•Partall-funksjon: $b_n = 0$ ; Oddetall-funksjon: $a_n = 0$

Hilbert-rom og ortogonalitet

•Indreprodukt-norm: $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$
•Fourier-koeffisienter: $\alpha_n = \langle u, e_n \rangle$
•Bessels ulikhet: $\sum_{n=1}^{\infty} |\langle u, e_n \rangle|^2 \le \|u\|^2$
•Parsevals identitet (ortonormal basis): $\sum_{n=1}^{\infty} |\langle u, e_n \rangle|^2 = \|u\|^2$
•Beste tilnaerming: $v = \sum \langle u, e_n \rangle e_n$ minimerer $\|u - w\|$ over $w \in \overline{\text{span}}\{e_n\}$

Implisittfunksjonsteoremet

•IFT-betingelse: $D_y G(a,b) \text{ invertibel} \;\Rightarrow\; y = \varphi(x) \text{ lokalt}$
•Implisitt derivasjon: $y'(x) = -(D_y G)^{-1} D_x G$
•For en likning $G(x,y) = 0$: $\frac{dy}{dx} = -\frac{G_x}{G_y}$
•Jacobi-matrise: $D_y G = \begin{pmatrix} \partial G_1/\partial y_1 & \cdots \\ \vdots & \ddots \end{pmatrix}$

Vanlige feil å unngå

Metriske rom

•Forveksle apen og lukket kule: B(x,r) er apen, men den lukkede kulen er {y : d(x,y) <= r}, som ikke alltid er tillukkingen av B(x,r).
•Anta at infimum alltid oppnas -- det gjor det kun nar mengden er kompakt (eller har andre spesielle egenskaper).
•Glemme a verifisere alle tre metrikk-aksiomene nar du skal vise at noe er en metrikk.
•Forveksle punktvis og uniform konvergens nar du viser at en grensefunksjon arver egenskaper.

Kompakthet

•Anta at lukket og begrenset betyr kompakt i generelle metriske rom -- Heine-Borel gjelder kun i R^n.
•Glemme at kompakthet i uendeligdimensjonale normerte rom krever sterkere betingelser (lukkede begrensede mengder er IKKE nodvendigvis kompakte).
•Forveksle 'har en konvergent delfolge' med 'konvergerer' -- kompakthet sier delfolge, ikke hele folgen.
•Bruke kompakthet uten a verifisere at rommet/mengden faktisk er kompakt.

Normerte rom og Banach-rom

•Glemme a vise at grensefunksjonen faktisk ligger i rommet X (f.eks. at den er kontinuerlig, begrenset, eller har riktig grenseverdi i uendelig).
•Forveksle operatornorm-konvergens med punktvis konvergens -- de er ikke det samme (eksamen 2020, oppgave 2d viser dette eksplisitt).
•Anta at begrensede lukkede mengder er kompakte i uendeligdimensjonale rom -- dette er feil!
•Glemme a verifisere at norm-aksiom (i) krever bade >= 0 OG at likhet gir nullvektoren.

Kontraksjonsavbildninger

•Konkludere med fikspunkt uten a sjekke at rommet er fullstendig -- dette er en nodvendig betingelse.
•Forveksle d(T(x),T(y)) < d(x,y) (streng ulikhet) med kontraksjon -- kontraksjoner krever en uniform konstant c < 1.
•Glemme a verifisere at T faktisk avbilder X til X (at T(x) ligger i X for alle x i X).
•Anta at kontraksjonsegenskapen alene gir konvergens -- du trenger bade kontraksjon OG fullstendighet.

Frechet-derivasjon

•Anta at eksistens av retningsderiverte i alle retninger betyr Frechet-deriverbarhet -- dette er feil!
•Glemme a vise at den kandiderte deriverten A er lineaer OG begrenset (begge deler er nodvendig).
•Estimere restleddet feil: du ma vise at ||rest|| / ||h|| -> 0, ikke bare at ||rest|| -> 0.
•Forveksle F'(a)(r) (Frechet-deriverten anvendt pa r) med F'(a; r) (retningsderiverten langs r) -- de er like nar F er Frechet-deriverbar, men konseptuelt forskjellige.

Uniform konvergens og funksjonsrekker

•Forveksle punktvis og uniform konvergens -- punktvis konvergens bevarer IKKE kontinuitet.
•Glemme a sjekke endepunktene separat nar du finner konvergensintervallet til en potensrekke.
•Bruke kvotienttesten pa rekker der grensen ikke eksisterer -- bruk da rottesten (limsup) i stedet.
•Anta at termvis derivasjon alltid er tillatt -- det krever uniform konvergens av den deriverte rekken.

Fourier-rekker

•Glemme faktoren 1/pi (eller 1/2pi for komplekse koeffisienter) i beregningen av Fourier-koeffisienter.
•Evaluere Fourier-rekken i et diskontinuitetspunkt uten a ta gjennomsnittet av venstre- og hoyregrensen.
•Forveksle reelle og komplekse Fourier-koeffisienter -- de har forskjellige normaliseringsfaktorer.
•Bruke punktvis konvergens nar oppgaven krever uniform konvergens.

Hilbert-rom og ortogonalitet

•Forveksle ortonormalt system med ortonormal basis -- et ortonormalt system er en basis kun nar det er fullstendig (spannet er tett).
•Anta at like Fourier-koeffisienter betyr likhet -- dette gjelder kun nar systemet er en basis (eksamen 2022 Oppg 4c).
•Glemme at Bessels ulikhet alltid gjelder, men Parsevals identitet kun for baser.
•Bruke endeligdimensjonal intuisjon i uendeligdimensjonale Hilbert-rom.

Implisittfunksjonsteoremet

•Glemme a verifisere at det gitte punktet faktisk er en losning av systemet (steg 1).
•Derivere med hensyn pa feil variabler -- les oppgaven noyye: hvilke variabler er 'frie' og hvilke skal loses ut?
•Sette opp Jacobi-matrisen med feil dimensjoner (den skal vaere m x m der m er antall variabler som loses ut).
•Glemme a sjekke invertibilitet av D_y G (determinant != 0).

Eksamenstips

Metriske rom

•Argumentet 'E kompakt => folge har konvergent delfolge => infimum oppnas' er en gjengangerstruktur. Oev pa dette monsteret.
•For a vise at en mengde er lukket, bruk folgekjennetegnet: ta en konvergent folge i mengden og vis at grensen ogsa ligger i mengden.
•Eksamen 2021 Oppg 2 og Oppg 3a tester begge metriske rom-konsepter direkte. Eksamen 2022 Oppg 3 bruker kompakthet sentralt.

Kompakthet

•Kompakthet er det vanligste bevisverktoyeet pa MAT2400-eksamen. Argumentet 'ta en folge, trekk ut delfolge, send til grense' er brukt i 2020, 2021, 2022.
•Nar oppgaven ber om moteksempel der kompakthet mangler, tenk pa (0,1], R, eller uendeligdimensjonale rom.
•Eksamen 2022 Oppg 3: Klassisk kompakthetsargument. Eksamen 2022 Oppg 5c: Kompakthet feiler i uendelig dimensjon.

Normerte rom og Banach-rom

•Norm-verifikasjon (alle tre aksiomer) er en gjenganger: 2022 Oppg 5b, 2021 Oppg 4a. Oev pa a gjore dette raskt.
•Fullstendighetsbevis folger alltid samme monster: Cauchy-folge -> finn grense -> vis at grensen er i rommet.
•Ekvivalente normer: Nokkelen er a finne de to konstantene c og C. Bruk operatornormen til A og A^{-1}.

Kontraksjonsavbildninger

•Eksamen 2021 Oppg 1 er den klassiske oppgaven: kontraksjon uten fikspunkt fordi rommet ikke er fullstendig.
•Sjekk alltid to ting: (1) er c < 1? (2) er rommet fullstendig? Nar en av betingelsene mangler, ma du forklare hva som gar galt.
•For integraloperatorer: bruk supremumsnormen og estimer integralet for a finne kontraksjons-konstanten.

Frechet-derivasjon

•Frechet-derivasjon er pa ALLE eksamener: 2020 Oppg 1+3b, 2021 Oppg 7, 2022 Oppg 2. Start med a beregne retningsderiverten for a gjette kandidaten.
•Restleddet er ofte et 'andreordens'-ledd som |h(0)h(1)| eller r_i^2. Vis at dette er o(||h||).
•Inversefunksjonsteoremet: Sjekk at F'(a) er invertibel (har begrenset invers), deretter bruk formelen (F^{-1})' = (F')^{-1}.

Uniform konvergens og funksjonsrekker

•Weierstrass M-test er det foretrukne verktoyeet for a vise uniform konvergens pa eksamen (2020 Oppg 5a, 2022 Oppg 1a).
•Potensrekkeoppgaver: Beregn R, sjekk endepunkter, og deretter termvis derivasjon med samme R. Standardprosedyre.
•Eksamen 2021 Oppg 5 og 2020 Oppg 5 tester begge uniform konvergens av rekker. Vurder alltid Weierstrass M-test forst.

Fourier-rekker

•Fourier-rekker er pa de fleste eksamener: 2020 Oppg 5c, 2021 Oppg 6, 2022 Oppg 1. Oev pa a beregne koeffisienter raskt.
•Teknikken 'evaluer i x=0 for a finne en tallrekke' er en klassiker (2022 Oppg 1b). Ha Leibniz-rekken pi/4 i bakhodet.
•For entydighetsbevis: bruk Parsevals identitet til a vise at h = f - g har L^2-norm 0, dermed h = 0.

Hilbert-rom og ortogonalitet

•Eksamen 2022 Oppg 4 tester hele tematikken: entydighet av koeffisienter, ikke-baser, og projeksjonsegenskaper. Oev spesielt pa denne oppgaven.
•Argumentet 'ta indreprodukt med e_k og bruk ortonormalitet' er standardteknikken for a finne koeffisienter.
•Husk at Bessels ulikhet garanterer konvergens av sum alpha_n^2, som igjen gir konvergens av sum alpha_n e_n i H.

Implisittfunksjonsteoremet

•IFT-oppgaver folger alltid samme oppskrift: (1) verifiser losningspunkt, (2) beregn Jacobian, (3) sjekk determinant, (4) konkluder. Oev pa a gjore dette raskt.
•Eksamen 2020 Oppg 4 er en typisk IFT-oppgave med et 3-variabel-system. Pa slike oppgaver ma du vaere klar pa hvilke variabler som er frie.
•Derivasjon av implisitte funksjoner: husk formelen y' = -(D_y G)^{-1} D_x G, men pa eksamen rekker det ofte med 2x2-tilfelle.

MAT2400

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Reell analyse

eksamenssett.no

Formler

Metriske rom

• $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z) \quad \text{(trekantulikheten)}$
• $\text{dist}(x, E) = \inf\{d(x,y) : y \in E\}, \quad |\text{dist}(x,E) - \text{dist}(y,E)| \le d(x,y)$

Normer og operatorer

• $\|f\|_\infty = \sup_x |f(x)|, \quad \|A\| = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|$
• $\|Ax\| \le \|A\|\|x\|, \quad \|AB\| \le \|A\|\|B\|$

Kontraksjoner

• $d(T(x), T(y)) \le c\,d(x,y),\; c < 1 \quad \Rightarrow \quad \exists!\; x^* : T(x^*) = x^*$

Frechet-derivasjon

• $F'(a;r) = \lim_{t \to 0} \frac{F(a+tr)-F(a)}{t} \quad \text{(retningsderivert)}$
• $\lim_{\|h\| \to 0} \frac{\|F(a+h)-F(a)-F'(a)(h)\|}{\|h\|} = 0 \quad \text{(Frechet)}$
• $(F^{-1})'(F(a)) = (F'(a))^{-1} \quad \text{(inversefunksjonssetningen)}$

Fourier-rekker

• $a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$
• $\alpha_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}\,dx, \quad \sum|\alpha_n|^2 = \frac{1}{2\pi}\int|f|^2\,dx$

Konvergens

• $\text{Weierstrass M-test: } |f_n(x)| \le M_n,\; \sum M_n < \infty \Rightarrow \sum f_n \text{ unif. konv.}$
• $\text{Konvergensradius: } \frac{1}{R} = \limsup |a_n|^{1/n}$

Hilbert-rom

• $\langle u, e_n \rangle = \alpha_n, \quad \sum|\alpha_n|^2 \le \|u\|^2 \quad \text{(Bessel)}$

Implisittfunksjonsteoremet

• $G(a,b) = 0,\; D_y G(a,b) \text{ invertibel} \Rightarrow y = \varphi(x) \text{ lokalt}, \quad \varphi'(a) = -(D_y G)^{-1}D_x G$

Nøkkelformler per tema

Metriske rom

•Metrikk-aksiomer: $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y, \quad d(x,y) = d(y,x), \quad d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$
•Apen kule: $B(x,r) = \{y \in X : d(x,y) < r\}$
•Avstand til mengde: $\text{dist}(x, E) = \inf\{d(x,y) : y \in E\}$
•Lipschitz-kontinuitet av dist: $|\text{dist}(x, E) - \text{dist}(y, E)| \le d(x,y)$
•Lukket mengde: $x_n \in A,\; x_n \to x \;\Rightarrow\; x \in A$

Kompakthet

•Folge-kompakthet: Enhver folge i $X$ har en konvergent delfolge med grenseverdi i $X$.
•Heine-Borel (i $\mathbb{R}^n$): $K \text{ kompakt} \Leftrightarrow K \text{ lukket og begrenset}$
•Bildet av kompakt mengde under kontinuerlig avbildning er kompakt.
•Kontinuerlig $f: X \to \mathbb{R}$, $X$ kompakt $\Rightarrow$ $f$ oppnar min og maks.
•Kompakt + kontinuerlig $\Rightarrow$ uniformt kontinuerlig.

Normerte rom og Banach-rom

•Norm-aksiomer: $\|x\| \ge 0, \quad \|\alpha x\| = |\alpha|\|x\|, \quad \|x+y\| \le \|x\| + \|y\|$
•Supremumsnorm: $\|f\|_\infty = \sup_{x \in X} |f(x)|$
•Ekvivalente normer: $c\|x\|_1 \le \|x\|_2 \le C\|x\|_1$
•Operatornorm: $\|A\| = \sup_{\|x\| = 1} \|Ax\|$
•Banach-rom: Fullstendig normert rom (enhver Cauchy-folge konvergerer).

Kontraksjonsavbildninger

•Kontraksjon: $d(T(x), T(y)) \le c \cdot d(x,y), \quad c \in [0,1)$
•Banachs fikspunktteorem: Fullstendig rom + kontraksjon $\Rightarrow$ unikt fikspunkt.
•Iterasjon: $x_{n+1} = T(x_n) \to x^*$ fra ethvert startpunkt.
•Feilestimat: $d(x_n, x^*) \le \frac{c^n}{1-c}d(x_0, x_1)$

Frechet-derivasjon

•Retningsderivert: $F'(a; r) = \lim_{t \to 0} \frac{F(a+tr) - F(a)}{t}$
•Frechet-derivert: $\lim_{\|h\| \to 0} \frac{\|F(a+h) - F(a) - F'(a)(h)\|}{\|h\|} = 0$
•Inversefunksjonsteoremet: $F'(a) \text{ invertibel} \Rightarrow F \text{ lokalt invertibel}, \quad (F^{-1})' = (F')^{-1}$
•Implisittfunksjonsteoremet: $G(x,y) = 0, \; G_y \text{ invertibel} \Rightarrow y = y(x) \text{ lokalt}$

Uniform konvergens og funksjonsrekker

•Uniform konvergens: $\|f_n - f\|_\infty = \sup_x |f_n(x) - f(x)| \to 0$
•Weierstrass M-test: $|f_n(x)| \le M_n,\; \sum M_n < \infty \;\Rightarrow\; \sum f_n \text{ konvergerer uniformt}$
•Konvergensradius: $\frac{1}{R} = \limsup |a_n|^{1/n}$
•Termvis derivasjon: $\left(\sum a_n x^n\right)' = \sum n a_n x^{n-1}$ (same $R$)
•Uniform grense av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig.

Fourier-rekker

•Reelle koeffisienter: $a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$
•Komplekse koeffisienter: $\alpha_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}\,dx$
•Parsevals identitet: $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx = \sum_{n \in \mathbb{Z}}|\alpha_n|^2$
•Leibniz-rekken: $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}$
•Partall-funksjon: $b_n = 0$ ; Oddetall-funksjon: $a_n = 0$

Hilbert-rom og ortogonalitet

•Indreprodukt-norm: $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$
•Fourier-koeffisienter: $\alpha_n = \langle u, e_n \rangle$
•Bessels ulikhet: $\sum_{n=1}^{\infty} |\langle u, e_n \rangle|^2 \le \|u\|^2$
•Parsevals identitet (ortonormal basis): $\sum_{n=1}^{\infty} |\langle u, e_n \rangle|^2 = \|u\|^2$
•Beste tilnaerming: $v = \sum \langle u, e_n \rangle e_n$ minimerer $\|u - w\|$ over $w \in \overline{\text{span}}\{e_n\}$

Implisittfunksjonsteoremet

•IFT-betingelse: $D_y G(a,b) \text{ invertibel} \;\Rightarrow\; y = \varphi(x) \text{ lokalt}$
•Implisitt derivasjon: $y'(x) = -(D_y G)^{-1} D_x G$
•For en likning $G(x,y) = 0$: $\frac{dy}{dx} = -\frac{G_x}{G_y}$
•Jacobi-matrise: $D_y G = \begin{pmatrix} \partial G_1/\partial y_1 & \cdots \\ \vdots & \ddots \end{pmatrix}$

Vanlige feil å unngå

Metriske rom

•Forveksle apen og lukket kule: B(x,r) er apen, men den lukkede kulen er {y : d(x,y) <= r}, som ikke alltid er tillukkingen av B(x,r).
•Anta at infimum alltid oppnas -- det gjor det kun nar mengden er kompakt (eller har andre spesielle egenskaper).
•Glemme a verifisere alle tre metrikk-aksiomene nar du skal vise at noe er en metrikk.
•Forveksle punktvis og uniform konvergens nar du viser at en grensefunksjon arver egenskaper.

Kompakthet

•Anta at lukket og begrenset betyr kompakt i generelle metriske rom -- Heine-Borel gjelder kun i R^n.
•Glemme at kompakthet i uendeligdimensjonale normerte rom krever sterkere betingelser (lukkede begrensede mengder er IKKE nodvendigvis kompakte).
•Forveksle 'har en konvergent delfolge' med 'konvergerer' -- kompakthet sier delfolge, ikke hele folgen.
•Bruke kompakthet uten a verifisere at rommet/mengden faktisk er kompakt.

Normerte rom og Banach-rom

•Glemme a vise at grensefunksjonen faktisk ligger i rommet X (f.eks. at den er kontinuerlig, begrenset, eller har riktig grenseverdi i uendelig).
•Forveksle operatornorm-konvergens med punktvis konvergens -- de er ikke det samme (eksamen 2020, oppgave 2d viser dette eksplisitt).
•Anta at begrensede lukkede mengder er kompakte i uendeligdimensjonale rom -- dette er feil!
•Glemme a verifisere at norm-aksiom (i) krever bade >= 0 OG at likhet gir nullvektoren.

Kontraksjonsavbildninger

•Konkludere med fikspunkt uten a sjekke at rommet er fullstendig -- dette er en nodvendig betingelse.
•Forveksle d(T(x),T(y)) < d(x,y) (streng ulikhet) med kontraksjon -- kontraksjoner krever en uniform konstant c < 1.
•Glemme a verifisere at T faktisk avbilder X til X (at T(x) ligger i X for alle x i X).
•Anta at kontraksjonsegenskapen alene gir konvergens -- du trenger bade kontraksjon OG fullstendighet.

Frechet-derivasjon

•Anta at eksistens av retningsderiverte i alle retninger betyr Frechet-deriverbarhet -- dette er feil!
•Glemme a vise at den kandiderte deriverten A er lineaer OG begrenset (begge deler er nodvendig).
•Estimere restleddet feil: du ma vise at ||rest|| / ||h|| -> 0, ikke bare at ||rest|| -> 0.
•Forveksle F'(a)(r) (Frechet-deriverten anvendt pa r) med F'(a; r) (retningsderiverten langs r) -- de er like nar F er Frechet-deriverbar, men konseptuelt forskjellige.

Uniform konvergens og funksjonsrekker

•Forveksle punktvis og uniform konvergens -- punktvis konvergens bevarer IKKE kontinuitet.
•Glemme a sjekke endepunktene separat nar du finner konvergensintervallet til en potensrekke.
•Bruke kvotienttesten pa rekker der grensen ikke eksisterer -- bruk da rottesten (limsup) i stedet.
•Anta at termvis derivasjon alltid er tillatt -- det krever uniform konvergens av den deriverte rekken.

Fourier-rekker

•Glemme faktoren 1/pi (eller 1/2pi for komplekse koeffisienter) i beregningen av Fourier-koeffisienter.
•Evaluere Fourier-rekken i et diskontinuitetspunkt uten a ta gjennomsnittet av venstre- og hoyregrensen.
•Forveksle reelle og komplekse Fourier-koeffisienter -- de har forskjellige normaliseringsfaktorer.
•Bruke punktvis konvergens nar oppgaven krever uniform konvergens.

Hilbert-rom og ortogonalitet

•Forveksle ortonormalt system med ortonormal basis -- et ortonormalt system er en basis kun nar det er fullstendig (spannet er tett).
•Anta at like Fourier-koeffisienter betyr likhet -- dette gjelder kun nar systemet er en basis (eksamen 2022 Oppg 4c).
•Glemme at Bessels ulikhet alltid gjelder, men Parsevals identitet kun for baser.
•Bruke endeligdimensjonal intuisjon i uendeligdimensjonale Hilbert-rom.

Implisittfunksjonsteoremet

•Glemme a verifisere at det gitte punktet faktisk er en losning av systemet (steg 1).
•Derivere med hensyn pa feil variabler -- les oppgaven noyye: hvilke variabler er 'frie' og hvilke skal loses ut?
•Sette opp Jacobi-matrisen med feil dimensjoner (den skal vaere m x m der m er antall variabler som loses ut).
•Glemme a sjekke invertibilitet av D_y G (determinant != 0).

Eksamenstips

Metriske rom

•Argumentet 'E kompakt => folge har konvergent delfolge => infimum oppnas' er en gjengangerstruktur. Oev pa dette monsteret.
•For a vise at en mengde er lukket, bruk folgekjennetegnet: ta en konvergent folge i mengden og vis at grensen ogsa ligger i mengden.
•Eksamen 2021 Oppg 2 og Oppg 3a tester begge metriske rom-konsepter direkte. Eksamen 2022 Oppg 3 bruker kompakthet sentralt.

Kompakthet

•Kompakthet er det vanligste bevisverktoyeet pa MAT2400-eksamen. Argumentet 'ta en folge, trekk ut delfolge, send til grense' er brukt i 2020, 2021, 2022.
•Nar oppgaven ber om moteksempel der kompakthet mangler, tenk pa (0,1], R, eller uendeligdimensjonale rom.
•Eksamen 2022 Oppg 3: Klassisk kompakthetsargument. Eksamen 2022 Oppg 5c: Kompakthet feiler i uendelig dimensjon.

Normerte rom og Banach-rom

•Norm-verifikasjon (alle tre aksiomer) er en gjenganger: 2022 Oppg 5b, 2021 Oppg 4a. Oev pa a gjore dette raskt.
•Fullstendighetsbevis folger alltid samme monster: Cauchy-folge -> finn grense -> vis at grensen er i rommet.
•Ekvivalente normer: Nokkelen er a finne de to konstantene c og C. Bruk operatornormen til A og A^{-1}.

Kontraksjonsavbildninger

•Eksamen 2021 Oppg 1 er den klassiske oppgaven: kontraksjon uten fikspunkt fordi rommet ikke er fullstendig.
•Sjekk alltid to ting: (1) er c < 1? (2) er rommet fullstendig? Nar en av betingelsene mangler, ma du forklare hva som gar galt.
•For integraloperatorer: bruk supremumsnormen og estimer integralet for a finne kontraksjons-konstanten.

Frechet-derivasjon

•Frechet-derivasjon er pa ALLE eksamener: 2020 Oppg 1+3b, 2021 Oppg 7, 2022 Oppg 2. Start med a beregne retningsderiverten for a gjette kandidaten.
•Restleddet er ofte et 'andreordens'-ledd som |h(0)h(1)| eller r_i^2. Vis at dette er o(||h||).
•Inversefunksjonsteoremet: Sjekk at F'(a) er invertibel (har begrenset invers), deretter bruk formelen (F^{-1})' = (F')^{-1}.

Uniform konvergens og funksjonsrekker

•Weierstrass M-test er det foretrukne verktoyeet for a vise uniform konvergens pa eksamen (2020 Oppg 5a, 2022 Oppg 1a).
•Potensrekkeoppgaver: Beregn R, sjekk endepunkter, og deretter termvis derivasjon med samme R. Standardprosedyre.
•Eksamen 2021 Oppg 5 og 2020 Oppg 5 tester begge uniform konvergens av rekker. Vurder alltid Weierstrass M-test forst.

Fourier-rekker

•Fourier-rekker er pa de fleste eksamener: 2020 Oppg 5c, 2021 Oppg 6, 2022 Oppg 1. Oev pa a beregne koeffisienter raskt.
•Teknikken 'evaluer i x=0 for a finne en tallrekke' er en klassiker (2022 Oppg 1b). Ha Leibniz-rekken pi/4 i bakhodet.
•For entydighetsbevis: bruk Parsevals identitet til a vise at h = f - g har L^2-norm 0, dermed h = 0.

Hilbert-rom og ortogonalitet

•Eksamen 2022 Oppg 4 tester hele tematikken: entydighet av koeffisienter, ikke-baser, og projeksjonsegenskaper. Oev spesielt pa denne oppgaven.
•Argumentet 'ta indreprodukt med e_k og bruk ortonormalitet' er standardteknikken for a finne koeffisienter.
•Husk at Bessels ulikhet garanterer konvergens av sum alpha_n^2, som igjen gir konvergens av sum alpha_n e_n i H.

Implisittfunksjonsteoremet

•IFT-oppgaver folger alltid samme oppskrift: (1) verifiser losningspunkt, (2) beregn Jacobian, (3) sjekk determinant, (4) konkluder. Oev pa a gjore dette raskt.
•Eksamen 2020 Oppg 4 er en typisk IFT-oppgave med et 3-variabel-system. Pa slike oppgaver ma du vaere klar pa hvilke variabler som er frie.
•Derivasjon av implisitte funksjoner: husk formelen y' = -(D_y G)^{-1} D_x G, men pa eksamen rekker det ofte med 2x2-tilfelle.