MAT2400

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Reell analyse

eksamenssett.no

Nøkkelformler per tema

Metriske rom

•Metrikk-aksiomer: $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y, \quad d(x,y) = d(y,x), \quad d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$
•Apen kule: $B(x,r) = \{y \in X : d(x,y) < r\}$
•Avstand til mengde: $\text{dist}(x, E) = \inf\{d(x,y) : y \in E\}$
•Lipschitz-kontinuitet av dist: $|\text{dist}(x, E) - \text{dist}(y, E)| \le d(x,y)$
•Lukket mengde: $x_n \in A,\; x_n \to x \;\Rightarrow\; x \in A$

Kompakthet

•Følge-kompakthet: Enhver følge i $X$ har en konvergent delfolge med grenseverdi i $X$.
•Heine-Borel (i $\mathbb{R}^n$): $K \text{ kompakt} \Leftrightarrow K \text{ lukket og begrenset}$
•Bildet av kompakt mengde under kontinuerlig avbildning er kompakt.
•Kontinuerlig $f: X \to \mathbb{R}$, $X$ kompakt $\Rightarrow$ $f$ oppnar min og maks.
•Kompakt + kontinuerlig $\Rightarrow$ uniformt kontinuerlig.

Normerte rom og Banach-rom

•Norm-aksiomer: $\|x\| \ge 0, \quad \|\alpha x\| = |\alpha|\|x\|, \quad \|x+y\| \le \|x\| + \|y\|$
•Supremumsnorm: $\|f\|_\infty = \sup_{x \in X} |f(x)|$
•Ekvivalente normer: $c\|x\|_1 \le \|x\|_2 \le C\|x\|_1$
•Operatornorm: $\|A\| = \sup_{\|x\| = 1} \|Ax\|$
•Banach-rom: Fullstendig normert rom (enhver Cauchy-følge konvergerer).

Kontraksjonsavbildninger

•Kontraksjon: $d(T(x), T(y)) \le c \cdot d(x,y), \quad c \in [0,1)$
•Banachs fikspunktteorem: Fullstendig rom + kontraksjon $\Rightarrow$ unikt fikspunkt.
•Iterasjon: $x_{n+1} = T(x_n) \to x^*$ fra ethvert startpunkt.
•Feilestimat: $d(x_n, x^*) \le \frac{c^n}{1-c}d(x_0, x_1)$

Frechet-derivasjon

•Retningsderivert: $F'(a; r) = \lim_{t \to 0} \frac{F(a+tr) - F(a)}{t}$
•Frechet-derivert: $\lim_{\|h\| \to 0} \frac{\|F(a+h) - F(a) - F'(a)(h)\|}{\|h\|} = 0$
•Inversefunksjonsteoremet: $F'(a) \text{ invertibel} \Rightarrow F \text{ lokalt invertibel}, \quad (F^{-1})' = (F')^{-1}$
•Implisittfunksjonsteoremet: $G(x,y) = 0, \; G_y \text{ invertibel} \Rightarrow y = y(x) \text{ lokalt}$

Uniform konvergens og funksjonsrekker

•Uniform konvergens: $\|f_n - f\|_\infty = \sup_x |f_n(x) - f(x)| \to 0$
•Weierstrass M-test: $|f_n(x)| \le M_n,\; \sum M_n < \infty \;\Rightarrow\; \sum f_n \text{ konvergerer uniformt}$
•Konvergensradius: $\frac{1}{R} = \limsup |a_n|^{1/n}$
•Termvis derivasjon: $\left(\sum a_n x^n\right)' = \sum n a_n x^{n-1}$ (same $R$)
•Uniform grense av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig.

Fourier-rekker

•Reelle koeffisienter: $a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$
•Komplekse koeffisienter: $\alpha_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}\,dx$
•Parsevals identitet: $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx = \sum_{n \in \mathbb{Z}}|\alpha_n|^2$
•Leibniz-rekken: $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}$
•Partall-funksjon: $b_n = 0$ ; Oddetall-funksjon: $a_n = 0$

Hilbert-rom og ortogonalitet

•Indreprodukt-norm: $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$
•Fourier-koeffisienter: $\alpha_n = \langle u, e_n \rangle$
•Bessels ulikhet: $\sum_{n=1}^{\infty} |\langle u, e_n \rangle|^2 \le \|u\|^2$
•Parsevals identitet (ortonormal basis): $\sum_{n=1}^{\infty} |\langle u, e_n \rangle|^2 = \|u\|^2$
•Beste tilnaerming: $v = \sum \langle u, e_n \rangle e_n$ minimerer $\|u - w\|$ over $w \in \overline{\text{span}}\{e_n\}$

Implisittfunksjonsteoremet

•IFT-betingelse: $D_y G(a,b) \text{ invertibel} \;\Rightarrow\; y = \varphi(x) \text{ lokalt}$
•Implisitt derivasjon: $y'(x) = -(D_y G)^{-1} D_x G$
•For en likning $G(x,y) = 0$: $\frac{dy}{dx} = -\frac{G_x}{G_y}$
•Jacobi-matrise: $D_y G = \begin{pmatrix} \partial G_1/\partial y_1 & \cdots \\ \vdots & \ddots \end{pmatrix}$

Vanlige feil å unngå

Metriske rom

•Forveksle apen og lukket kule: B(x,r) er apen, men den lukkede kulen er {y : d(x,y) <= r}, som ikke alltid er tillukkingen av B(x,r).
•Anta at infimum alltid oppnas -- det gjør det kun når mengden er kompakt (eller har andre spesielle egenskaper).
•Glemme å verifisere alle tre metrikk-aksiomene når du skal vise at noe er en metrikk.
•Forveksle punktvis og uniform konvergens når du viser at en grensefunksjon arver egenskaper.

Kompakthet

•Anta at lukket og begrenset betyr kompakt i generelle metriske rom -- Heine-Borel gjelder kun i R^n.
•Glemme at kompakthet i uendeligdimensjonale normerte rom krever sterkere betingelser (lukkede begrensede mengder er IKKE nødvendigvis kompakte).
•Forveksle 'har en konvergent delfolge' med 'konvergerer' -- kompakthet sier delfolge, ikke hele folgen.
•Bruke kompakthet uten å verifisere at rommet/mengden faktisk er kompakt.

Normerte rom og Banach-rom

•Glemme å vise at grensefunksjonen faktisk ligger i rommet X (f.eks. at den er kontinuerlig, begrenset, eller har riktig grenseverdi i uendelig).
•Forveksle operatornorm-konvergens med punktvis konvergens -- de er ikke det samme (eksamen 2020, oppgave 2d viser dette eksplisitt).
•Anta at begrensede lukkede mengder er kompakte i uendeligdimensjonale rom -- dette er feil!
•Glemme å verifisere at norm-aksiom (i) krever både >= 0 OG at likhet gir nullvektoren.

Kontraksjonsavbildninger

•Konkludere med fikspunkt uten å sjekke at rommet er fullstendig -- dette er en nødvendig betingelse.
•Forveksle d(T(x),T(y)) < d(x,y) (streng ulikhet) med kontraksjon -- kontraksjoner krever en uniform konstant c < 1.
•Glemme å verifisere at T faktisk avbilder X til X (at T(x) ligger i X for alle x i X).
•Anta at kontraksjonsegenskapen alene gir konvergens -- du trenger både kontraksjon OG fullstendighet.

Frechet-derivasjon

•Anta at eksistens av retningsderiverte i alle retninger betyr Frechet-deriverbarhet -- dette er feil!
•Glemme å vise at den kandiderte deriverten A er lineaer OG begrenset (begge deler er nødvendig).
•Estimere restleddet feil: du må vise at ||rest|| / ||h|| -> 0, ikke bare at ||rest|| -> 0.
•Forveksle F'(a)(r) (Frechet-deriverten anvendt på r) med F'(a; r) (retningsderiverten langs r) -- de er like når F er Frechet-deriverbar, men konseptuelt forskjellige.

Uniform konvergens og funksjonsrekker

•Forveksle punktvis og uniform konvergens -- punktvis konvergens bevarer IKKE kontinuitet.
•Glemme å sjekke endepunktene separat når du finner konvergensintervallet til en potensrekke.
•Bruke kvotienttesten på rekker der grensen ikke eksisterer -- bruk da rottesten (limsup) i stedet.
•Anta at termvis derivasjon alltid er tillatt -- det krever uniform konvergens av den deriverte rekken.

Fourier-rekker

•Glemme faktoren 1/pi (eller 1/2pi for komplekse koeffisienter) i beregningen av Fourier-koeffisienter.
•Evaluere Fourier-rekken i et diskontinuitetspunkt uten å ta gjennomsnittet av venstre- og hoyregrensen.
•Forveksle reelle og komplekse Fourier-koeffisienter -- de har forskjellige normaliseringsfaktorer.
•Bruke punktvis konvergens når oppgaven krever uniform konvergens.

Hilbert-rom og ortogonalitet

•Forveksle ortonormalt system med ortonormal basis -- et ortonormalt system er en basis kun når det er fullstendig (spannet er tett).
•Anta at like Fourier-koeffisienter betyr likhet -- dette gjelder kun når systemet er en basis (eksamen 2022 Oppg 4c).
•Glemme at Bessels ulikhet alltid gjelder, men Parsevals identitet kun for baser.
•Bruke endeligdimensjonal intuisjon i uendeligdimensjonale Hilbert-rom.

Implisittfunksjonsteoremet

•Glemme å verifisere at det gitte punktet faktisk er en løsning av systemet (steg 1).
•Derivere med hensyn på feil variabler -- les oppgaven noyye: hvilke variabler er 'frie' og hvilke skal løses ut?
•Sette opp Jacobi-matrisen med feil dimensjoner (den skal være m x m der m er antall variabler som løses ut).
•Glemme å sjekke invertibilitet av D_y G (determinant != 0).

Eksamenstips

Metriske rom

•Argumentet 'E kompakt => følge har konvergent delfolge => infimum oppnas' er en gjengangerstruktur. Oev på dette monsteret.
•For å vise at en mengde er lukket, bruk folgekjennetegnet: ta en konvergent følge i mengden og vis at grensen også ligger i mengden.
•Eksamen 2021 Oppg 2 og Oppg 3a tester begge metriske rom-konsepter direkte. Eksamen 2022 Oppg 3 bruker kompakthet sentralt.

Kompakthet

•Kompakthet er det vanligste bevisverktoyeet på MAT2400-eksamen. Argumentet 'ta en følge, trekk ut delfolge, send til grense' er brukt i 2020, 2021, 2022.
•Når oppgaven ber om moteksempel der kompakthet mangler, tenk på (0,1], R, eller uendeligdimensjonale rom.
•Uniform kontinuitet fra kompakthet er en gjenganger (testet i flere ar): oev kontradiksjonsbeviset med følger (x_n), (y_n) med d(x_n,y_n) -> 0 men |f(x_n)-f(y_n)| >= eps.
•For kompakthet av funksjonsmengder: husk Arzela-Ascoli (lukket + begrenset + ekvikontinuerlig). Mangel på ekvikontinuitet er ofte grunnen til at en mengde IKKE er kompakt.
•Eksamen 2022 Oppg 3: Klassisk kompakthetsargument. Eksamen 2022 Oppg 5c: Kompakthet feiler i uendelig dimensjon.

Normerte rom og Banach-rom

•Norm-verifikasjon (alle tre aksiomer) er en gjenganger: 2022 Oppg 5b, 2021 Oppg 4a. Oev på å gjøre dette raskt.
•Fullstendighetsbevis følger alltid samme monster: Cauchy-følge -> finn grense -> vis at grensen er i rommet.
•Ekvivalente normer: Nøkkelen er å finne de to konstantene c og C. Bruk operatornormen til A og A^{-1}.

Kontraksjonsavbildninger

•Eksamen 2021 Oppg 1 er den klassiske oppgaven: kontraksjon uten fikspunkt fordi rommet ikke er fullstendig.
•Sjekk alltid to ting: (1) er c < 1? (2) er rommet fullstendig? Når en av betingelsene mangler, må du forklare hva som går galt.
•For integraloperatorer: bruk supremumsnormen og estimer integralet for å finne kontraksjons-konstanten.

Frechet-derivasjon

•Frechet-derivasjon er på ALLE eksamener: 2020 Oppg 1+3b, 2021 Oppg 7, 2022 Oppg 2. Start med å beregne retningsderiverten for å gjette kandidaten.
•Restleddet er ofte et 'andreordens'-ledd som |h(0)h(1)| eller r_i^2. Vis at dette er o(||h||).
•Inversefunksjonsteoremet: Sjekk at F'(a) er invertibel (har begrenset invers), deretter bruk formelen (F^{-1})' = (F')^{-1}.

Uniform konvergens og funksjonsrekker

•Weierstrass M-test er det foretrukne verktoyeet for å vise uniform konvergens på eksamen (2020 Oppg 5a, 2022 Oppg 1a).
•Potensrekkeoppgaver: Beregn R, sjekk endepunkter, og deretter termvis derivasjon med samme R. Standardprosedyre.
•Eksamen 2021 Oppg 5 og 2020 Oppg 5 tester begge uniform konvergens av rekker. Vurder alltid Weierstrass M-test først.

Fourier-rekker

•Fourier-rekker er på de fleste eksamener: 2020 Oppg 5c, 2021 Oppg 6, 2022 Oppg 1. Oev på å beregne koeffisienter raskt.
•Teknikken 'evaluer i x=0 for å finne en tallrekke' er en klassiker (2022 Oppg 1b). Ha Leibniz-rekken pi/4 i bakhodet.
•For entydighetsbevis: bruk Parsevals identitet til å vise at h = f - g har L^2-norm 0, dermed h = 0.

Hilbert-rom og ortogonalitet

•Eksamen 2022 Oppg 4 tester hele tematikken: entydighet av koeffisienter, ikke-baser, og projeksjonsegenskaper. Oev spesielt på denne oppgaven.
•Argumentet 'ta indreprodukt med e_k og bruk ortonormalitet' er standardteknikken for å finne koeffisienter.
•Husk at Bessels ulikhet garanterer konvergens av sum alpha_n^2, som igjen gir konvergens av sum alpha_n e_n i H.

Implisittfunksjonsteoremet

•IFT-oppgaver følger alltid samme oppskrift: (1) verifiser losningspunkt, (2) beregn Jacobian, (3) sjekk determinant, (4) konkluder. Oev på å gjøre dette raskt.
•Eksamen 2020 Oppg 4 er en typisk IFT-oppgave med et 3-variabel-system. På slike oppgaver må du være klar på hvilke variabler som er frie.
•Derivasjon av implisitte funksjoner: husk formelen y' = -(D_y G)^{-1} D_x G, men på eksamen rekker det ofte med 2x2-tilfelle.

MAT2400

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Reell analyse

eksamenssett.no

Nøkkelformler per tema

Metriske rom

•Metrikk-aksiomer: $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y, \quad d(x,y) = d(y,x), \quad d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$
•Apen kule: $B(x,r) = \{y \in X : d(x,y) < r\}$
•Avstand til mengde: $\text{dist}(x, E) = \inf\{d(x,y) : y \in E\}$
•Lipschitz-kontinuitet av dist: $|\text{dist}(x, E) - \text{dist}(y, E)| \le d(x,y)$
•Lukket mengde: $x_n \in A,\; x_n \to x \;\Rightarrow\; x \in A$

Kompakthet

•Følge-kompakthet: Enhver følge i $X$ har en konvergent delfolge med grenseverdi i $X$.
•Heine-Borel (i $\mathbb{R}^n$): $K \text{ kompakt} \Leftrightarrow K \text{ lukket og begrenset}$
•Bildet av kompakt mengde under kontinuerlig avbildning er kompakt.
•Kontinuerlig $f: X \to \mathbb{R}$, $X$ kompakt $\Rightarrow$ $f$ oppnar min og maks.
•Kompakt + kontinuerlig $\Rightarrow$ uniformt kontinuerlig.

Normerte rom og Banach-rom

•Norm-aksiomer: $\|x\| \ge 0, \quad \|\alpha x\| = |\alpha|\|x\|, \quad \|x+y\| \le \|x\| + \|y\|$
•Supremumsnorm: $\|f\|_\infty = \sup_{x \in X} |f(x)|$
•Ekvivalente normer: $c\|x\|_1 \le \|x\|_2 \le C\|x\|_1$
•Operatornorm: $\|A\| = \sup_{\|x\| = 1} \|Ax\|$
•Banach-rom: Fullstendig normert rom (enhver Cauchy-følge konvergerer).

Kontraksjonsavbildninger

•Kontraksjon: $d(T(x), T(y)) \le c \cdot d(x,y), \quad c \in [0,1)$
•Banachs fikspunktteorem: Fullstendig rom + kontraksjon $\Rightarrow$ unikt fikspunkt.
•Iterasjon: $x_{n+1} = T(x_n) \to x^*$ fra ethvert startpunkt.
•Feilestimat: $d(x_n, x^*) \le \frac{c^n}{1-c}d(x_0, x_1)$

Frechet-derivasjon

•Retningsderivert: $F'(a; r) = \lim_{t \to 0} \frac{F(a+tr) - F(a)}{t}$
•Frechet-derivert: $\lim_{\|h\| \to 0} \frac{\|F(a+h) - F(a) - F'(a)(h)\|}{\|h\|} = 0$
•Inversefunksjonsteoremet: $F'(a) \text{ invertibel} \Rightarrow F \text{ lokalt invertibel}, \quad (F^{-1})' = (F')^{-1}$
•Implisittfunksjonsteoremet: $G(x,y) = 0, \; G_y \text{ invertibel} \Rightarrow y = y(x) \text{ lokalt}$

Uniform konvergens og funksjonsrekker

•Uniform konvergens: $\|f_n - f\|_\infty = \sup_x |f_n(x) - f(x)| \to 0$
•Weierstrass M-test: $|f_n(x)| \le M_n,\; \sum M_n < \infty \;\Rightarrow\; \sum f_n \text{ konvergerer uniformt}$
•Konvergensradius: $\frac{1}{R} = \limsup |a_n|^{1/n}$
•Termvis derivasjon: $\left(\sum a_n x^n\right)' = \sum n a_n x^{n-1}$ (same $R$)
•Uniform grense av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig.

Fourier-rekker

•Reelle koeffisienter: $a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$
•Komplekse koeffisienter: $\alpha_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}\,dx$
•Parsevals identitet: $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx = \sum_{n \in \mathbb{Z}}|\alpha_n|^2$
•Leibniz-rekken: $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}$
•Partall-funksjon: $b_n = 0$ ; Oddetall-funksjon: $a_n = 0$

Hilbert-rom og ortogonalitet

•Indreprodukt-norm: $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$
•Fourier-koeffisienter: $\alpha_n = \langle u, e_n \rangle$
•Bessels ulikhet: $\sum_{n=1}^{\infty} |\langle u, e_n \rangle|^2 \le \|u\|^2$
•Parsevals identitet (ortonormal basis): $\sum_{n=1}^{\infty} |\langle u, e_n \rangle|^2 = \|u\|^2$
•Beste tilnaerming: $v = \sum \langle u, e_n \rangle e_n$ minimerer $\|u - w\|$ over $w \in \overline{\text{span}}\{e_n\}$

Implisittfunksjonsteoremet

•IFT-betingelse: $D_y G(a,b) \text{ invertibel} \;\Rightarrow\; y = \varphi(x) \text{ lokalt}$
•Implisitt derivasjon: $y'(x) = -(D_y G)^{-1} D_x G$
•For en likning $G(x,y) = 0$: $\frac{dy}{dx} = -\frac{G_x}{G_y}$
•Jacobi-matrise: $D_y G = \begin{pmatrix} \partial G_1/\partial y_1 & \cdots \\ \vdots & \ddots \end{pmatrix}$

Vanlige feil å unngå

Metriske rom

•Forveksle apen og lukket kule: B(x,r) er apen, men den lukkede kulen er {y : d(x,y) <= r}, som ikke alltid er tillukkingen av B(x,r).
•Anta at infimum alltid oppnas -- det gjør det kun når mengden er kompakt (eller har andre spesielle egenskaper).
•Glemme å verifisere alle tre metrikk-aksiomene når du skal vise at noe er en metrikk.
•Forveksle punktvis og uniform konvergens når du viser at en grensefunksjon arver egenskaper.

Kompakthet

•Anta at lukket og begrenset betyr kompakt i generelle metriske rom -- Heine-Borel gjelder kun i R^n.
•Glemme at kompakthet i uendeligdimensjonale normerte rom krever sterkere betingelser (lukkede begrensede mengder er IKKE nødvendigvis kompakte).
•Forveksle 'har en konvergent delfolge' med 'konvergerer' -- kompakthet sier delfolge, ikke hele folgen.
•Bruke kompakthet uten å verifisere at rommet/mengden faktisk er kompakt.

Normerte rom og Banach-rom

•Glemme å vise at grensefunksjonen faktisk ligger i rommet X (f.eks. at den er kontinuerlig, begrenset, eller har riktig grenseverdi i uendelig).
•Forveksle operatornorm-konvergens med punktvis konvergens -- de er ikke det samme (eksamen 2020, oppgave 2d viser dette eksplisitt).
•Anta at begrensede lukkede mengder er kompakte i uendeligdimensjonale rom -- dette er feil!
•Glemme å verifisere at norm-aksiom (i) krever både >= 0 OG at likhet gir nullvektoren.

Kontraksjonsavbildninger

•Konkludere med fikspunkt uten å sjekke at rommet er fullstendig -- dette er en nødvendig betingelse.
•Forveksle d(T(x),T(y)) < d(x,y) (streng ulikhet) med kontraksjon -- kontraksjoner krever en uniform konstant c < 1.
•Glemme å verifisere at T faktisk avbilder X til X (at T(x) ligger i X for alle x i X).
•Anta at kontraksjonsegenskapen alene gir konvergens -- du trenger både kontraksjon OG fullstendighet.

Frechet-derivasjon

•Anta at eksistens av retningsderiverte i alle retninger betyr Frechet-deriverbarhet -- dette er feil!
•Glemme å vise at den kandiderte deriverten A er lineaer OG begrenset (begge deler er nødvendig).
•Estimere restleddet feil: du må vise at ||rest|| / ||h|| -> 0, ikke bare at ||rest|| -> 0.
•Forveksle F'(a)(r) (Frechet-deriverten anvendt på r) med F'(a; r) (retningsderiverten langs r) -- de er like når F er Frechet-deriverbar, men konseptuelt forskjellige.

Uniform konvergens og funksjonsrekker

•Forveksle punktvis og uniform konvergens -- punktvis konvergens bevarer IKKE kontinuitet.
•Glemme å sjekke endepunktene separat når du finner konvergensintervallet til en potensrekke.
•Bruke kvotienttesten på rekker der grensen ikke eksisterer -- bruk da rottesten (limsup) i stedet.
•Anta at termvis derivasjon alltid er tillatt -- det krever uniform konvergens av den deriverte rekken.

Fourier-rekker

•Glemme faktoren 1/pi (eller 1/2pi for komplekse koeffisienter) i beregningen av Fourier-koeffisienter.
•Evaluere Fourier-rekken i et diskontinuitetspunkt uten å ta gjennomsnittet av venstre- og hoyregrensen.
•Forveksle reelle og komplekse Fourier-koeffisienter -- de har forskjellige normaliseringsfaktorer.
•Bruke punktvis konvergens når oppgaven krever uniform konvergens.

Hilbert-rom og ortogonalitet

•Forveksle ortonormalt system med ortonormal basis -- et ortonormalt system er en basis kun når det er fullstendig (spannet er tett).
•Anta at like Fourier-koeffisienter betyr likhet -- dette gjelder kun når systemet er en basis (eksamen 2022 Oppg 4c).
•Glemme at Bessels ulikhet alltid gjelder, men Parsevals identitet kun for baser.
•Bruke endeligdimensjonal intuisjon i uendeligdimensjonale Hilbert-rom.

Implisittfunksjonsteoremet

•Glemme å verifisere at det gitte punktet faktisk er en løsning av systemet (steg 1).
•Derivere med hensyn på feil variabler -- les oppgaven noyye: hvilke variabler er 'frie' og hvilke skal løses ut?
•Sette opp Jacobi-matrisen med feil dimensjoner (den skal være m x m der m er antall variabler som løses ut).
•Glemme å sjekke invertibilitet av D_y G (determinant != 0).

Eksamenstips

Metriske rom

•Argumentet 'E kompakt => følge har konvergent delfolge => infimum oppnas' er en gjengangerstruktur. Oev på dette monsteret.
•For å vise at en mengde er lukket, bruk folgekjennetegnet: ta en konvergent følge i mengden og vis at grensen også ligger i mengden.
•Eksamen 2021 Oppg 2 og Oppg 3a tester begge metriske rom-konsepter direkte. Eksamen 2022 Oppg 3 bruker kompakthet sentralt.

Kompakthet

•Kompakthet er det vanligste bevisverktoyeet på MAT2400-eksamen. Argumentet 'ta en følge, trekk ut delfolge, send til grense' er brukt i 2020, 2021, 2022.
•Når oppgaven ber om moteksempel der kompakthet mangler, tenk på (0,1], R, eller uendeligdimensjonale rom.
•Uniform kontinuitet fra kompakthet er en gjenganger (testet i flere ar): oev kontradiksjonsbeviset med følger (x_n), (y_n) med d(x_n,y_n) -> 0 men |f(x_n)-f(y_n)| >= eps.
•For kompakthet av funksjonsmengder: husk Arzela-Ascoli (lukket + begrenset + ekvikontinuerlig). Mangel på ekvikontinuitet er ofte grunnen til at en mengde IKKE er kompakt.
•Eksamen 2022 Oppg 3: Klassisk kompakthetsargument. Eksamen 2022 Oppg 5c: Kompakthet feiler i uendelig dimensjon.

Normerte rom og Banach-rom

•Norm-verifikasjon (alle tre aksiomer) er en gjenganger: 2022 Oppg 5b, 2021 Oppg 4a. Oev på å gjøre dette raskt.
•Fullstendighetsbevis følger alltid samme monster: Cauchy-følge -> finn grense -> vis at grensen er i rommet.
•Ekvivalente normer: Nøkkelen er å finne de to konstantene c og C. Bruk operatornormen til A og A^{-1}.

Kontraksjonsavbildninger

•Eksamen 2021 Oppg 1 er den klassiske oppgaven: kontraksjon uten fikspunkt fordi rommet ikke er fullstendig.
•Sjekk alltid to ting: (1) er c < 1? (2) er rommet fullstendig? Når en av betingelsene mangler, må du forklare hva som går galt.
•For integraloperatorer: bruk supremumsnormen og estimer integralet for å finne kontraksjons-konstanten.

Frechet-derivasjon

•Frechet-derivasjon er på ALLE eksamener: 2020 Oppg 1+3b, 2021 Oppg 7, 2022 Oppg 2. Start med å beregne retningsderiverten for å gjette kandidaten.
•Restleddet er ofte et 'andreordens'-ledd som |h(0)h(1)| eller r_i^2. Vis at dette er o(||h||).
•Inversefunksjonsteoremet: Sjekk at F'(a) er invertibel (har begrenset invers), deretter bruk formelen (F^{-1})' = (F')^{-1}.

Uniform konvergens og funksjonsrekker

•Weierstrass M-test er det foretrukne verktoyeet for å vise uniform konvergens på eksamen (2020 Oppg 5a, 2022 Oppg 1a).
•Potensrekkeoppgaver: Beregn R, sjekk endepunkter, og deretter termvis derivasjon med samme R. Standardprosedyre.
•Eksamen 2021 Oppg 5 og 2020 Oppg 5 tester begge uniform konvergens av rekker. Vurder alltid Weierstrass M-test først.

Fourier-rekker

•Fourier-rekker er på de fleste eksamener: 2020 Oppg 5c, 2021 Oppg 6, 2022 Oppg 1. Oev på å beregne koeffisienter raskt.
•Teknikken 'evaluer i x=0 for å finne en tallrekke' er en klassiker (2022 Oppg 1b). Ha Leibniz-rekken pi/4 i bakhodet.
•For entydighetsbevis: bruk Parsevals identitet til å vise at h = f - g har L^2-norm 0, dermed h = 0.

Hilbert-rom og ortogonalitet

•Eksamen 2022 Oppg 4 tester hele tematikken: entydighet av koeffisienter, ikke-baser, og projeksjonsegenskaper. Oev spesielt på denne oppgaven.
•Argumentet 'ta indreprodukt med e_k og bruk ortonormalitet' er standardteknikken for å finne koeffisienter.
•Husk at Bessels ulikhet garanterer konvergens av sum alpha_n^2, som igjen gir konvergens av sum alpha_n e_n i H.

Implisittfunksjonsteoremet

•IFT-oppgaver følger alltid samme oppskrift: (1) verifiser losningspunkt, (2) beregn Jacobian, (3) sjekk determinant, (4) konkluder. Oev på å gjøre dette raskt.
•Eksamen 2020 Oppg 4 er en typisk IFT-oppgave med et 3-variabel-system. På slike oppgaver må du være klar på hvilke variabler som er frie.
•Derivasjon av implisitte funksjoner: husk formelen y' = -(D_y G)^{-1} D_x G, men på eksamen rekker det ofte med 2x2-tilfelle.