MEK1100

Studieguide

God oversikt over pensum med forklaringer, formler, vanlige feil og eksamenstips.

Introduksjon

MEK 1100 Feltteori og vektoranalyse er et sentralt emne ved Universitetet i Oslo som gir det matematiske grunnlaget for stromningsmekanikk, elektromagnetisme og varmetransport. Kurset dekker skalar- og vektorfelt, differensialoperatorene gradient, divergens og curl, samt de store integralsatsene (Gauss' divergensteorem og Stokes' teorem).

Eksamen bestar typisk av 3 oppgaver med totalt 10 delsporsmal, der hvert delsporsmal gir 0-10 poeng (maks 100). Oppgave 1 er vanligvis et rent vektorfelt der du skal beregne divergens, curl, potensial og stromfunksjon. Oppgave 2 og 3 er fysiske anvendelser -- typisk stromning (Eulers bevegelseslikning, Bernoullis likning) eller varmeledning (Fouriers lov, varmelikningen). Formeltillegg og kalkulator er tillatt.

Viktig: Du ma beherske beregninger i bade kartesiske koordinater, sylinderkoordinater $\{r,\theta,z\}$ og kulekoordinater $\{r,\theta,\phi\}$ . Formlene for differensialoperatorer i krumme koordinater star pa formelarket -- men du ma vite nar du bruker dem og hvordan du tolker resultatene fysisk.

Gradient og skalarfelt

Gradienten til et skalarfelt gir et vektorfelt som peker i retningen med storst okning. Grunnleggende for potensialteori, varmeledning og trykkberegninger.

Oversikt

Et skalarfelt er en funksjon $f(x,y,z)$ som tilordner en skalar verdi til hvert punkt i rommet -- for eksempel temperatur $T$ , trykk $p$ eller hoydefunksjon. Gradienten er en differensialoperator som tar et skalarfelt og produserer et vektorfelt:

$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\boldsymbol{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\boldsymbol{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{k}$

Gradienten peker i retningen der $f$ oker raskest, og $|\nabla f|$ gir endringsraten i denne retningen.

Gradient i krumme koordinater

I sylinderkoordinater $\{r,\theta,z\}$ :

$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\boldsymbol{i}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\boldsymbol{i}_\theta + \frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{k}$

I kulekoordinater $\{r,\theta,\phi\}$ :

$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\boldsymbol{i}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\boldsymbol{i}_\theta + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\boldsymbol{i}_\phi$

Retningsderiverte

Den retningsderiverte av $f$ i retning $\boldsymbol{e}$ (enhetsvektor) er:

$D_{\boldsymbol{e}} f = \nabla f \cdot \boldsymbol{e}$

Denne gir endringsraten til $f$ i retningen $\boldsymbol{e}$ . Maksimal endringsrate fas i gradientens retning.

Ekvipotensialflater og nivaflater

Flatene der $f(x,y,z) = c$ (konstant) kalles nivaflater. Gradienten $\nabla f$ star alltid vinkelrett pa nivaflatene. I 2D kalles nivakurvene $f(x,y) = c$ for ekvipotensiallinjer nar $f$ er et potensial, og de tegnes med stiplet strek pa eksamen.

Fysisk anvendelse: varmeledning

Fouriers lov sier at varmeflukstettheten er proporsjonal med den negative gradienten av temperaturen:

$\boldsymbol{H} = -k\nabla T$

Her er $k$ varmeledningstallet. Varmen strommer altsa fra hoyt til lavt temperaturomrade, i motsatt retning av $\nabla T$ . Pa eksamen V2018 ble dette brukt med kulekoordinater der $T(r,t_0) = T_0 e^{-\alpha r^2} + T_1$ .

Eksempel 1: Gradient i kulekoordinater

Oppgave (V2018, 2b): Gitt temperaturfeltet $T(\boldsymbol{r}, t_0) = T_0 e^{-\alpha r^2} + T_1$ i ei kule. Finn varmeflukstettheten $\boldsymbol{H} = -k\nabla T$ .

Losning: Siden $T$ bare avhenger av $r$ , forenkles gradienten i kulekoordinater:

$\nabla T = \frac{\partial T}{\partial r}\boldsymbol{i}_r = T_0 \cdot (-2\alpha r) e^{-\alpha r^2}\,\boldsymbol{i}_r$

Dermed:

$\boldsymbol{H} = -k\nabla T = 2k\alpha r T_0 e^{-\alpha r^2}\,\boldsymbol{i}_r$

Varmefluksen peker radialt utover (positiv $\boldsymbol{i}_r$ -retning) fordi temperaturen avtar med $r$ .

Eksempel 2: Gradient og nivaflater

Oppgave: Gitt skalarfeltet $\phi(x,y) = \frac{1}{2}(x^2 - y^2)$ . Finn $\nabla \phi$ og beskriv nivakurvene.

Losning:

$\nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}\boldsymbol{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y}\boldsymbol{j} = x\,\boldsymbol{i} - y\,\boldsymbol{j}$

Nivakurvene $\phi = c$ gir $x^2 - y^2 = 2c$ , som er hyperbler. I origo ( $x=0, y=0$ ) er $\nabla\phi = \boldsymbol{0}$ , sa dette er et stagnasjonspunkt. Gradienten star vinkelrett pa hyperblene overalt ellers.

Nøkkelformler

•$ $\displaystyle \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\boldsymbol{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\boldsymbol{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{k}$ $ (Gradient, kartesisk)
•$ $\displaystyle \nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\boldsymbol{i}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\boldsymbol{i}_\theta + \frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{k}$ $ (Gradient, sylinder)
•$ $\displaystyle \nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\boldsymbol{i}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\boldsymbol{i}_\theta + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\boldsymbol{i}_\phi$ $ (Gradient, kule)
•$ $D_{\boldsymbol{e}} f = \nabla f \cdot \boldsymbol{e}$ $ (Retningsderiverte)
•$ $\boldsymbol{H} = -k\nabla T$ $ (Fouriers lov)

Vanlige feil

⚠️Glemme faktorene 1/r og 1/(r sin theta) i gradienten for krumme koordinater.
⚠️Blande kulekoordinater og sylinderkoordinater -- sjekk oppgaveteksten noyaktig.
⚠️Glemme at gradienten av en konstant er null -- ledd som T_1 faller bort ved derivasjon.
⚠️Ikke angi retning pa varmefluksen -- husk at H er en vektor.

Eksamenstips

💡Nar T bare avhenger av r, forenkles gradienten enormt -- bare den radielle komponenten overlever.
💡Ekvipotensiallinjer (stiplet) og stromlinjer (heltrukket) skal tegnes vinkelrett pa hverandre.
💡Enhetene til gradient: dersom f har enhet [X], har nabla f enhet [X/m].

Laster...

Introduksjon