MEK1100

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Feltteori og vektoranalyse

eksamenssett.no

Nøkkelformler per tema

Gradient og skalarfelt

• $\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\boldsymbol{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\boldsymbol{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{k}$ (Gradient, kartesisk)
• $\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\boldsymbol{i}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\boldsymbol{i}_\theta + \frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{k}$ (Gradient, sylinder)
• $\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\boldsymbol{i}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\boldsymbol{i}_\theta + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\boldsymbol{i}_\phi$ (Gradient, kule)
• $D_{\boldsymbol{e}} f = \nabla f \cdot \boldsymbol{e}$ (Retningsderiverte)
• $\boldsymbol{H} = -k\nabla T$ (Fouriers lov)

Divergens og kontinuitetslikningen

• $\nabla \cdot \boldsymbol{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}$ (Divergens, kartesisk)
• $\nabla \cdot \boldsymbol{v} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rv_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial v_z}{\partial z}$ (Divergens, sylinder)
• $\oint_S \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}\, dS = \int_V \nabla \cdot \boldsymbol{v}\, dV$ (Gauss' divergensteorem)
• $\nabla \cdot \boldsymbol{v} = 0$ (Kontinuitetslikningen for inkompressibel fluid)
• $Q = \int_A \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}\, dA$ (Integrert volumfluks)

Curl og virvling

• $\nabla \times \boldsymbol{v} = \left(\frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z}\right)\boldsymbol{i} + \left(\frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x}\right)\boldsymbol{j} + \left(\frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y}\right)\boldsymbol{k}$ (Curl, kartesisk)
• $\oint_C \boldsymbol{v} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_S (\nabla \times \boldsymbol{v}) \cdot \boldsymbol{n}\, dS$ (Stokes' teorem)
• $\Gamma = \oint_C \boldsymbol{v} \cdot d\boldsymbol{r}$ (Sirkulasjon)
• $\nabla \times \boldsymbol{v} = \boldsymbol{0} \implies \boldsymbol{v} = \nabla\phi$ (Virvelfritt felt har skalarpotensial)
• $\nabla \times (\nabla f) = \boldsymbol{0}$ (Curl av gradient er alltid null)

Potensialteori og strømfunksjoner

• $\boldsymbol{v} = \nabla\phi \iff \nabla \times \boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}$ (Skalarpotensial eksisterer for virvelfritt felt)
• $v_x = \frac{\partial\psi}{\partial y}, \quad v_y = -\frac{\partial\psi}{\partial x}$ (Strømfunksjon for divergensfritt 2D-felt)
• $\frac{\partial\phi}{\partial x} = \frac{\partial\psi}{\partial y}, \quad \frac{\partial\phi}{\partial y} = -\frac{\partial\psi}{\partial x}$ (Cauchy-Riemann)
• $\nabla^2 \phi = 0$ (Laplace-likningen -- potensialfeltet til divergensfri strøm)

Linjeintegraler og kurveintegraler

• $\int_C \boldsymbol{v} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_a^b \boldsymbol{v}(\boldsymbol{r}(t)) \cdot \boldsymbol{r}'(t)\, dt$ (Kurveintegral)
• $\int_C \nabla\phi \cdot d\boldsymbol{r} = \phi(B) - \phi(A)$ (Veiuavhengighet for konservativt felt)
• $\oint_C \boldsymbol{v} \cdot d\boldsymbol{r} = 0$ for virvelfritt felt
• $\oint_C \boldsymbol{v} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_S (\nabla \times \boldsymbol{v}) \cdot \boldsymbol{n}\, dS$ (Stokes' teorem)

Flateintegraler og fluks

• $\Phi = \int_S \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}\, dS$ (Fluks gjennom flate)
• $d\boldsymbol{S} = R^2 \sin\theta\, d\theta\, d\phi\,\boldsymbol{i}_r$ (Flateelement, kuleskall)
• $d\boldsymbol{S} = R\, d\theta\, dz\,\boldsymbol{i}_r$ (Flateelement, sylinderflate)
• $\int_0^\pi \sin\theta\, d\theta = 2$ (Nyttig standardintegral for kulekoordinater)
• $\oint_S \boldsymbol{v} \cdot d\boldsymbol{S} = \int_V \nabla \cdot \boldsymbol{v}\, dV$ (Gauss' divergensteorem)

Eulers bevegelseslikning og Bernoullis likning

• $\rho\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} = -\nabla p + \rho\boldsymbol{g}$ (Eulers bevegelseslikning)
• $\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} = \frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t} + (\boldsymbol{v} \cdot \nabla)\boldsymbol{v}$ (Materiell deriverte)
• $p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{konst.}$ (Bernoullis likning langs strømlinje)
• $(\boldsymbol{v} \cdot \nabla)\boldsymbol{v} \text{ inneholder } -\frac{v_\theta^2}{r}\boldsymbol{i}_r$ (Sentripetalsakselerasjon)

Hydrostatisk trykk og trykkraft på flater

• $\nabla p = \rho\boldsymbol{g}$ (Hydrostatisk likevekt)
• $p(z) = p_0 - \rho g z$ (Hydrostatisk trykk, z oppover)
• $\boldsymbol{F} = -\int_S p\,\boldsymbol{n}\, dS$ (Trykkraft på flate)
• $F = \frac{1}{2}\rho g b h^2$ (Kraft på vertikal rektangulær vegg, bredde b, dybde h)
• $\oint_S p\,\boldsymbol{n}\, dS = \rho\boldsymbol{g}\,V$ (Arkimedes via Gauss' teorem)

Varmeledning og varmetransport

• $\boldsymbol{H} = -k\nabla T$ (Fouriers lov)
• $\frac{\partial T}{\partial t} = \kappa \nabla^2 T$ (Varmelikningen uten konveksjon)
• $\frac{\partial T}{\partial t} + \boldsymbol{v} \cdot \nabla T = \kappa \nabla^2 T$ (Varmetransportlikningen)
• $\nabla^2 T = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dT}{dr}\right)$ (Laplacian, sfærisk symmetri)
• $\kappa = \frac{k}{\rho c}$ (Varmediffusivitet)

Koordinatsystemer og transformasjoner

• $x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta$ (Sylinderkoordinater)
• $x = r\sin\theta\cos\phi,\; y = r\sin\theta\sin\phi,\; z = r\cos\theta$ (Kulekoordinater)
• $dV = r\, dr\, d\theta\, dz$ (Volumelement, sylinder)
• $dV = r^2\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi$ (Volumelement, kule)
• $\boldsymbol{i}_r = \cos\theta\,\boldsymbol{i} + \sin\theta\,\boldsymbol{j}$ (Enhetsvektor, sylinder)
• $h_u = \left|\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u}\right|, \quad dV = h_u h_v h_w\, du\, dv\, dw$ (Skaleringsfaktorer og volumelement, ortogonale koordinater)

Vanlige feil å unngå

Gradient og skalarfelt

•Glemme faktorene 1/r og 1/(r sin theta) i gradienten for krumme koordinater.
•Blande kulekoordinater og sylinderkoordinater -- sjekk oppgaveteksten nøyaktig.
•Glemme at gradienten av en konstant er null -- ledd som T_1 faller bort ved derivasjon.
•Ikke angi retning på varmefluksen -- husk at H er en vektor.

Divergens og kontinuitetslikningen

•Glemme (1/r)-faktoren og produktregelen i sylinderkoordinater: det er d(r*v_r)/dr, ikke d(v_r)/dr.
•Forveksle fluks (flateintegral av v dot n) med sirkulasjon (kurveintegral av v dot dr).
•Glemme at Gauss' teorem krever en LUKKET flate -- ellers må du bruke direkte flateintegral.
•Ikke sjekke at divergensen er null for bruke kontinuitetslikningen for inkompressibel strøm.

Curl og virvling

•Forveksle fortegnene i curl-formelen. Husk: determinantformen er sikreste mate.
•Glemme 1/r-faktorene og d(r*v_theta)/dr i sylinderkoordinater.
•Blande curl (vektor) med divergens (skalar) -- oppgaven sier 'navngi tydelig hva som er divergens og hva som er virvling'.
•Tro at null divergens betyr null curl (eller omvendt). De er helt uavhengige egenskaper.

Potensialteori og strømfunksjoner

•Blande betingelsene: potensial krever virvelfritt felt, strømfunksjon krever divergensfritt felt.
•Glemme å sjekke betingelsen for du begynner å integrere -- dette gir null poeng.
•Glemme integrasjonskonstanten g(y) eller h(x) -- den må bestemmes fra den andre komponenten.
•Forveksle fortegnene i strømfunksjonsdefinisjonen: v_x = dpsi/dy (ikke minus), v_y = -dpsi/dx.

Linjeintegraler og kurveintegraler

•Glemme å derivere parametriseringen: dr = r'(t) dt, ikke bare r(t) dt.
•Feil orientering på den lukkede kurven -- høyrehåndsregelen bestemmer normalvektoren for Stokes.
•Bruke Stokes' teorem når flaten ikke er godt definert eller når kurven ikke er lukket.
•Glemme at veiuavhengighet bare gjelder for konservative (virvelfrie) felt.

Flateintegraler og fluks

•Glemme R^2-faktoren i kulekoordinater eller R-faktoren i sylinderkoordinater for flateelementet.
•Feil retning på normalvektoren -- utoverrettet for lukkede flater (Gauss), høyrehåndsregelen for Stokes.
•Beregne bare noen av flatene i boksen og glemme resten når du gjør direkte flateintegral.
•Forveksle flateintegral (fluks) med kurveintegral (sirkulasjon).

Eulers bevegelseslikning og Bernoullis likning

•Bruke Bernoulli uten å sjekke betingelsene (stasjonær, friksjonsfri, inkompressibel, langs strømlinje).
•Glemme sentripetalsakselerasjonen -v_theta^2/r i sylinderkoordinater.
•Blande lokalakselerasjon (dv/dt) og konvektiv akselerasjon ((v dot nabla)v).
•Feil fortegn på tyngdeleddet: g = -g*k når z peker oppover, så rho*g*z har positiv z oppover.

Hydrostatisk trykk og trykkraft på flater

•Glemme fortegnet: med z oppover er p = p0 - rho*g*z, så trykket OKER nedover (der z er negativ).
•Glemme at lufttrykket p0 virker på begge sider og ofte kanselleres -- regn med NETTO trykk.
•Bruke konstant trykk på en vertikal vegg -- trykket varierer med dypet, så du må integrere.
•Glemme retningen på kraften -- trykkraften er en vektor normalt på flaten, rettet fra høyt mot lavt trykk.
•Forveksle utovernormal og innovernormal når du setter opp flateintegralet.

Varmeledning og varmetransport

•Blande varmeledningstallet k (W/(mK)) og varmediffusiviteten kappa (m^2/s).
•Glemme produktregelen når du deriverer r^2 dT/dr i Laplace-operatoren for kulekoordinater.
•Feil fortegn i Fouriers lov: H = -k nabla T (minus!). Varmen strømmer MOT gradienten.
•Glemme konveksjonsleddet v dot nabla T i varmetransportlikningen når fluiden beveger seg.

Koordinatsystemer og transformasjoner

•Glemme r-faktoren i volumelementet for sylinderkoordinater, eller r^2 sin(theta) for kulekoordinater.
•Blande theta i kulekoordinater (polvinkel fra z-aksen) med theta i sylinderkoordinater (vinkel i xy-planet).
•Glemme at enhetskoordinatvektorene i sylinder/kule endrer retning fra punkt til punkt.
•Bruke kartesiske formler for divergens/curl i krumme koordinater -- sla alltid opp på formelarket.
•Glemme å normalisere: skaleringsfaktoren h_u er LENGDEN av dr/du, mens enhetsvektoren er dr/du delt på denne lengden.
•Bruke formelen dV = h_u h_v h_w du dv dw uten først å sjekke at koordinatene faktisk er ortogonale.

Eksamenstips

Gradient og skalarfelt

•Når T bare avhenger av r, forenkles gradienten enormt -- bare den radielle komponenten overlever.
•Ekvipotensiallinjer (stiplet) og strømlinjer (heltrukket) skal tegnes vinkelrett på hverandre.
•Enhetene til gradient: dersom f har enhet [X], har nabla f enhet [X/m].

Divergens og kontinuitetslikningen

•Oppgaver ber ofte om å gjøre beregningen bade som flateintegral OG volumintegral for å verifisere svaret (V2017, 1a-1b).
•Når oppgaven spor 'hva heter integralsatsen', er svaret 'Gauss' divergensteorem' (eller bare 'divergensteoremet').
•For å finne volumfluks gjennom et apent tverrsnitt: parametriser flaten, finn normalvektoren, og integrer v dot n.

Curl og virvling

•Nesten ALLE eksamener ber om bade divergens og curl i oppgave 1. Skriv tydelig 'Divergens: ... ' og 'Virvling: ...'.
•Sirkulasjonsoppgaver ber ofte om bade direkte kurveintegral OG bruk av Stokes' teorem -- gjør begge for full uttelling.
•Når du bruker Stokes' teorem, oppgi alltid integralsatsens navn eksplisitt.

Potensialteori og strømfunksjoner

•Denne oppgavetypen kommer PÅ NESTEN ALLE EKSAMENER. Drill metoden til den sitter.
•Sjekk alltid divergens OG curl først, og oppgi eksplisitt om potensial/strømfunksjon eksisterer for du finner dem.
•Når du skisserer: strømlinjer (psi=konst.) med heltrukken strek, ekvipotensiallinjer (phi=konst.) med stiplet strek.
•Punktvirvel (v = A/r i_theta) og punktkilde (v = A/r i_r) går igjen. Lær deg strømfunksjon/potensial og kilde-/virvelstyrke for begge -- styrken er sirkulasjonen hhv. volumfluksen = 2*pi*A.
•Et felt kan være oppgitt VIA sitt potensial eller sin strømfunksjon (f.eks. phi = xy eller psi = A*theta + B*ln r) -- da finner du v ved derivasjon, ikke integrasjon.

Linjeintegraler og kurveintegraler

•Oppgaver ber ofte om å gjøre beregningen på TO mater (direkte + integralsats) og oppgi navnet på satsen.
•Sjekk om feltet er virvelfritt for du begynner -- da er sirkulasjonen null uten å regne!
•Ved direkte beregning: del opp i separate linjestykker og beregn bidraget fra hvert.

Flateintegraler og fluks

•For sfærisk symmetri (H bare avhenger av r): H dot n = |H| på kuleskallet, og integralet blir |H| * 4*pi*R^2.
•Direkte flateintegral over en boks krever 6 separate integraler -- på flere av flatene er bidraget null.
•Husk: int_0^pi sin(theta) dtheta = 2 og int_0^{2pi} dphi = 2pi. Disse kommer på nesten alle kuleoppgaver.

Eulers bevegelseslikning og Bernoullis likning

•Eulers likning eller Bernoulli kommer på HVER eksamen. V2016 hadde hevert, V2017 elveprofil, V2018 roterende vann.
•Oppgi alltid betingelsene for Bernoulli eksplisitt -- dette gir poeng!
•Når oppgaven sier 'finn trykket': integrer Eulers likning komponent for komponent og bestem integrasjonskonstanten fra randbetingelser.

Hydrostatisk trykk og trykkraft på flater

•Hydrostatikk-oppgaver kommer ofte -- bade direkte (kraft på bunn/vegg) og som 'skriv netto kraft som flateintegral og forenkle med en integralsats' (da er svaret rho*g*V via Gauss).
•På horisontal bunn med konstant dyp: F = p*A direkte. På vertikal vegg: integrer trykket over høyden.
•Når oppgaven sier 'vis ved en passende integralsats': bruk Gauss på nabla*p = rho*g for å konvertere flateintegralet til rho*g*V.
•For roterende væske: den totale trykkrafta på bunnen er den samme som for stillestående vann så lenge vannmengden er uendret.

Varmeledning og varmetransport

•Varmeoppgaver kommer på nesten alle eksamener (V2016 opp.3, V2018 oppg.2). Forstq bade diffusjon og konveksjon.
•Enhetsanalyse-oppgaver (V2016 3a, V2018 2a) gir enkle poeng. Bruk dimensjonsanalyse systematisk.
•Fortegnet til nabla^2 T bestemmer om temperaturen øker eller avtar -- dette er et gjengangerspørsmål.

Koordinatsystemer og transformasjoner

•Formelarket inneholder alle uttrykk for gradient, divergens, curl og Laplacian i krumme koordinater -- du trenger ikke pugge dem.
•Oppgaver med sfærisk symmetri (kulekoordinater) forenkles drastisk når størrelsen bare avhenger av r.
•Sjekk alltid ortogonalitet og høyrehåndssystem når oppgaven definerer nye koordinater.
•Skaleringsfaktor-oppgaver (finn h_u, sjekk ortogonalitet, finn dV) er en GJENGANGER -- ofte en hel oppgave alene. Drill oppskriften: deriver r, ta lengden, ta skalarprodukter, gang sammen.
•Når oppgaven ber om volumet av et omrade i nye koordinater: integrer dV = h_u h_v h_w over de oppgitte grensene.

MEK1100

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Feltteori og vektoranalyse

eksamenssett.no

Nøkkelformler per tema

Gradient og skalarfelt

• $\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\boldsymbol{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\boldsymbol{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{k}$ (Gradient, kartesisk)
• $\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\boldsymbol{i}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\boldsymbol{i}_\theta + \frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{k}$ (Gradient, sylinder)
• $\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\boldsymbol{i}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\boldsymbol{i}_\theta + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\boldsymbol{i}_\phi$ (Gradient, kule)
• $D_{\boldsymbol{e}} f = \nabla f \cdot \boldsymbol{e}$ (Retningsderiverte)
• $\boldsymbol{H} = -k\nabla T$ (Fouriers lov)

Divergens og kontinuitetslikningen

• $\nabla \cdot \boldsymbol{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}$ (Divergens, kartesisk)
• $\nabla \cdot \boldsymbol{v} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rv_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial v_z}{\partial z}$ (Divergens, sylinder)
• $\oint_S \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}\, dS = \int_V \nabla \cdot \boldsymbol{v}\, dV$ (Gauss' divergensteorem)
• $\nabla \cdot \boldsymbol{v} = 0$ (Kontinuitetslikningen for inkompressibel fluid)
• $Q = \int_A \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}\, dA$ (Integrert volumfluks)

Curl og virvling

• $\nabla \times \boldsymbol{v} = \left(\frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z}\right)\boldsymbol{i} + \left(\frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x}\right)\boldsymbol{j} + \left(\frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y}\right)\boldsymbol{k}$ (Curl, kartesisk)
• $\oint_C \boldsymbol{v} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_S (\nabla \times \boldsymbol{v}) \cdot \boldsymbol{n}\, dS$ (Stokes' teorem)
• $\Gamma = \oint_C \boldsymbol{v} \cdot d\boldsymbol{r}$ (Sirkulasjon)
• $\nabla \times \boldsymbol{v} = \boldsymbol{0} \implies \boldsymbol{v} = \nabla\phi$ (Virvelfritt felt har skalarpotensial)
• $\nabla \times (\nabla f) = \boldsymbol{0}$ (Curl av gradient er alltid null)

Potensialteori og strømfunksjoner

• $\boldsymbol{v} = \nabla\phi \iff \nabla \times \boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}$ (Skalarpotensial eksisterer for virvelfritt felt)
• $v_x = \frac{\partial\psi}{\partial y}, \quad v_y = -\frac{\partial\psi}{\partial x}$ (Strømfunksjon for divergensfritt 2D-felt)
• $\frac{\partial\phi}{\partial x} = \frac{\partial\psi}{\partial y}, \quad \frac{\partial\phi}{\partial y} = -\frac{\partial\psi}{\partial x}$ (Cauchy-Riemann)
• $\nabla^2 \phi = 0$ (Laplace-likningen -- potensialfeltet til divergensfri strøm)

Linjeintegraler og kurveintegraler

• $\int_C \boldsymbol{v} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_a^b \boldsymbol{v}(\boldsymbol{r}(t)) \cdot \boldsymbol{r}'(t)\, dt$ (Kurveintegral)
• $\int_C \nabla\phi \cdot d\boldsymbol{r} = \phi(B) - \phi(A)$ (Veiuavhengighet for konservativt felt)
• $\oint_C \boldsymbol{v} \cdot d\boldsymbol{r} = 0$ for virvelfritt felt
• $\oint_C \boldsymbol{v} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_S (\nabla \times \boldsymbol{v}) \cdot \boldsymbol{n}\, dS$ (Stokes' teorem)

Flateintegraler og fluks

• $\Phi = \int_S \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}\, dS$ (Fluks gjennom flate)
• $d\boldsymbol{S} = R^2 \sin\theta\, d\theta\, d\phi\,\boldsymbol{i}_r$ (Flateelement, kuleskall)
• $d\boldsymbol{S} = R\, d\theta\, dz\,\boldsymbol{i}_r$ (Flateelement, sylinderflate)
• $\int_0^\pi \sin\theta\, d\theta = 2$ (Nyttig standardintegral for kulekoordinater)
• $\oint_S \boldsymbol{v} \cdot d\boldsymbol{S} = \int_V \nabla \cdot \boldsymbol{v}\, dV$ (Gauss' divergensteorem)

Eulers bevegelseslikning og Bernoullis likning

• $\rho\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} = -\nabla p + \rho\boldsymbol{g}$ (Eulers bevegelseslikning)
• $\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} = \frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t} + (\boldsymbol{v} \cdot \nabla)\boldsymbol{v}$ (Materiell deriverte)
• $p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{konst.}$ (Bernoullis likning langs strømlinje)
• $(\boldsymbol{v} \cdot \nabla)\boldsymbol{v} \text{ inneholder } -\frac{v_\theta^2}{r}\boldsymbol{i}_r$ (Sentripetalsakselerasjon)

Hydrostatisk trykk og trykkraft på flater

• $\nabla p = \rho\boldsymbol{g}$ (Hydrostatisk likevekt)
• $p(z) = p_0 - \rho g z$ (Hydrostatisk trykk, z oppover)
• $\boldsymbol{F} = -\int_S p\,\boldsymbol{n}\, dS$ (Trykkraft på flate)
• $F = \frac{1}{2}\rho g b h^2$ (Kraft på vertikal rektangulær vegg, bredde b, dybde h)
• $\oint_S p\,\boldsymbol{n}\, dS = \rho\boldsymbol{g}\,V$ (Arkimedes via Gauss' teorem)

Varmeledning og varmetransport

• $\boldsymbol{H} = -k\nabla T$ (Fouriers lov)
• $\frac{\partial T}{\partial t} = \kappa \nabla^2 T$ (Varmelikningen uten konveksjon)
• $\frac{\partial T}{\partial t} + \boldsymbol{v} \cdot \nabla T = \kappa \nabla^2 T$ (Varmetransportlikningen)
• $\nabla^2 T = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dT}{dr}\right)$ (Laplacian, sfærisk symmetri)
• $\kappa = \frac{k}{\rho c}$ (Varmediffusivitet)

Koordinatsystemer og transformasjoner

• $x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta$ (Sylinderkoordinater)
• $x = r\sin\theta\cos\phi,\; y = r\sin\theta\sin\phi,\; z = r\cos\theta$ (Kulekoordinater)
• $dV = r\, dr\, d\theta\, dz$ (Volumelement, sylinder)
• $dV = r^2\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi$ (Volumelement, kule)
• $\boldsymbol{i}_r = \cos\theta\,\boldsymbol{i} + \sin\theta\,\boldsymbol{j}$ (Enhetsvektor, sylinder)
• $h_u = \left|\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u}\right|, \quad dV = h_u h_v h_w\, du\, dv\, dw$ (Skaleringsfaktorer og volumelement, ortogonale koordinater)

Vanlige feil å unngå

Gradient og skalarfelt

•Glemme faktorene 1/r og 1/(r sin theta) i gradienten for krumme koordinater.
•Blande kulekoordinater og sylinderkoordinater -- sjekk oppgaveteksten nøyaktig.
•Glemme at gradienten av en konstant er null -- ledd som T_1 faller bort ved derivasjon.
•Ikke angi retning på varmefluksen -- husk at H er en vektor.

Divergens og kontinuitetslikningen

•Glemme (1/r)-faktoren og produktregelen i sylinderkoordinater: det er d(r*v_r)/dr, ikke d(v_r)/dr.
•Forveksle fluks (flateintegral av v dot n) med sirkulasjon (kurveintegral av v dot dr).
•Glemme at Gauss' teorem krever en LUKKET flate -- ellers må du bruke direkte flateintegral.
•Ikke sjekke at divergensen er null for bruke kontinuitetslikningen for inkompressibel strøm.

Curl og virvling

•Forveksle fortegnene i curl-formelen. Husk: determinantformen er sikreste mate.
•Glemme 1/r-faktorene og d(r*v_theta)/dr i sylinderkoordinater.
•Blande curl (vektor) med divergens (skalar) -- oppgaven sier 'navngi tydelig hva som er divergens og hva som er virvling'.
•Tro at null divergens betyr null curl (eller omvendt). De er helt uavhengige egenskaper.

Potensialteori og strømfunksjoner

•Blande betingelsene: potensial krever virvelfritt felt, strømfunksjon krever divergensfritt felt.
•Glemme å sjekke betingelsen for du begynner å integrere -- dette gir null poeng.
•Glemme integrasjonskonstanten g(y) eller h(x) -- den må bestemmes fra den andre komponenten.
•Forveksle fortegnene i strømfunksjonsdefinisjonen: v_x = dpsi/dy (ikke minus), v_y = -dpsi/dx.

Linjeintegraler og kurveintegraler

•Glemme å derivere parametriseringen: dr = r'(t) dt, ikke bare r(t) dt.
•Feil orientering på den lukkede kurven -- høyrehåndsregelen bestemmer normalvektoren for Stokes.
•Bruke Stokes' teorem når flaten ikke er godt definert eller når kurven ikke er lukket.
•Glemme at veiuavhengighet bare gjelder for konservative (virvelfrie) felt.

Flateintegraler og fluks

•Glemme R^2-faktoren i kulekoordinater eller R-faktoren i sylinderkoordinater for flateelementet.
•Feil retning på normalvektoren -- utoverrettet for lukkede flater (Gauss), høyrehåndsregelen for Stokes.
•Beregne bare noen av flatene i boksen og glemme resten når du gjør direkte flateintegral.
•Forveksle flateintegral (fluks) med kurveintegral (sirkulasjon).

Eulers bevegelseslikning og Bernoullis likning

•Bruke Bernoulli uten å sjekke betingelsene (stasjonær, friksjonsfri, inkompressibel, langs strømlinje).
•Glemme sentripetalsakselerasjonen -v_theta^2/r i sylinderkoordinater.
•Blande lokalakselerasjon (dv/dt) og konvektiv akselerasjon ((v dot nabla)v).
•Feil fortegn på tyngdeleddet: g = -g*k når z peker oppover, så rho*g*z har positiv z oppover.

Hydrostatisk trykk og trykkraft på flater

•Glemme fortegnet: med z oppover er p = p0 - rho*g*z, så trykket OKER nedover (der z er negativ).
•Glemme at lufttrykket p0 virker på begge sider og ofte kanselleres -- regn med NETTO trykk.
•Bruke konstant trykk på en vertikal vegg -- trykket varierer med dypet, så du må integrere.
•Glemme retningen på kraften -- trykkraften er en vektor normalt på flaten, rettet fra høyt mot lavt trykk.
•Forveksle utovernormal og innovernormal når du setter opp flateintegralet.

Varmeledning og varmetransport

•Blande varmeledningstallet k (W/(mK)) og varmediffusiviteten kappa (m^2/s).
•Glemme produktregelen når du deriverer r^2 dT/dr i Laplace-operatoren for kulekoordinater.
•Feil fortegn i Fouriers lov: H = -k nabla T (minus!). Varmen strømmer MOT gradienten.
•Glemme konveksjonsleddet v dot nabla T i varmetransportlikningen når fluiden beveger seg.

Koordinatsystemer og transformasjoner

•Glemme r-faktoren i volumelementet for sylinderkoordinater, eller r^2 sin(theta) for kulekoordinater.
•Blande theta i kulekoordinater (polvinkel fra z-aksen) med theta i sylinderkoordinater (vinkel i xy-planet).
•Glemme at enhetskoordinatvektorene i sylinder/kule endrer retning fra punkt til punkt.
•Bruke kartesiske formler for divergens/curl i krumme koordinater -- sla alltid opp på formelarket.
•Glemme å normalisere: skaleringsfaktoren h_u er LENGDEN av dr/du, mens enhetsvektoren er dr/du delt på denne lengden.
•Bruke formelen dV = h_u h_v h_w du dv dw uten først å sjekke at koordinatene faktisk er ortogonale.

Eksamenstips

Gradient og skalarfelt

•Når T bare avhenger av r, forenkles gradienten enormt -- bare den radielle komponenten overlever.
•Ekvipotensiallinjer (stiplet) og strømlinjer (heltrukket) skal tegnes vinkelrett på hverandre.
•Enhetene til gradient: dersom f har enhet [X], har nabla f enhet [X/m].

Divergens og kontinuitetslikningen

•Oppgaver ber ofte om å gjøre beregningen bade som flateintegral OG volumintegral for å verifisere svaret (V2017, 1a-1b).
•Når oppgaven spor 'hva heter integralsatsen', er svaret 'Gauss' divergensteorem' (eller bare 'divergensteoremet').
•For å finne volumfluks gjennom et apent tverrsnitt: parametriser flaten, finn normalvektoren, og integrer v dot n.

Curl og virvling

•Nesten ALLE eksamener ber om bade divergens og curl i oppgave 1. Skriv tydelig 'Divergens: ... ' og 'Virvling: ...'.
•Sirkulasjonsoppgaver ber ofte om bade direkte kurveintegral OG bruk av Stokes' teorem -- gjør begge for full uttelling.
•Når du bruker Stokes' teorem, oppgi alltid integralsatsens navn eksplisitt.

Potensialteori og strømfunksjoner

•Denne oppgavetypen kommer PÅ NESTEN ALLE EKSAMENER. Drill metoden til den sitter.
•Sjekk alltid divergens OG curl først, og oppgi eksplisitt om potensial/strømfunksjon eksisterer for du finner dem.
•Når du skisserer: strømlinjer (psi=konst.) med heltrukken strek, ekvipotensiallinjer (phi=konst.) med stiplet strek.
•Punktvirvel (v = A/r i_theta) og punktkilde (v = A/r i_r) går igjen. Lær deg strømfunksjon/potensial og kilde-/virvelstyrke for begge -- styrken er sirkulasjonen hhv. volumfluksen = 2*pi*A.
•Et felt kan være oppgitt VIA sitt potensial eller sin strømfunksjon (f.eks. phi = xy eller psi = A*theta + B*ln r) -- da finner du v ved derivasjon, ikke integrasjon.

Linjeintegraler og kurveintegraler

•Oppgaver ber ofte om å gjøre beregningen på TO mater (direkte + integralsats) og oppgi navnet på satsen.
•Sjekk om feltet er virvelfritt for du begynner -- da er sirkulasjonen null uten å regne!
•Ved direkte beregning: del opp i separate linjestykker og beregn bidraget fra hvert.

Flateintegraler og fluks

•For sfærisk symmetri (H bare avhenger av r): H dot n = |H| på kuleskallet, og integralet blir |H| * 4*pi*R^2.
•Direkte flateintegral over en boks krever 6 separate integraler -- på flere av flatene er bidraget null.
•Husk: int_0^pi sin(theta) dtheta = 2 og int_0^{2pi} dphi = 2pi. Disse kommer på nesten alle kuleoppgaver.

Eulers bevegelseslikning og Bernoullis likning

•Eulers likning eller Bernoulli kommer på HVER eksamen. V2016 hadde hevert, V2017 elveprofil, V2018 roterende vann.
•Oppgi alltid betingelsene for Bernoulli eksplisitt -- dette gir poeng!
•Når oppgaven sier 'finn trykket': integrer Eulers likning komponent for komponent og bestem integrasjonskonstanten fra randbetingelser.

Hydrostatisk trykk og trykkraft på flater

•Hydrostatikk-oppgaver kommer ofte -- bade direkte (kraft på bunn/vegg) og som 'skriv netto kraft som flateintegral og forenkle med en integralsats' (da er svaret rho*g*V via Gauss).
•På horisontal bunn med konstant dyp: F = p*A direkte. På vertikal vegg: integrer trykket over høyden.
•Når oppgaven sier 'vis ved en passende integralsats': bruk Gauss på nabla*p = rho*g for å konvertere flateintegralet til rho*g*V.
•For roterende væske: den totale trykkrafta på bunnen er den samme som for stillestående vann så lenge vannmengden er uendret.

Varmeledning og varmetransport

•Varmeoppgaver kommer på nesten alle eksamener (V2016 opp.3, V2018 oppg.2). Forstq bade diffusjon og konveksjon.
•Enhetsanalyse-oppgaver (V2016 3a, V2018 2a) gir enkle poeng. Bruk dimensjonsanalyse systematisk.
•Fortegnet til nabla^2 T bestemmer om temperaturen øker eller avtar -- dette er et gjengangerspørsmål.

Koordinatsystemer og transformasjoner

•Formelarket inneholder alle uttrykk for gradient, divergens, curl og Laplacian i krumme koordinater -- du trenger ikke pugge dem.
•Oppgaver med sfærisk symmetri (kulekoordinater) forenkles drastisk når størrelsen bare avhenger av r.
•Sjekk alltid ortogonalitet og høyrehåndssystem når oppgaven definerer nye koordinater.
•Skaleringsfaktor-oppgaver (finn h_u, sjekk ortogonalitet, finn dV) er en GJENGANGER -- ofte en hel oppgave alene. Drill oppskriften: deriver r, ta lengden, ta skalarprodukter, gang sammen.
•Når oppgaven ber om volumet av et omrade i nye koordinater: integrer dV = h_u h_v h_w over de oppgitte grensene.