Dagens kort – Sentralgrenseteoremet

Uten sentrering: $S_n$ har forventning $n\mu\to\pm\infty$ (med mindre $\mu=0$), så $S_n$ «drar av gårde» og har ingen grensefordeling. Vi trekker fra $n\mu$ for å sentrere rundt 0.

Uten skalering: $\mathrm{Var}(S_n-n\mu)=n\sigma^2\to\infty$, så variansen sprer seg ut og fordelingen blir uendelig flat. Vi deler på $\sigma\sqrt{n}$ for å fastsette variansen til 1.

Kun $\sqrt{n}$ gir riktig skala: deler vi på $n$ i stedet får vi $\bar{X}_n-\mu\to 0$ (store talls lov, degenerert grense), og deler vi på mindre enn $\sqrt{n}$ divergerer variansen. Faktoren $\sqrt{n}$ er den unike som balanserer slik at grensen $N(0,1)$ er ikke-degenerert.