STK1100 · UiO

Studieguide for STK1100 Sannsynlighet og statistiske metoder

Komplett pensumoversikt for sannsynlighet og statistiske metoder ved UiO — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

STK1100 Sannsynlighetsregning og statistisk modellering er et grunnleggende emne ved Universitetet i Oslo som dekker sannsynlighetsteori, fordelinger, estimering og regresjonsanalyse. Eksamen varer 4 timer, bestar typisk av 3-4 oppgaver, og tillater godkjent kalkulator samt den offisielle formelsamlingen for STK1100.

Kurset bygger opp fra grunnleggende sannsynlighetsregning (betinget sannsynlighet, Bayes' formel) via diskrete og kontinuerlige fordelinger (Poisson, eksponensial, gamma, normal, Weibull, lognormal, Rayleigh, Pareto, Laplace) til simultanfordelinger, transformasjon av variabler, estimering (MLE, momentestimering), konfidensintervaller, bootstrap og enkel lineaer regresjon. Et gjennomgaende tema er a utlede resultater matematisk -- eksamen krever fullstendige bevis og utledninger, ikke bare bruk av formler.

Gjennom et tiar med eksamener (2015-2024) ser vi et tydelig fast skjelett: nesten hver eksamen har (1) en oppgave om en navngitt kontinuerlig fordeling der du skal utlede MGF/forventning/varians og finne medianen fra den kumulative fordelingen, (2) en oppgave om estimering med gamma/kjikvadrat-basert konfidensintervall, og (3) en simultanfordeling-oppgave med marginaler, uavhengighet og ofte en variabeltransformasjon. Gammafordelingen og summeegenskapen for uavhengige gammavariabler med samme skalaparameter er det mest gjennomgaende verktoyet i hele kurset -- den dukker opp i bevis ar etter ar.

Viktig: Eksamen gir formelsamling som vedlegg, men du må kunne bruke formlene aktivt i utledninger, integrere tettheter, derivere log-likelihood-funksjoner og argumentere med sentralgrenseteoremet. Rene beregningsoppgaver er sjeldne; de fleste deloppgaver krever at du viser eller argumenterer for et resultat. Merk også at Oppgave 1 ikke alltid er en Bayes-oppgave -- flere ar starter med en ren fordelingsoppgave (gamma, Laplace, Poisson).

Sannsynlighetsregning og Bayes' formel

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes' formel. Brukes til å 'snu' betingede sannsynligheter i praktiske kontekster som medisinsk testing, bakterieresistens og jukseterninger.

Oversikt

Oppgave 1 på eksamen handler nesten alltid om sannsynlighetsregning med betinget sannsynlighet og Bayes' formel. Oppgavene er gjerne satt i en praktisk kontekst (bakterier, terninger, medisinsk testing) og krever systematisk bruk av sannsynlighetsregler. Gjennom tre eksamensar (V2022, V2023, V2024) ser vi at denne oppgaven er den mest tilgjengelige og gir rask uttelling dersom du behersker metodikken.

Grunnleggende regler

Betinget sannsynlighet er definert som:

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Dette gir oss multiplikasjonsregelen:

$P(A \cap B) = P(A \mid B) \cdot P(B) = P(B \mid A) \cdot P(A)$

Loven om total sannsynlighet dekomponerer en sannsynlighet over alle mulige tilfeller. Hvis $B_1, B_2, \ldots, B_k$ er en partisjon av utfallsrommet:

$P(A) = \sum_{i=1}^{k} P(A \mid B_i) \cdot P(B_i)$

Bayes' formel snur betingelsen:

$P(B_j \mid A) = \frac{P(A \mid B_j) \cdot P(B_j)}{\sum_{i=1}^{k} P(A \mid B_i) \cdot P(B_i)}$

Strategi for løsning

Folg denne oppskriften for Bayes-oppgaver:

Definer hendelsene eksplisitt med symboler (f.eks. $M$ = mutasjon, $O$ = overlever).
Identifiser hva som er gitt: prior-sannsynligheter $P(B_i)$ og betingede sannsynligheter $P(A \mid B_i)$ .
Bruk total sannsynlighet for å finne $P(A)$ (nevneren i Bayes' formel).
Sett inn i Bayes' formel for å finne den onsekde posterior-sannsynligheten.

Denne systematikken sikrer at du ikke glemmer noen ledd, og gjør det lett a kontrollere svaret.

Viktig: Iterert Bayes

På eksamen 2023 matte man bruke Bayes' formel to ganger i rekke (antibiotikaresistens). Etter første runde ble posterior-sannsynligheten fra første beregning brukt som prior i neste runde. Dette er et kraftig konsept som viser hvordan informasjon oppdaterer sannsynligheter sekvensielt.

Eksempel 1: Jukseterning (V2022)

Oppgave: Terning 1 (jukse) har $P(6) = 1/5$ . Terning 2 (vanlig) har $P(6) = 1/6$ . Line velger tilfeldig en terning og kaster. (a) Finn $P(\text{sekser})$ . (b) Gitt at det IKKE ble sekser, finn $P(\text{Terning 1})$ .

Løsning:

(a) Total sannsynlighet:

$P(6) = P(6 \mid T_1)P(T_1) + P(6 \mid T_2)P(T_2) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{10} + \frac{1}{12} = \frac{11}{60}$

(b) Vi trenger $P(T_1 \mid 6^c)$ . Bayes' formel:

$P(T_1 \mid 6^c) = \frac{P(6^c \mid T_1) \cdot P(T_1)}{P(6^c)} = \frac{\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2}}{1 - \frac{11}{60}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{49}{60}} = \frac{24}{49}$

Eksempel 2: Antibiotikaresistens (V2023)

Oppgave: 10 % av bakterier har mutasjon. Muterte overlever med $P = 0.20$ , umuterte med $P = 0.01$ . (a) $P(\text{overlever})$ ? (b) $P(\text{mutasjon} \mid \text{overlever})$ ?

Løsning:

(a) $P(O) = 0.20 \cdot 0.10 + 0.01 \cdot 0.90 = 0.020 + 0.009 = 0.029$

(b) $P(M \mid O) = \frac{0.20 \cdot 0.10}{0.029} = \frac{0.020}{0.029} \approx 0.690$

Etter kuren har andelen muterte bakterier økt fra 10 % til 69 %. Hvis vi tar en ny kur med samme antibiotika, bruker vi 0.690 som ny prior og gjentar beregningen. (c) Andre runde: $P(O) = 0.20 \cdot 0.690 + 0.01 \cdot 0.310 = 0.141$ . Ny posterior: $P(M|O) = \frac{0.138}{0.141} \approx 0.979$ . Nå er nesten alle overlevende bakterier resistente -- et tydelig eksempel på evolusjon i aksjon.

Eksempel 3: Medisinsk test med sensitivitet og spesifisitet

Oppgave: En antistofftest har sensitivitet $P(+ \mid \text{syk}) = 0.96$ og spesifisitet $P(- \mid \text{frisk}) = 0.98$ . I befolkningen har en andel $P(\text{syk}) = 0.02$ sykdommen. Finn $P(\text{syk} \mid +)$ og kommenter.

Løsning: La $S$ = syk, $+$ = positiv test. Total sannsynlighet for positiv test:

$P(+) = P(+ \mid S)P(S) + P(+ \mid S^c)P(S^c) = 0.96 \cdot 0.02 + 0.02 \cdot 0.98 = 0.0192 + 0.0196 = 0.0388$

der $P(+ \mid S^c) = 1 - \text{spesifisitet} = 0.02$ . Bayes' formel:

$P(S \mid +) = \frac{P(+ \mid S)P(S)}{P(+)} = \frac{0.0192}{0.0388} \approx 0.495$

Kommentar: Selv med en bra test (96 % sensitivitet, 98 % spesifisitet) er det bare rundt 50 % sannsynlighet for at en med positiv test faktisk er syk, fordi sykdommen er sjelden. De mange friske gir mange falske positive. Dette er det sentrale poenget i testoppgavene (antistofftest 2020, koronatest 2021): høy spesifisitet er avgjorende når prevalensen er lav.

Nøkkelformler

•$ $\displaystyle P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ $ (Betinget sannsynlighet)
•$ $P(A) = \sum_{i} P(A \mid B_i) P(B_i)$ $ (Total sannsynlighet)
•$ $\displaystyle P(B_j \mid A) = \frac{P(A \mid B_j) P(B_j)}{\sum_i P(A \mid B_i) P(B_i)}$ $ (Bayes' formel)
•$ $P(A^c) = 1 - P(A)$ $ (Komplementregelen)

Vanlige feil

⚠️Forveksle P(A|B) og P(B|A) -- de er generelt IKKE like. Bayes' formel snur rekkefølgen.
⚠️Glemme å bruke total sannsynlighet i nevneren til Bayes' formel.
⚠️I itererte Bayes-oppgaver: bruke den opprinnelige prior i stedet for den oppdaterte posterior.
⚠️Blande disjunkte og uavhengige hendelser. Disjunkte hendelser med positiv sannsynlighet er alltid avhengige.

Eksamenstips

💡Bayes/betinget sannsynlighet dukker opp på rundt halvparten av eksamenene (bla. 2017, 2018, 2020, 2021, 2022, 2023), ofte som en kort Oppgave 1. Men ikke alltid -- flere ar apner i stedet med en ren fordelingsoppgave, så ikke regn med at Oppgave 1 garantert er Bayes.
💡Definer hendelsene med tydelige symboler (f.eks. M = mutasjon, O = overlever) for du begynner.
💡Sjekk alltid at sannsynlighetene summerer til 1 som en kontroll.
💡Et tilbakevendende format er medisinsk testing med sensitivitet/spesifisitet (antistofftest 2020, koronatest 2021): sensitivitet = P(positiv|syk), spesifisitet = P(negativ|frisk). Da blir P(syk|positiv) ofte overraskende lav når sykdommen er sjelden -- kommenter dette poenget eksplisitt.
💡Itererte/sekvensielle Bayes (resistens 2023, gjentatt kur) er et yndet pamonster: posterior fra første runde blir prior i neste.

Laster...

Laster…

Introduksjon