Løsningsforslag – Matematikk 10. klasse Eksempeloppgave 1 (2021)

Eksamen MAT01-05

Oppgave 1

Vi studerer mønsteret ved å telle trekanter og kvadrater i de tre første figurene:

Figur	Trekanter	Kvadrater
1	2	1
2	4	3
3	6	5

Vi ser at antall trekanter øker med 2 for hver figur, og antall kvadrater øker med 2 for hver figur.

Trekanter: I figur \(n\) er det \(2n\) trekanter.

Kvadrater: I figur \(n\) er det \(2n - 1\) kvadrater.

Oppgave 2

Vi må sjekke om \((a + b)^2 = 16\) for hvert alternativ. Siden \((a + b)^2 = 16\) betyr at \(a + b = 4\) eller \(a + b = -4\).

\(a = 2\) og \(b = 2\):

Ja, dette stemmer.

\(a = 4\) og \(b = 4\):

Nei, dette stemmer ikke.

\(a = 8\) og \(b = 4\):

Nei, dette stemmer ikke.

\(a = 8\) og \(b = 8\):

Nei, dette stemmer ikke.

Oppgave 3

Vi regner ut venstre side først:

Høyre side blir:

Vi setter sidene lik hverandre og løser for \(x\):

Alternativ metode: Vi kan også bruke at \(9\) finnes på begge sider og forkorte:

Oppgave 4

Vi sjekker de to kravene for hvert alternativ:

Krav 1: Grafen er en rett linje. En rett linje har funksjonsuttrykket \(y = ax + b\) (lineær funksjon).

• \(y = x^2 + 2\): Dette er en andregradsfunksjon (parabel), ikke en rett linje.
• \(y = 2x + 1\): Dette er en lineær funksjon, altså en rett linje.
• \(y = \frac{2}{x}\): Dette er en hyperbel, ikke en rett linje.
• \(y = x + 2\): Dette er en lineær funksjon, altså en rett linje.

Krav 2: Grafen skjærer \(y\)-aksen i 2. Vi setter \(x = 0\) og sjekker de gjenværende alternativene:

• \(y = 2 \cdot 0 + 1 = 1\). Skjærer \(y\)-aksen i 1, ikke i 2.
• \(y = 0 + 2 = 2\). Skjærer \(y\)-aksen i 2. ✔

Oppgave 5

Vi regner ut totalkostnaden for alternativ 2. To år tilsvarer \(2 \cdot 12 = 24\) måneder.

Forskjellen mellom alternativene:

Oppgave 6

La den opprinnelige radiusen være \(r\). Da er det opprinnelige volumet:

Dersom radiusen blir tre ganger så stor, bruker vi \(3r\) som ny radius:

Det nye volumet er altså 27 ganger det opprinnelige. Dette følger av at volumet er proporsjonal med tredjepotensen av radius: \(3^3 = 27\).

Oppgave 7

Vi finner først den totale summen penger. Arne har 120 kr og de fem søsknene har 30 kr hver:

Til sammen er det 6 personer (Arne + 5 søsken). Dersom pengene deles likt:

Hver av søsknene har 30 kr fra før og trenger 45 kr. Arne må gi:

Kontroll: Arne gir bort \(5 \cdot 15 = 75\) kr og sitter igjen med \(120 - 75 = 45\) kr. Hver av søsknene har \(30 + 15 = 45\) kr. Alle har 45 kr. ✔

Oppgave 1

Olavs framgangsmåte er feil.

Olav har strøket 2-tallet i telleren mot 2-tallet i nevneren, som om han «forkortet» tallet 2. Men når vi forkorter en brøk, må vi dele alle leddene i telleren med nevneren, ikke bare ett av dem.

Den riktige forenklingen er å dele hvert ledd i telleren med 2:

Kontroll med et talleksempel: La \(x = 1\):

• Olavs svar: \(6 \cdot 1^2 = 6\)
• Opprinnelig uttrykk: \(\frac{6 \cdot 1^2 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
• Riktig forenkling: \(3 \cdot 1^2 + 1 = 4\) ✔

Talleksempelet bekrefter at Olavs svar (6) er feil og at det riktige svaret er 4.

Oppgave 2

a) Sammenlikning av prisene

Vi setter opp funksjonsuttrykk for hvert firma. La \(x\) være antall minutter:

Vi regner ut prisene for noen utvalgte tidspunkter:

Minutter	Trix	Kvikk	Lazy
0	10 kr	0 kr	5 kr
5	22,50 kr	15 kr	17,50 kr
10	35 kr	30 kr	30 kr
15	47,50 kr	45 kr	42,50 kr
20	60 kr	60 kr	55 kr
25	72,50 kr	75 kr	67,50 kr
30	85 kr	90 kr	80 kr

Vi finner når Kvikk og Lazy koster det samme (skjæringspunktet):

Vi finner når Kvikk og Trix koster det samme:

Oppsummering:

• For 0 til 10 minutter er Kvikk billigst (ingen oppstartspris).
• For 10 minutter koster Kvikk og Lazy begge 30 kr.
• For 10 til 30 minutter er Lazy billigst.
• Trix er aldri billigst i intervallet 0 til 30 minutter.

b) Anbefaling for det nye firmaet

Det nye firmaet må være billigst for alle leietider opp til 25 minutter, men samtidig tjene mest mulig. Det billigste firmaet ved 25 minutter er Lazy med \(5 + 2{,}5 \cdot 25 = 67{,}50\) kr. Samtidig er Kvikk billigst for korte turer (\(0{-}10\) min).

Det nye firmaet må altså slå begge disse. En strategi er å velge en oppstartspris på 0 kr (for å slå Kvikk ved korte turer) og en minuttpris som er lavere enn alle de andre ved 25 minutter.

Vi prøver: oppstartspris 0 kr og minuttpris \(p\) kr.

• Ved \(x = 25\): Ny pris = \(25p\). Lazy koster 67,50 kr. Vi trenger \(25p < 67{,}50\), altså \(p < 2{,}70\).
• For å tjene mest mulig bør \(p\) være så høy som mulig: \(p = 2{,}69\) kr.

Med \(p = 2{,}69\) kr og oppstartspris 0 kr:

• Ved 25 min: \(25 \cdot 2{,}69 = 67{,}25\) kr (billigere enn Lazy med 67,50 kr) ✔
• Ved 10 min: \(10 \cdot 2{,}69 = 26{,}90\) kr (billigere enn Kvikk med 30 kr) ✔
• Ved 5 min: \(5 \cdot 2{,}69 = 13{,}45\) kr (billigere enn Kvikk med 15 kr) ✔

Oppgave 3

Siden hver sirkel tangerer tre sider i rektanglet, og rektanglet har bredde 9, må diameteren til hver sirkel være lik bredden, altså 9. Dermed har hver sirkel radius:

Hvert sirkelsenter ligger midt i rektanglet i vertikal retning (halvveis opp, altså 4,5 fra topp og bunn).

I horisontal retning tangerer sirkel G venstre side av rektanglet, så G ligger en radius fra venstre kant:

Sirkel H tangerer høyre side av rektanglet, så H ligger en radius fra høyre kant:

Siden begge sentrene har samme \(y\)-koordinat (begge er midtveis i bredden), er avstanden mellom G og H:

Oppgave 4

Vi må finne verdier for \(a\) og \(b\) slik at produktet \((4 - a)(4 + b) = 8\). Vi kan velge verdier for den ene faktoren og beregne den andre.

Løsning 1: La \(4 - a = 2\) og \(4 + b = 4\).

Kontroll: \((4 - 2)(4 + 0) = 2 \cdot 4 = 8\) ✔

Løsning 2: La \(4 - a = 4\) og \(4 + b = 2\).

Kontroll: \((4 - 0)(4 + (-2)) = 4 \cdot 2 = 8\) ✔

Løsning 3: La \(4 - a = 1\) og \(4 + b = 8\).

Kontroll: \((4 - 3)(4 + 4) = 1 \cdot 8 = 8\) ✔

Oppgave 5

Hva algoritmen undersøker:

Algoritmen undersøker om en trekant med sidelengder \(a\), \(b\) og \(c\) er rettvinklet. Den bruker Pytagoras' setning: I en rettvinklet trekant er summen av katetenes kvadrater lik hypotenusens kvadrat, det vil si \(a^2 + b^2 = c^2\).

• Output_1: Trekanten er rettvinklet (Pytagoras' setning er oppfylt).
• Output_2: Trekanten er ikke rettvinklet.

Eksempler som gir Output_1:

Eksempel 1: \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = 5\)

Eksempel 2: \(a = 5\), \(b = 12\), \(c = 13\)

Eksempel 3: \(a = 6\), \(b = 8\), \(c = 10\)

Oppgave 6

Vi leser av grafen at \(x\)-aksen representerer euro og \(y\)-aksen representerer norske kroner.

• \(x\) representerer beløpet i euro (EUR).
• \(y\) representerer det tilsvarende beløpet i norske kroner (NOK).
• 10,27 er vekslingskursen, som forteller at 1 euro tilsvarer 10,27 norske kroner. Dette er stigningstallet til grafen.

For eksempel: Dersom man veksler 50 euro, får man:

Oppgave 7

La \(x\) = antall små flasker og \(y\) = antall store flasker.

Likning 1 (antall flasker): Ali pantet til sammen 51 flasker:

Likning 2 (total pant): Små flasker gir 2 kr og store gir 3 kr. Totalt 109 kr:

Fra likning (I) uttrykker vi \(x\):

Vi setter dette inn i likning (II):

Vi finner \(x\):

Kontroll:

• Antall flasker: \(44 + 7 = 51\) ✔
• Total pant: \(2 \cdot 44 + 3 \cdot 7 = 88 + 21 = 109\) kr ✔

Oppgave 8

Vurdering av diagrammet "Andel uføretrygdede av befolkningen":

• Y-aksen starter ikke ved 0, men ved 9,7 %. Dette er et vanlig triks som får endringer til å se mye større ut enn de egentlig er. Økningen fra 9,7 % til 10,1 % er bare 0,4 prosentpoeng, men grafen ser ut som en dramatisk stigning.
• Dersom y-aksen hadde startet på 0 %, ville kurven sett tilnærmet flat ut, og vi ville fått et mer nøytralt bilde av utviklingen.
• Framstillingen gir dermed et overdrevet inntrykk av økningen i andelen uføretrygdede.

Vurdering av diagrammet "Antall sykemeldinger":

• Y-aksen starter ikke ved 0, men ved ca. 3 580 000. Også her gir dette et overdrevet inntrykk av økningen.
• Overskriften forteller at økningen er 4,6 %, men diagrammet gjør at det visuelt ser ut som en mye kraftigere stigning.
• I tillegg nevnes det at befolkningen har økt med 3,1 % i samme periode. Dersom befolkningen øker, er det naturlig at antall sykemeldinger også øker noe. En mer rettferdig framstilling ville vist andel sykemeldinger per innbygger.

Konklusjon:

Begge diagrammene bruker avkuttede y-akser (som ikke starter på 0) for å overdrive den visuelle effekten av endringene. Dette gir et misvisende bilde av utviklingen. De reelle endringene er moderate, men diagrammene får det til å se ut som dramatiske økninger.

Oppgave 9

Påstand 1: "Summen av fem påfølgende heltall er alltid delelig med fem."

La de fem påfølgende heltallene være \(n, n+1, n+2, n+3, n+4\). Summen blir:

Siden \(5(n+2)\) er et produkt der 5 er en faktor, er summen alltid delelig med 5.

Talleksempel: \(3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 = 5 \cdot 5\) ✔

Påstand 2: "Summen av seks påfølgende heltall er aldri delelig med seks."

La de seks påfølgende heltallene være \(n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5\). Summen blir:

For at summen skal være delelig med 6, må \(6n + 15\) være delelig med 6. Vi ser at \(6n\) er delelig med 6, men 15 er ikke delelig med 6 (siden \(15 = 2 \cdot 6 + 3\)). Dermed er \(6n + 15\) aldri delelig med 6.

Talleksempel: \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21\). Er \(21\) delelig med \(6\)? \(21 \div 6 = 3{,}5\). Nei. ✔

Påstand 3: "Summen av sju påfølgende heltall er noen ganger delelig med sju."

La de sju påfølgende heltallene være \(n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, n+6\). Summen blir:

Siden summen alltid er \(7(n + 3)\), er summen alltid delelig med 7, ikke bare noen ganger.

Talleksempel: \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 = 7 \cdot 4\) ✔

Enda et eksempel: \(10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 91 = 7 \cdot 13\) ✔

Generalisering:

Vi kan se et mønster. Summen av \(k\) påfølgende heltall \(n, n+1, \ldots, n+(k-1)\) er:

• Dersom \(k\) er odde (ulike): \(\frac{k(k-1)}{2}\) er delelig med \(k\) fordi \(\frac{k-1}{2}\) er et heltall. Da er \(S = k\left(n + \frac{k-1}{2}\right)\), som alltid er delelig med \(k\).
• Dersom \(k\) er partall: \(\frac{k(k-1)}{2} = \frac{k}{2} \cdot (k-1)\). Siden \(k-1\) er odde, er \(\frac{k(k-1)}{2}\) ikke delelig med \(k\). Summen er da aldri delelig med \(k\).

Oppgave 10

Vi stiller flere matematiske spørsmål og besvarer dem.

Spørsmål 1: Hva koster det å ta mopedførerkortet?

Obligatorisk opplæring + 3 kjøretimer:

Anne trenger trolig flere kjøretimer. La oss anta 2 ekstra kjøretimer. En kjøretime koster typisk rundt 400-500 kr (vi anslår 450 kr):

Gebyrer:

Totalkostnad førerkort:

Spørsmål 2: Hva vil mopeden være verdt når Anne selger den ved 18 år?

Kjøpspris: 16 000 kr. Vi bruker 27,5 % verditap første året (midt mellom 25 % og 30 %):

Etter 1. år (Anne er 17):

Etter 2. år (Anne er 18, 20 % verditap):

Verditapet i kroner over to år:

Spørsmål 3: Hva koster forsikring i to år?

Spørsmål 4: Hva koster drivstoff i to år?

Anne bor 2 km fra skolen og fotballbanen. Vi antar at hun kjører til skolen og tilbake hver dag (tur-retur 4 km), 5 dager i uken, ca. 40 uker per år, pluss til fotballbanen 3 ganger i uken (tur-retur 4 km):

Over et år (ca. 40 uker med skole, pluss noe kjøring ellers):

Drivstofforbruk: \(\frac{1}{3}\) liter per mil. Bensinpris: 15 kr per liter.

Over to år:

Spørsmål 5: Hva blir den totale kostnaden for Anne?

Kostnad	Beløp
Førerkort	10 735 kr
Moped (kjøp - salg)	6 720 kr
Forsikring	3 000 kr
Drivstoff	1 520 kr
Totalt	21 975 kr

Kritisk vurdering:

• Vi har antatt 27,5 % verditap første året. Med 25 % ville mopeden vært verdt 9 600 kr, og med 30 % ville den vært verdt 8 960 kr. Totalkostnaden varierer dermed mellom ca. 21 295 kr og 22 295 kr.
• Vi har ikke tatt med kostnader til vedlikehold, dekk, service eller eventuelle reparasjoner.
• Kjørelengden er et anslag. Dersom Anne kjører mer (f.eks. i fritiden), øker drivstoffkostnadene.
• Anne bor bare 2 km fra skolen, noe som betyr at hun også kan gå eller sykle. Mopeden er altså mer en luksus enn en nødvendighet.