Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no. Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.

Del 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1

Oppgave: To sjokolader og én vannflaske koster 40 kr. Fire sjokolader og tre vannflasker koster 98 kr. Hvor mye koster én sjokolade?

Vi kaller prisen for én sjokolade \(s\) og prisen for én vannflaske \(v\). Da kan vi sette opp to likninger:

\[2s + v = 40 \quad \text{(I)}\] \[4s + 3v = 98 \quad \text{(II)}\]

Fra likning (I) kan vi uttrykke \(v\):

\[v = 40 - 2s\]

Vi setter dette inn i likning (II):

\[4s + 3(40 - 2s) = 98\] \[4s + 120 - 6s = 98\] \[-2s = 98 - 120\] \[-2s = -22\] \[s = 11\]

Vi kan kontrollere ved å finne \(v\):

\[v = 40 - 2 \cdot 11 = 40 - 22 = 18\]

Kontroll med likning (II): \(4 \cdot 11 + 3 \cdot 18 = 44 + 54 = 98\) ✔

Svar: Én sjokolade koster 11 kr.

Vanlig feil: Noen elever setter opp likningene riktig, men gjør fortegnsfeil når de trekker den ene likningen fra den andre. Pass på at du trekker fra alle leddene, inkludert konstantleddet på høyre side. En annen vanlig feil er å glemme å sjekke svaret i begge de opprinnelige likningene.

Oppgave 2

Oppgave: Grafen viser sammenhengen mellom fart (km/h) og bremselengde (m) for en bil på tørr asfalt. Grafen er en stigende kurve (ikke-lineær) som starter i origo. Vurder om fire påstander er korrekte eller ikke.

Påstand 1: «Om farten er 40 km/h, er bremselengden omtrent 8 m»

Vi leser av grafen ved \(x = 40\). Kurven ser ut til å ha en verdi på omtrent 8 m ved 40 km/h.

Korrekt

Påstand 2: «For at bremselengden skal være mindre enn 15 m, må farten være mindre enn 55 km/h»

Vi leser av grafen for \(y = 15\). Bremselengden 15 m ser ut til å svare til en fart på omtrent 50–55 km/h. For at bremselengden skal være mindre enn 15 m, må farten være under denne verdien. Påstanden sier «mindre enn 55 km/h», noe som stemmer med avlesningen.

Korrekt

Påstand 3: «Om farten halveres, halveres også bremselengden»

Grafen er ikke lineær – den er en kurve som stiger stadig brattere. Bremselengden er proporsjonal med kvadratet av farten (ikke lineært proporsjonal). For eksempel:

Ved 80 km/h er bremselengden ca. 32 m.
Ved 40 km/h (halvparten) er bremselengden ca. 8 m (en fjerdedel, ikke halvparten).

Når farten halveres, reduseres bremselengden til omtrent en fjerdedel, ikke halvparten.

Ikke korrekt

Vanlig feil: Mange elever tenker at bremselengde og fart har en lineær sammenheng – altså at dobbel fart gir dobbel bremselengde. I virkeligheten er bremselengden proporsjonal med kvadratet av farten: \(s \propto v^2\). Når farten halveres, reduseres bremselengden til en fjerdedel. Dette er svært viktig for trafikksikkerhet, og er pensum i LK20.

Påstand 4: «Om farten er over 70 km/h, er bremselengden over 30 m»

Vi leser av grafen ved \(x = 70\). Bremselengden ser ut til å være omtrent 25 m ved 70 km/h, ikke over 30 m. Over 30 m oppnås først ved rundt 80 km/h.

Ikke korrekt

Oppgave 3

Oppgave: Et bestemt rektangel har lengde \(a\) og bredde \(2a\). Hvilken lengde og bredde kan rektanglet ha?

Lengden er \(a\) og bredden er \(2a\). Her kan \(a\) være et hvilket som helst positivt tall. Vi velger for eksempel \(a = 3\):

\[\text{Lengde} = a = 3\] \[\text{Bredde} = 2a = 2 \cdot 3 = 6\]

Vi kan kontrollere at bredden er dobbelt så lang som lengden: \(6 = 2 \cdot 3\) ✔

Merk: Alle svar der bredden er dobbelt så stor som lengden er gyldige. For eksempel: lengde 5 og bredde 10, lengde 1 og bredde 2, osv.

Svar: For eksempel: Lengde = 3, Bredde = 6 (eller et annet par der bredden er dobbelt så stor som lengden).

Oppgave 4

Oppgave: Kristian lager esker av papirkvadrater med sidelengde 10 cm. I hvert hjørne klipper han bort et lite kvadrat med sidelengde 2,5 cm. Deretter bretter han opp papiret og fester hjørnene med tape. Hvor stort er volumet til eska?

Figuren viser et kvadrat (10 cm × 10 cm) med et lite kvadrat (2,5 cm × 2,5 cm) klippet bort i hvert hjørne, og prikkete brettelinjer.

Når vi klipper bort kvadrater med sidelengde \(2{,}5\) cm i hvert hjørne og bretter opp, får vi en eske der:

Høyden = sidelengden til de bortklippede kvadratene = \(2{,}5\) cm
Lengden på bunnen = \(10 - 2 \cdot 2{,}5 = 10 - 5 = 5\) cm
Bredden på bunnen = \(10 - 2 \cdot 2{,}5 = 10 - 5 = 5\) cm

Volumet blir:

\[V = \text{lengde} \times \text{bredde} \times \text{høyde} = 5 \times 5 \times 2{,}5 = 62{,}5 \text{ cm}^3\]

Svar: Volumet til eska er \(62{,}5 \text{ cm}^3\).

Vanlig feil: Noen elever trekker bare fra én gang (\(10 - 2{,}5 = 7{,}5\)) i stedet for å trekke fra to ganger (\(10 - 2 \cdot 2{,}5 = 5\)), fordi de glemmer at det klippes bort i begge ender av hver side. Husk at hvert hjørne har et bortklippet kvadrat, så både lengden og bredden mister \(2 \times 2{,}5 = 5\) cm totalt.

Oppgave 5

Oppgave: Bruk figuren til å vise at \(68 \cdot 27 = 1836\).

Figuren viser et stort rektangel delt i fire deler (arealet av et rektangel som er 68 × 27). Det store rektangelet er delt i to rader (20 og 7) og to kolonner (60 og 8), som gir fire mindre rektangler med ulike farger.

Vi kan dele opp multiplikasjonen \(68 \cdot 27\) ved å bruke arealmodellen. Vi deler 68 i \(60 + 8\) og 27 i \(20 + 7\):

×	60	8
20	\(60 \cdot 20 = 1200\)	\(8 \cdot 20 = 160\)
7	\(60 \cdot 7 = 420\)	\(8 \cdot 7 = 56\)

De fire delproduktene svarer til arealene av de fire delrektanglene i figuren. Vi summerer:

\[1200 + 160 + 420 + 56 = 1836\]

Konklusjon: Figuren viser at \(68 \cdot 27 = (60 + 8)(20 + 7) = 1200 + 160 + 420 + 56 = 1836\).

Oppgave 6

Oppgave: Til en teaterforestilling blir det solgt tre ulike billettyper: Voksen 315 kr, Honnør 250 kr, Barn 210 kr. Hvilket uttrykk gir den totale billettinntekten \(B\), når det blir solgt \(x\) voksenbilletter, \(z\) honnørbilletter og \(y\) barnebilletter?

Alternativer: (a) \(B = x + z + y\), (b) \(B = 775\), (c) \(B = x \cdot z \cdot y\), (d) \(B = 315x + 250z + 210y\)

Den totale billettinntekten finner vi ved å multiplisere antall billetter av hver type med prisen for den typen, og summere:

\[B = 315 \cdot x + 250 \cdot z + 210 \cdot y = 315x + 250z + 210y\]

La oss se på de andre alternativene:

\(B = x + z + y\) gir bare totalt antall billetter, ikke inntekten.
\(B = 775\) er summen av de tre prisene, men tar ikke hensyn til antall billetter solgt.
\(B = x \cdot z \cdot y\) gir produktet av antallene, noe som ikke gir mening for inntekt.

Svar: \(B = 315x + 250z + 210y\)

Vanlig feil: Noen elever velger \(B = x + z + y\) fordi de tenker på «antall», men dette gir bare det totale antallet billetter, ikke inntekten i kroner. Andre velger \(B = 775\) som er summen av prisene, men dette gir en fast verdi uavhengig av hvor mange billetter som selges. For å finne inntekt må du multiplisere pris med antall for hver billettype.

Oppgave 7

Oppgave: Selma skal dyrke bakterier. Hun starter med 15 000 bakterier i en skål. Antallet bakterier vokser eksponentielt, og øker med 10 % hver dag. Hvor mange bakterier vil det være i skålen etter to dager?

Eksponentiell vekst med 10 % økning per dag betyr at vi multipliserer med vekstfaktoren \(1{,}10\) for hver dag som går.

Etter 1 dag:

\[15\,000 \cdot 1{,}10 = 16\,500\]

Etter 2 dager:

\[16\,500 \cdot 1{,}10 = 18\,150\]

Alternativt kan vi regne direkte:

\[15\,000 \cdot 1{,}10^2 = 15\,000 \cdot 1{,}21 = 18\,150\]

Svar: Etter to dager vil det være 18 150 bakterier i skålen.

Vanlig feil: Noen elever regner 10 % av 15 000 to ganger og legger til: \(15\,000 + 1\,500 + 1\,500 = 18\,000\). Men dette er feil fordi den andre dagens vekst skal beregnes ut fra det nye antallet (16 500), ikke det opprinnelige (15 000). Ved eksponentiell vekst multipliserer man med vekstfaktoren gjentatte ganger, ikke legger til samme beløp.

Oppgave 8

Oppgave: Fire funksjonsuttrykk er gitt: \(f(x) = 2x + 3\), \(g(x) = 1{,}2^x\), \(h(x) = \dfrac{40}{x}\), \(i(x) = x^2 + 7x + 12\). Fire grafer er vist. Skriv riktig funksjonsuttrykk til hver graf.

Graf 1 (øverst til venstre, oransje): En U-formet kurve med bunnpunkt, typisk parabel.
Graf 2 (øverst til høyre, grønn): En rett linje som stiger – typisk lineær funksjon.
Graf 3 (nederst til venstre, rød): En kurve som er nesten flat til venstre og stiger sakte mot høyre – typisk eksponentialfunksjon.
Graf 4 (nederst til høyre, blå): En kurve med to greiner – en i første og en i tredje kvadrant – typisk hyperbel.

Vi identifiserer hver funksjon ut fra grafens form:

\(f(x) = 2x + 3\) er en lineær funksjon (rett linje) med stigningstall 2 og konstantledd 3. Denne passer med graf 2 (rett linje, øverst til høyre).
\(g(x) = 1{,}2^x\) er en eksponentialfunksjon som vokser sakte. For store negative \(x\)-verdier er den nær 0, og den stiger mot høyre. Denne passer med graf 3 (nederst til venstre).
\(h(x) = \dfrac{40}{x}\) er en hyperbel med to greiner – én i første kvadrant og én i tredje kvadrant. Denne passer med graf 4 (nederst til høyre).
\(i(x) = x^2 + 7x + 12\) er en andregradsfunksjon (parabel) som åpner oppover. Vi kan faktorisere: \(i(x) = (x + 3)(x + 4)\), som gir nullpunkter i \(x = -3\) og \(x = -4\). Denne passer med graf 1 (øverst til venstre).

Svar:
Graf 1 (øverst til venstre): \(i(x) = x^2 + 7x + 12\)
Graf 2 (øverst til høyre): \(f(x) = 2x + 3\)
Graf 3 (nederst til venstre): \(g(x) = 1{,}2^x\)
Graf 4 (nederst til høyre): \(h(x) = \dfrac{40}{x}\)

Del 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1

Oppgave: Hanna planlegger en bursdagsfest. Hun ønsker å leie et lokale til festen. Hanna har laget et funksjonsuttrykk som viser utgiftene ved leie av lokalet: \[f(x) = 100x + 2500\] Bruk funksjonsuttrykket og si noe om utgiftene ved leie av lokalet.

Funksjonsuttrykket \(f(x) = 100x + 2500\) er en lineær funksjon. Vi kan tolke leddene slik:

Konstantleddet 2500: Dette er den faste kostnaden for å leie lokalet, uavhengig av antall gjester. Når \(x = 0\), er \(f(0) = 2500\) kr. Dette er altså grunnprisen for leien.
Stigningstallet 100: For hver ekstra gjest (\(x\)) øker kostnaden med 100 kr. Dette kan for eksempel være en pris per person for mat, drikke eller servering.
\(x\): Variabelen \(x\) representerer antall gjester.

Eksempler:

For 10 gjester: \(f(10) = 100 \cdot 10 + 2500 = 1000 + 2500 = 3500\) kr
For 20 gjester: \(f(20) = 100 \cdot 20 + 2500 = 2000 + 2500 = 4500\) kr
For 50 gjester: \(f(50) = 100 \cdot 50 + 2500 = 5000 + 2500 = 7500\) kr

Dersom Hanna har et budsjett på for eksempel 5000 kr, kan vi finne ut hvor mange gjester hun har råd til:

\[100x + 2500 = 5000\] \[100x = 2500\] \[x = 25\]

Svar: Funksjonsuttrykket \(f(x) = 100x + 2500\) viser at det koster 2500 kr å leie lokalet (fast grunnpris), pluss 100 kr per gjest. For eksempel koster det 3500 kr for 10 gjester. Med et budsjett på 5000 kr kan Hanna invitere 25 gjester.

Oppgave 2

Oppgave: Figuren viser et stort kvadrat som er bygd opp av fire kongruente (like store) rektangler og et lite kvadrat i midten. Omkretsen til hvert rektangel er 30 cm.

Figuren viser et stort kvadrat. Inni det er det fire rektangler plassert rundt et lite kvadrat i midten. Rektanglene er plassert slik at den lange siden til hvert rektangel utgjør en del av det store kvadratets side.

Argumenter for at omkretsen til det store kvadratet er 60 cm.

La oss kalle den lange siden av rektangelet for \(l\) og den korte siden for \(b\).

Omkretsen til hvert rektangel er 30 cm:

\[2l + 2b = 30\] \[l + b = 15\]

Fra figuren ser vi at det store kvadratets side er satt sammen av den lange siden og den korte siden av et rektangel. Det store kvadratets sidelengde er altså:

\[\text{Side av stort kvadrat} = l + b = 15 \text{ cm}\]

Denne sammenhengen gjelder fordi rektanglene er plassert slik at langs hver side av det store kvadratet ligger én lang side og én kort side fra ulike rektangler (den lange siden av det ene rektangelet og den korte siden av det tilstøtende rektangelet utgjør til sammen hele siden av det store kvadratet).

Omkretsen til det store kvadratet er:

\[O = 4 \cdot 15 = 60 \text{ cm}\]

Konklusjon: Siden sidelengden til det store kvadratet er \(l + b = 15\) cm (halvparten av omkretsen til hvert rektangel), blir omkretsen til det store kvadratet \(4 \cdot 15 = 60\) cm.

Oppgave 3

Oppgave: På fem kort står tallene 1, 2, 3, 4 og 5. Kortene blir lagt på et bord med tallsiden ned og blir deretter blandet. Du trekker to tilfeldige kort og summerer tallene. Argumenter for at det er 40 % sjanse for at summen av tallene på kortene du trekker blir et partall.

Vi lister opp alle mulige par av to kort (rekkefølgen spiller ingen rolle). Totalt antall måter å velge 2 kort fra 5 er:

\[\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10\]

Alle mulige par og deres summer:

Par	Sum	Partall?
(1, 2)	3	Nei
(1, 3)	4	Ja
(1, 4)	5	Nei
(1, 5)	6	Ja
(2, 3)	5	Nei
(2, 4)	6	Ja
(2, 5)	7	Nei
(3, 4)	7	Nei
(3, 5)	8	Ja
(4, 5)	9	Nei

Det er 4 par som gir partallssum: (1,3), (1,5), (2,4), (3,5).

Regel: For at summen av to tall skal bli et partall, må begge tallene være enten oddetall eller partall (odde + odde = partall, partall + partall = partall). Vi har tre oddetall (1, 3, 5) og to partall (2, 4). Antall par med to oddetall: \(\binom{3}{2} = 3\). Antall par med to partall: \(\binom{2}{2} = 1\). Totalt: \(3 + 1 = 4\).

Sannsynligheten er:

\[P(\text{partall}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 0{,}4 = 40\,\%\]

Konklusjon: Det er \(\dfrac{4}{10} = 40\,\%\) sjanse for at summen blir et partall, fordi 4 av de 10 mulige parene gir en partallssum.

Oppgave 4

Oppgave: Den eksplisitte formelen for figur \(n\) i et mønster er: \[F_n = n^2 + 2\] Tegn figurer som kan være de tre første i dette mønsteret.

Vi regner ut antall elementer i de tre første figurene:

Figur 1: \(F_1 = 1^2 + 2 = 1 + 2 = 3\)
Figur 2: \(F_2 = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6\)
Figur 3: \(F_3 = 3^2 + 2 = 9 + 2 = 11\)

Vi kan lage figurer der mønsteret består av et kvadrat med \(n \times n\) elementer pluss 2 ekstra elementer. For eksempel:

Mønsteret er tydelig: et \(n \times n\)-kvadrat med to ekstra elementer lagt til under (eller ved siden av). Formelen \(F_n = n^2 + 2\) stemmer for alle figurene.

Svar: De tre første figurene har henholdsvis 3, 6 og 11 elementer. Figurene kan bestå av et \(n \times n\)-kvadrat med 2 ekstra elementer lagt til.

Oppgave 5

Oppgave: Studer grafen.

Grafen viser en rett linje i et koordinatsystem. Linjen går gjennom blant annet punktene \((-1, 0)\) og \((0, 3)\). Linjen stiger fra venstre mot høyre.

Argumenter for at stigningstallet til grafen er 3.

Vi leser av to punkter fra grafen:

Punkt 1: \((-1,\, 0)\)
Punkt 2: \((0,\, 3)\)

Stigningstallet beregnes med formelen:

\[a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]

Vi setter inn verdiene:

\[a = \frac{3 - 0}{0 - (-1)} = \frac{3}{1} = 3\]

Vi kan verifisere med et annet punktpar. Linjen ser også ut til å gå gjennom \((1,\, 6)\):

\[a = \frac{6 - 3}{1 - 0} = \frac{3}{1} = 3\]

Stigningstallet forteller oss at for hver gang vi går 1 enhet mot høyre langs \(x\)-aksen, går grafen 3 enheter oppover langs \(y\)-aksen.

Konklusjon: Stigningstallet til grafen er \(a = \dfrac{3}{1} = 3\), fordi \(y\)-verdien øker med 3 for hver økning på 1 i \(x\)-verdien.

Oppgave 6

Oppgave: Bildet viser hvordan Ahmad har løst en likning. Argumenter for at det Ahmad har gjort i den blå rammen er korrekt.

Ahmads utregning (i den blå rammen):
Linje 1: \(3x + 12 = 3\)
Linje 2: \(3x = 3 - 12\)

Resten av utregningen (utenfor rammen):
\(3x = -9\)
\(\dfrac{3x}{3} = \dfrac{-9}{3}\)
\(x = -3\)

I den blå rammen går Ahmad fra linje 1 til linje 2:

\[3x + 12 = 3 \quad \Rightarrow \quad 3x = 3 - 12\]

Ahmad har trukket fra 12 på begge sider av likhetstegnet. Dette er korrekt fordi:

Regel: Vi kan trekke fra (eller legge til) det samme tallet på begge sider av en likning uten at likhetstegnet brytes.

Vi kan vise dette steg for steg:

\[3x + 12 = 3\]

Trekk fra 12 på begge sider:

\[3x + 12 - 12 = 3 - 12\] \[3x = 3 - 12\]

Venstre side: \(3x + 12 - 12 = 3x\), fordi \(12 - 12 = 0\).

Høyre side: \(3 - 12\) (som kan regnes ut til \(-9\)).

Vi kan kontrollere at svaret \(x = -3\) er riktig ved å sette inn i den opprinnelige likningen:

\[3 \cdot (-3) + 12 = -9 + 12 = 3 \quad \checkmark\]

Konklusjon: Det Ahmad har gjort i den blå rammen er korrekt. Han har trukket fra 12 på begge sider av likningen for å isolere leddet med \(x\). Dette er en gyldig algebraisk operasjon som bevarer likheten.

Oppgave 7

Oppgave: I en kampanje lagde partiet Venstre en grafisk framstilling som viste klimautslippene i perioden 2012–2018.

Grafen viser klimautslipp (totale utslipp i millioner tonn) fra 2012 til 2018. Y-aksen starter på 51 000 (ikke 0) og går opp til 55 000. Perioden 2012–2013 er markert med rødt som «Rødgrønn regjering» og perioden 2013–2018 med grønt som «Blågrønn regjering». Overskriften er «Klimautslippene går ned med Venstre i regjering».

Gjør en kritisk vurdering av den grafiske framstillingen, og vurder om den gir et riktig bilde av utviklingen.

Den grafiske framstillingen har flere problematiske trekk:

1. Y-aksen starter ikke på 0

Y-aksen starter på ca. 51 000 i stedet for 0. Dette gjør at nedgangen i utslipp ser mye mer dramatisk ut enn den faktisk er. Nedgangen fra ca. 54 500 til ca. 52 000 er en reduksjon på ca. 2 500, som i virkeligheten er omtrent \(\frac{2500}{54500} \approx 4{,}6\,\%\). Men visuelt ser det ut som utslippene nesten er halvert.

2. Villedende visuell framstilling

Når y-aksen ikke starter på 0, blir forskjellene mellom årene overdrevet. En liten prosentvis nedgang kan se ut som en stor endring. Det fargede arealet under kurven forsterker dette inntrykket ytterligere.

3. Årsakssammenheng

Framstillingen antyder at det er Venstre i regjering som er årsaken til at klimautslippene gikk ned (med overskriften «Klimautslippene går ned med Venstre i regjering»). Men nedgangen startet allerede i 2015, lenge før Venstre gikk inn i regjering i januar 2018. Nedgangen kan skyldes mange andre faktorer, som for eksempel teknologisk utvikling, internasjonale avtaler, endringer i oljepris, osv.

4. Tidsperiodene er ubalanserte

Den rødgrønne perioden vises som bare 2012–2013, mens den blågrønne perioden vises som 2013–2018. Den korte rødgrønne perioden med oppgang gir et skjevt inntrykk sammenlignet med den mye lengre blågrønne perioden.

Konklusjon: Den grafiske framstillingen er villedende. Y-aksen starter ikke på 0, noe som overdriver nedgangen visuelt. Nedgangen i utslipp er reell, men langt mindre dramatisk enn det ser ut som. I tillegg er det misvisende å kreditere Venstre for nedgangen, som startet flere år før de gikk inn i regjering.

Oppgave 8

Oppgave: Bildet viser et blokkbasert dataprogram:

a = 4
b = 5
Gjenta b ganger:
Tegn et linjestykke med lengde a
Snu (360 : b) grader til høyre

a) Forklar hva som skjer når programmet blir kjørt.
b) Tegn figuren og sett riktige mål på figuren din.

a) Forklaring

Programmet setter \(a = 4\) og \(b = 5\). Deretter gjentar det følgende \(b = 5\) ganger:

Tegn et linjestykke med lengde \(a = 4\)
Snu \(\frac{360}{b} = \frac{360}{5} = 72\) grader til høyre

Programmet tegner altså 5 linjestykker, hvert med lengde 4, der det snur 72° til høyre mellom hvert linjestykke. Siden \(5 \times 72° = 360°\), vil figuren lukke seg etter 5 sider.

Resultatet er en regulær femkant (pentagon) der alle sidene er like lange (4 enheter) og alle yttervinklene er 72°.

b) Figurbeskrivelse

Figuren er en regulær femkant med:

Antall sider: 5
Sidelengde: 4 enheter
Yttervinkel: \(72°\) (snuvinkelen)
Innervinkel: \(180° - 72° = 108°\)

Svar:
a) Programmet tegner en regulær femkant med sidelengde 4, ved å tegne 5 linjestykker med lengde 4 og snu 72° mellom hvert linjestykke.
b) Figuren er en regulær femkant der alle sider er 4 enheter lange og alle indre vinkler er 108°.

Oppgave 9

Oppgave: Fire elever diskuterer et mønster. Én sier: «Jeg har funnet ut at \(3^2\) er det samme som \((4 \cdot 2) + 1\)». En annen bekrefter: «Det stemmer for \(5^2\) også. \(5^2\) er det samme som \((6 \cdot 4) + 1\)». En tredje spør: «Interessant! Vil dette alltid stemme?» En fjerde spør: «Vil dette bety at \(5^2\) også kan skrives som \((7 \cdot 3) + 1\)?»

Bruk samtalen ovenfor som utgangspunkt for å vise din kompetanse innen abstraksjon og generalisering.

Undersøke mønsteret

La oss først verifisere eksemplene fra samtalen:

\(3^2 = 9\) og \((4 \cdot 2) + 1 = 8 + 1 = 9\) ✔
\(5^2 = 25\) og \((6 \cdot 4) + 1 = 24 + 1 = 25\) ✔

Vi legger merke til et mønster: tallene som multipliseres er én mer og én mindre enn det opprinnelige tallet:

\(3^2 = (3+1)(3-1) + 1 = 4 \cdot 2 + 1\)
\(5^2 = (5+1)(5-1) + 1 = 6 \cdot 4 + 1\)

Generalisering og bevis

Vi påstår at for et vilkårlig tall \(n\) gjelder:

\[n^2 = (n+1)(n-1) + 1\]

Bevis: Vi utvider (multipliserer ut) høyre side:

\[(n+1)(n-1) + 1 = n^2 - n + n - 1 + 1 = n^2 - 1 + 1 = n^2\]

Dette er den tredje kvadratsetningen: \((n+1)(n-1) = n^2 - 1\), som betyr at \(n^2 = (n+1)(n-1) + 1\).

Sjekk av den fjerde elevens spørsmål

Den fjerde eleven spør: «Vil dette bety at \(5^2\) også kan skrives som \((7 \cdot 3) + 1\)?»

La oss sjekke: \(7 \cdot 3 + 1 = 21 + 1 = 22 \neq 25 = 5^2\).

Dette stemmer ikke. Mønsteret gjelder bare når vi bruker tallet rett over og rett under det opprinnelige tallet (altså \(n+1\) og \(n-1\)), ikke \(n+2\) og \(n-2\).

Kan vi utvide mønsteret?

Hva skjer med \((n+2)(n-2)\)?

\[(n+2)(n-2) = n^2 - 4\]

Altså: \(n^2 = (n+2)(n-2) + 4\).

Sjekk for \(n = 5\): \((7 \cdot 3) + 4 = 21 + 4 = 25 = 5^2\) ✔

Generelt for avstand \(k\):

\[(n+k)(n-k) = n^2 - k^2\] \[n^2 = (n+k)(n-k) + k^2\]

La oss sjekke med flere eksempler:

\(n\)	\(k\)	\((n+k)(n-k) + k^2\)	\(= n^2\)?
3	1	\(4 \cdot 2 + 1 = 9\)	Ja
3	2	\(5 \cdot 1 + 4 = 9\)	Ja
5	1	\(6 \cdot 4 + 1 = 25\)	Ja
5	2	\(7 \cdot 3 + 4 = 25\)	Ja
7	3	\(10 \cdot 4 + 9 = 49\)	Ja

Konklusjon:
Mønsteret \(n^2 = (n+1)(n-1) + 1\) stemmer alltid, og kan bevises algebraisk ved hjelp av tredje kvadratsetning. Mer generelt gjelder \(n^2 = (n+k)(n-k) + k^2\) for alle heltall \(k\). Den fjerde elevens påstand om at \(5^2 = 7 \cdot 3 + 1\) stemmer ikke, men \(5^2 = 7 \cdot 3 + 4\) stemmer (med \(k = 2\)).

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Utvid uttrykket: RegnUt((n+1)*(n-1)) → gir \(n^2 - 1\)
Generelt med avstand \(k\): RegnUt((n+k)*(n-k)) → gir \(n^2 - k^2\)

GeoGebra CAS: RegnUt((n+1)(n-1)) = n²-1, RegnUt((n+k)(n-k)) = n²-k²

Oppgave 10

Oppgave: Lotte og tre venner diskuterer hvilket mobilabonnement Lotte bør velge.

Abonnementsoversikt:

Ingen (0 GB)	Litt (1 GB)	Litt mer (3 GB)	Favoritt (7 GB)	Stor (10 GB)	Størst (25 GB)
99 kr/mnd	139 kr/mnd	239 kr/mnd	289 kr/mnd	339 kr/mnd	439 kr/mnd

Ekstra datapakke: 1 GB: 79 kr, 3 GB: 149 kr, 5 GB: 199 kr, 10 GB: 299 kr.

Lottes dataforbruk: februar: 5,47 GB, mars: 4,10 GB, april: 12,23 GB, mai: 5,21 GB.
Ubrukt data overføres til neste måned. En annen selger tilbyr telefon med 7 GB-abonnement til 599 kr/mnd i 24 måneder.

Bruk informasjonen ovenfor som utgangspunkt til å vise din kompetanse innen modellering og anvendelse.

Spørsmål 1: Hva er Lottes gjennomsnittlige dataforbruk?

\[\text{Gjennomsnitt} = \frac{5{,}47 + 4{,}10 + 12{,}23 + 5{,}21}{4} = \frac{27{,}01}{4} = 6{,}7525 \text{ GB/mnd}\]

Gjennomsnittet er ca. \(6{,}75\) GB per måned.

Spørsmål 2: Hvilket abonnement er billigst for Lottes bruk?

Vi analyserer de mest aktuelle abonnementene over en 4-månedersperiode med Lottes faktiske forbruk. Merk at ubrukt data overføres til neste måned.

Alternativ A: Favoritt-abonnementet (7 GB, 289 kr/mnd)

Vi simulerer måned for måned med overføring av data:

Måned	Tilgjengelig	Forbruk	Overskudd/Underskudd	Ekstra kostnad
Februar	7 GB	5,47 GB	+1,53 GB	0 kr
Mars	7 + 1,53 = 8,53 GB	4,10 GB	+4,43 GB	0 kr
April	7 + 4,43 = 11,43 GB	12,23 GB	-0,80 GB	79 kr (1 GB)
Mai	7 + 0,20 = 7,20 GB	5,21 GB	+1,99 GB	0 kr

Total kostnad over 4 måneder:

\[4 \times 289 + 79 = 1156 + 79 = 1235 \text{ kr}\]

Alternativ B: Stor-abonnementet (10 GB, 339 kr/mnd)

Måned	Tilgjengelig	Forbruk	Overskudd
Februar	10 GB	5,47 GB	+4,53 GB
Mars	10 + 4,53 = 14,53 GB	4,10 GB	+10,43 GB
April	10 + 10,43 = 20,43 GB	12,23 GB	+8,20 GB
Mai	10 + 8,20 = 18,20 GB	5,21 GB	+12,99 GB

Total kostnad over 4 måneder:

\[4 \times 339 = 1356 \text{ kr}\]

Alternativ C: Litt mer-abonnementet (3 GB, 239 kr/mnd) + ekstra datapakker

Måned	Tilgjengelig	Forbruk	Mangler	Ekstra datapakke	Ekstra kostnad
Feb	3 GB	5,47 GB	2,47 GB	3 GB (149 kr)	149 kr
Mars	3 + 0,53 = 3,53 GB	4,10 GB	0,57 GB	1 GB (79 kr)	79 kr
April	3 + 0,43 = 3,43 GB	12,23 GB	8,80 GB	10 GB (299 kr)	299 kr
Mai	3 + 1,20 = 4,20 GB	5,21 GB	1,01 GB	3 GB (149 kr)	149 kr

Total kostnad over 4 måneder:

\[4 \times 239 + 149 + 79 + 299 + 149 = 956 + 676 = 1632 \text{ kr}\]

Alternativ D: Det andre tilbudet (7 GB + telefon, 599 kr/mnd i 24 mnd)

Over 4 måneder: \(4 \times 599 = 2396\) kr. Over 24 måneder: \(24 \times 599 = 14\,376\) kr.

Til sammenligning koster Favoritt-abonnementet over 24 måneder: \(24 \times 289 = 6936\) kr (uten ekstra datapakker). Forskjellen er \(14\,376 - 6936 = 7440\) kr, som er det Lotte implisitt betaler for telefonen.

Sammenligning

Abonnement	Kostnad (4 mnd)	Kostnad per mnd
Favoritt (7 GB) + ekstra	1 235 kr	308,75 kr
Stor (10 GB)	1 356 kr	339 kr
Litt mer (3 GB) + ekstra	1 632 kr	408 kr
Annet tilbud (7 GB + tlf)	2 396 kr	599 kr

Vurdering

Favoritt-abonnementet (7 GB) er det billigste alternativet. Takket være at ubrukt data overføres til neste måned, trenger Lotte bare én ekstra datapakke i april (som hadde uvanlig høyt forbruk). Med et gjennomsnittlig forbruk på ca. 6,75 GB passer 7 GB-abonnementet godt.

Dersom Lotte skal flytte på hybel, kan dataforbruket øke fordi hun kanskje bruker mobildata i stedet for Wi-Fi. I så fall kan 10 GB-abonnementet være et bedre valg for å unngå ekstra kostnader.

Tilbudet med telefon (599 kr/mnd) er det dyreste alternativet. Det lønner seg kun dersom Lotte faktisk trenger en ny telefon og den telefonen ville kostet mer enn ca. 7400 kr å kjøpe separat.

Anbefaling: Favoritt-abonnementet (7 GB, 289 kr/mnd) er det best egnede og billigste alternativet for Lottes nåværende bruk. Det dekker gjennomsnittsforbruket hennes, og overføring av ubrukt data gir en buffer for måneder med høyere forbruk. Dersom forbruket øker (f.eks. ved flytting til hybel), bør hun vurdere Stor-abonnementet (10 GB).

Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no. Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.

Del 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1

Oppgave: To sjokolader og én vannflaske koster 40 kr. Fire sjokolader og tre vannflasker koster 98 kr. Hvor mye koster én sjokolade?

Vi kaller prisen for én sjokolade \(s\) og prisen for én vannflaske \(v\). Da kan vi sette opp to likninger:

\[2s + v = 40 \quad \text{(I)}\] \[4s + 3v = 98 \quad \text{(II)}\]

Fra likning (I) kan vi uttrykke \(v\):

\[v = 40 - 2s\]

Vi setter dette inn i likning (II):

\[4s + 3(40 - 2s) = 98\] \[4s + 120 - 6s = 98\] \[-2s = 98 - 120\] \[-2s = -22\] \[s = 11\]

Vi kan kontrollere ved å finne \(v\):

\[v = 40 - 2 \cdot 11 = 40 - 22 = 18\]

Kontroll med likning (II): \(4 \cdot 11 + 3 \cdot 18 = 44 + 54 = 98\) ✔

Svar: Én sjokolade koster 11 kr.

Oppgave 2

Påstand 1: «Om farten er 40 km/h, er bremselengden omtrent 8 m»

Vi leser av grafen ved \(x = 40\). Kurven ser ut til å ha en verdi på omtrent 8 m ved 40 km/h.

Korrekt

Påstand 2: «For at bremselengden skal være mindre enn 15 m, må farten være mindre enn 55 km/h»

Korrekt

Påstand 3: «Om farten halveres, halveres også bremselengden»

Grafen er ikke lineær – den er en kurve som stiger stadig brattere. Bremselengden er proporsjonal med kvadratet av farten (ikke lineært proporsjonal). For eksempel:

Ved 80 km/h er bremselengden ca. 32 m.
Ved 40 km/h (halvparten) er bremselengden ca. 8 m (en fjerdedel, ikke halvparten).

Når farten halveres, reduseres bremselengden til omtrent en fjerdedel, ikke halvparten.

Ikke korrekt

Påstand 4: «Om farten er over 70 km/h, er bremselengden over 30 m»

Vi leser av grafen ved \(x = 70\). Bremselengden ser ut til å være omtrent 25 m ved 70 km/h, ikke over 30 m. Over 30 m oppnås først ved rundt 80 km/h.

Ikke korrekt

Oppgave 3

Oppgave: Et bestemt rektangel har lengde \(a\) og bredde \(2a\). Hvilken lengde og bredde kan rektanglet ha?

Lengden er \(a\) og bredden er \(2a\). Her kan \(a\) være et hvilket som helst positivt tall. Vi velger for eksempel \(a = 3\):

\[\text{Lengde} = a = 3\] \[\text{Bredde} = 2a = 2 \cdot 3 = 6\]

Vi kan kontrollere at bredden er dobbelt så lang som lengden: \(6 = 2 \cdot 3\) ✔

Merk: Alle svar der bredden er dobbelt så stor som lengden er gyldige. For eksempel: lengde 5 og bredde 10, lengde 1 og bredde 2, osv.

Svar: For eksempel: Lengde = 3, Bredde = 6 (eller et annet par der bredden er dobbelt så stor som lengden).

Oppgave 4

Når vi klipper bort kvadrater med sidelengde \(2{,}5\) cm i hvert hjørne og bretter opp, får vi en eske der:

Høyden = sidelengden til de bortklippede kvadratene = \(2{,}5\) cm
Lengden på bunnen = \(10 - 2 \cdot 2{,}5 = 10 - 5 = 5\) cm
Bredden på bunnen = \(10 - 2 \cdot 2{,}5 = 10 - 5 = 5\) cm

Volumet blir:

\[V = \text{lengde} \times \text{bredde} \times \text{høyde} = 5 \times 5 \times 2{,}5 = 62{,}5 \text{ cm}^3\]

Svar: Volumet til eska er \(62{,}5 \text{ cm}^3\).

Oppgave 5

Vi kan dele opp multiplikasjonen \(68 \cdot 27\) ved å bruke arealmodellen. Vi deler 68 i \(60 + 8\) og 27 i \(20 + 7\):

×	60	8
20	\(60 \cdot 20 = 1200\)	\(8 \cdot 20 = 160\)
7	\(60 \cdot 7 = 420\)	\(8 \cdot 7 = 56\)

De fire delproduktene svarer til arealene av de fire delrektanglene i figuren. Vi summerer:

\[1200 + 160 + 420 + 56 = 1836\]

Konklusjon: Figuren viser at \(68 \cdot 27 = (60 + 8)(20 + 7) = 1200 + 160 + 420 + 56 = 1836\).

Oppgave 6

Den totale billettinntekten finner vi ved å multiplisere antall billetter av hver type med prisen for den typen, og summere:

\[B = 315 \cdot x + 250 \cdot z + 210 \cdot y = 315x + 250z + 210y\]

La oss se på de andre alternativene:

\(B = x + z + y\) gir bare totalt antall billetter, ikke inntekten.
\(B = 775\) er summen av de tre prisene, men tar ikke hensyn til antall billetter solgt.
\(B = x \cdot z \cdot y\) gir produktet av antallene, noe som ikke gir mening for inntekt.

Svar: \(B = 315x + 250z + 210y\)

Oppgave 7

Eksponentiell vekst med 10 % økning per dag betyr at vi multipliserer med vekstfaktoren \(1{,}10\) for hver dag som går.

Etter 1 dag:

\[15\,000 \cdot 1{,}10 = 16\,500\]

Etter 2 dager:

\[16\,500 \cdot 1{,}10 = 18\,150\]

Alternativt kan vi regne direkte:

\[15\,000 \cdot 1{,}10^2 = 15\,000 \cdot 1{,}21 = 18\,150\]

Svar: Etter to dager vil det være 18 150 bakterier i skålen.

Oppgave 8

Vi identifiserer hver funksjon ut fra grafens form:

\(f(x) = 2x + 3\) er en lineær funksjon (rett linje) med stigningstall 2 og konstantledd 3. Denne passer med graf 2 (rett linje, øverst til høyre).
\(g(x) = 1{,}2^x\) er en eksponentialfunksjon som vokser sakte. For store negative \(x\)-verdier er den nær 0, og den stiger mot høyre. Denne passer med graf 3 (nederst til venstre).
\(h(x) = \dfrac{40}{x}\) er en hyperbel med to greiner – én i første kvadrant og én i tredje kvadrant. Denne passer med graf 4 (nederst til høyre).
\(i(x) = x^2 + 7x + 12\) er en andregradsfunksjon (parabel) som åpner oppover. Vi kan faktorisere: \(i(x) = (x + 3)(x + 4)\), som gir nullpunkter i \(x = -3\) og \(x = -4\). Denne passer med graf 1 (øverst til venstre).

Del 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1

Funksjonsuttrykket \(f(x) = 100x + 2500\) er en lineær funksjon. Vi kan tolke leddene slik:

Konstantleddet 2500: Dette er den faste kostnaden for å leie lokalet, uavhengig av antall gjester. Når \(x = 0\), er \(f(0) = 2500\) kr. Dette er altså grunnprisen for leien.
Stigningstallet 100: For hver ekstra gjest (\(x\)) øker kostnaden med 100 kr. Dette kan for eksempel være en pris per person for mat, drikke eller servering.
\(x\): Variabelen \(x\) representerer antall gjester.

Eksempler:

For 10 gjester: \(f(10) = 100 \cdot 10 + 2500 = 1000 + 2500 = 3500\) kr
For 20 gjester: \(f(20) = 100 \cdot 20 + 2500 = 2000 + 2500 = 4500\) kr
For 50 gjester: \(f(50) = 100 \cdot 50 + 2500 = 5000 + 2500 = 7500\) kr

Dersom Hanna har et budsjett på for eksempel 5000 kr, kan vi finne ut hvor mange gjester hun har råd til:

\[100x + 2500 = 5000\] \[100x = 2500\] \[x = 25\]

Oppgave 2

La oss kalle den lange siden av rektangelet for \(l\) og den korte siden for \(b\).

Omkretsen til hvert rektangel er 30 cm:

\[2l + 2b = 30\] \[l + b = 15\]

Fra figuren ser vi at det store kvadratets side er satt sammen av den lange siden og den korte siden av et rektangel. Det store kvadratets sidelengde er altså:

\[\text{Side av stort kvadrat} = l + b = 15 \text{ cm}\]

Omkretsen til det store kvadratet er:

\[O = 4 \cdot 15 = 60 \text{ cm}\]

Konklusjon: Siden sidelengden til det store kvadratet er \(l + b = 15\) cm (halvparten av omkretsen til hvert rektangel), blir omkretsen til det store kvadratet \(4 \cdot 15 = 60\) cm.

Oppgave 3

Vi lister opp alle mulige par av to kort (rekkefølgen spiller ingen rolle). Totalt antall måter å velge 2 kort fra 5 er:

\[\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10\]

Alle mulige par og deres summer:

Par	Sum	Partall?
(1, 2)	3	Nei
(1, 3)	4	Ja
(1, 4)	5	Nei
(1, 5)	6	Ja
(2, 3)	5	Nei
(2, 4)	6	Ja
(2, 5)	7	Nei
(3, 4)	7	Nei
(3, 5)	8	Ja
(4, 5)	9	Nei

Det er 4 par som gir partallssum: (1,3), (1,5), (2,4), (3,5).

Sannsynligheten er:

\[P(\text{partall}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 0{,}4 = 40\,\%\]

Konklusjon: Det er \(\dfrac{4}{10} = 40\,\%\) sjanse for at summen blir et partall, fordi 4 av de 10 mulige parene gir en partallssum.

Oppgave 4

Oppgave: Den eksplisitte formelen for figur \(n\) i et mønster er: \[F_n = n^2 + 2\] Tegn figurer som kan være de tre første i dette mønsteret.

Vi regner ut antall elementer i de tre første figurene:

Figur 1: \(F_1 = 1^2 + 2 = 1 + 2 = 3\)
Figur 2: \(F_2 = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6\)
Figur 3: \(F_3 = 3^2 + 2 = 9 + 2 = 11\)

Vi kan lage figurer der mønsteret består av et kvadrat med \(n \times n\) elementer pluss 2 ekstra elementer. For eksempel:

Mønsteret er tydelig: et \(n \times n\)-kvadrat med to ekstra elementer lagt til under (eller ved siden av). Formelen \(F_n = n^2 + 2\) stemmer for alle figurene.

Svar: De tre første figurene har henholdsvis 3, 6 og 11 elementer. Figurene kan bestå av et \(n \times n\)-kvadrat med 2 ekstra elementer lagt til.

Oppgave 5

Vi leser av to punkter fra grafen:

Punkt 1: \((-1,\, 0)\)
Punkt 2: \((0,\, 3)\)

Stigningstallet beregnes med formelen:

\[a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]

Vi setter inn verdiene:

\[a = \frac{3 - 0}{0 - (-1)} = \frac{3}{1} = 3\]

Vi kan verifisere med et annet punktpar. Linjen ser også ut til å gå gjennom \((1,\, 6)\):

\[a = \frac{6 - 3}{1 - 0} = \frac{3}{1} = 3\]

Stigningstallet forteller oss at for hver gang vi går 1 enhet mot høyre langs \(x\)-aksen, går grafen 3 enheter oppover langs \(y\)-aksen.

Konklusjon: Stigningstallet til grafen er \(a = \dfrac{3}{1} = 3\), fordi \(y\)-verdien øker med 3 for hver økning på 1 i \(x\)-verdien.

Oppgave 6

I den blå rammen går Ahmad fra linje 1 til linje 2:

\[3x + 12 = 3 \quad \Rightarrow \quad 3x = 3 - 12\]

Ahmad har trukket fra 12 på begge sider av likhetstegnet. Dette er korrekt fordi:

Regel: Vi kan trekke fra (eller legge til) det samme tallet på begge sider av en likning uten at likhetstegnet brytes.

Vi kan vise dette steg for steg:

\[3x + 12 = 3\]

Trekk fra 12 på begge sider:

\[3x + 12 - 12 = 3 - 12\] \[3x = 3 - 12\]

Venstre side: \(3x + 12 - 12 = 3x\), fordi \(12 - 12 = 0\).

Høyre side: \(3 - 12\) (som kan regnes ut til \(-9\)).

Vi kan kontrollere at svaret \(x = -3\) er riktig ved å sette inn i den opprinnelige likningen:

\[3 \cdot (-3) + 12 = -9 + 12 = 3 \quad \checkmark\]

Oppgave 7

Den grafiske framstillingen har flere problematiske trekk:

1. Y-aksen starter ikke på 0

2. Villedende visuell framstilling

3. Årsakssammenheng

4. Tidsperiodene er ubalanserte

Oppgave 8

a) Forklaring

Programmet setter \(a = 4\) og \(b = 5\). Deretter gjentar det følgende \(b = 5\) ganger:

Tegn et linjestykke med lengde \(a = 4\)
Snu \(\frac{360}{b} = \frac{360}{5} = 72\) grader til høyre

Programmet tegner altså 5 linjestykker, hvert med lengde 4, der det snur 72° til høyre mellom hvert linjestykke. Siden \(5 \times 72° = 360°\), vil figuren lukke seg etter 5 sider.

Resultatet er en regulær femkant (pentagon) der alle sidene er like lange (4 enheter) og alle yttervinklene er 72°.

b) Figurbeskrivelse

Figuren er en regulær femkant med:

Antall sider: 5
Sidelengde: 4 enheter
Yttervinkel: \(72°\) (snuvinkelen)
Innervinkel: \(180° - 72° = 108°\)

Oppgave 9

Undersøke mønsteret

La oss først verifisere eksemplene fra samtalen:

\(3^2 = 9\) og \((4 \cdot 2) + 1 = 8 + 1 = 9\) ✔
\(5^2 = 25\) og \((6 \cdot 4) + 1 = 24 + 1 = 25\) ✔

Vi legger merke til et mønster: tallene som multipliseres er én mer og én mindre enn det opprinnelige tallet:

\(3^2 = (3+1)(3-1) + 1 = 4 \cdot 2 + 1\)
\(5^2 = (5+1)(5-1) + 1 = 6 \cdot 4 + 1\)

Generalisering og bevis

Vi påstår at for et vilkårlig tall \(n\) gjelder:

\[n^2 = (n+1)(n-1) + 1\]

Bevis: Vi utvider (multipliserer ut) høyre side:

\[(n+1)(n-1) + 1 = n^2 - n + n - 1 + 1 = n^2 - 1 + 1 = n^2\]

Dette er den tredje kvadratsetningen: \((n+1)(n-1) = n^2 - 1\), som betyr at \(n^2 = (n+1)(n-1) + 1\).

Sjekk av den fjerde elevens spørsmål

Den fjerde eleven spør: «Vil dette bety at \(5^2\) også kan skrives som \((7 \cdot 3) + 1\)?»

La oss sjekke: \(7 \cdot 3 + 1 = 21 + 1 = 22 \neq 25 = 5^2\).

Dette stemmer ikke. Mønsteret gjelder bare når vi bruker tallet rett over og rett under det opprinnelige tallet (altså \(n+1\) og \(n-1\)), ikke \(n+2\) og \(n-2\).

Kan vi utvide mønsteret?

Hva skjer med \((n+2)(n-2)\)?

\[(n+2)(n-2) = n^2 - 4\]

Altså: \(n^2 = (n+2)(n-2) + 4\).

Sjekk for \(n = 5\): \((7 \cdot 3) + 4 = 21 + 4 = 25 = 5^2\) ✔

Generelt for avstand \(k\):

\[(n+k)(n-k) = n^2 - k^2\] \[n^2 = (n+k)(n-k) + k^2\]

La oss sjekke med flere eksempler:

\(n\)	\(k\)	\((n+k)(n-k) + k^2\)	\(= n^2\)?
3	1	\(4 \cdot 2 + 1 = 9\)	Ja
3	2	\(5 \cdot 1 + 4 = 9\)	Ja
5	1	\(6 \cdot 4 + 1 = 25\)	Ja
5	2	\(7 \cdot 3 + 4 = 25\)	Ja
7	3	\(10 \cdot 4 + 9 = 49\)	Ja

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Utvid uttrykket: RegnUt((n+1)*(n-1)) → gir \(n^2 - 1\)
Generelt med avstand \(k\): RegnUt((n+k)*(n-k)) → gir \(n^2 - k^2\)

Oppgave 10

Oppgave: Lotte og tre venner diskuterer hvilket mobilabonnement Lotte bør velge.

Abonnementsoversikt:

Ingen (0 GB)	Litt (1 GB)	Litt mer (3 GB)	Favoritt (7 GB)	Stor (10 GB)	Størst (25 GB)
99 kr/mnd	139 kr/mnd	239 kr/mnd	289 kr/mnd	339 kr/mnd	439 kr/mnd

Spørsmål 1: Hva er Lottes gjennomsnittlige dataforbruk?

\[\text{Gjennomsnitt} = \frac{5{,}47 + 4{,}10 + 12{,}23 + 5{,}21}{4} = \frac{27{,}01}{4} = 6{,}7525 \text{ GB/mnd}\]

Gjennomsnittet er ca. \(6{,}75\) GB per måned.

Spørsmål 2: Hvilket abonnement er billigst for Lottes bruk?

Vi analyserer de mest aktuelle abonnementene over en 4-månedersperiode med Lottes faktiske forbruk. Merk at ubrukt data overføres til neste måned.

Alternativ A: Favoritt-abonnementet (7 GB, 289 kr/mnd)

Vi simulerer måned for måned med overføring av data:

Måned	Tilgjengelig	Forbruk	Overskudd/Underskudd	Ekstra kostnad
Februar	7 GB	5,47 GB	+1,53 GB	0 kr
Mars	7 + 1,53 = 8,53 GB	4,10 GB	+4,43 GB	0 kr
April	7 + 4,43 = 11,43 GB	12,23 GB	-0,80 GB	79 kr (1 GB)
Mai	7 + 0,20 = 7,20 GB	5,21 GB	+1,99 GB	0 kr

Total kostnad over 4 måneder:

\[4 \times 289 + 79 = 1156 + 79 = 1235 \text{ kr}\]

Alternativ B: Stor-abonnementet (10 GB, 339 kr/mnd)

Måned	Tilgjengelig	Forbruk	Overskudd
Februar	10 GB	5,47 GB	+4,53 GB
Mars	10 + 4,53 = 14,53 GB	4,10 GB	+10,43 GB
April	10 + 10,43 = 20,43 GB	12,23 GB	+8,20 GB
Mai	10 + 8,20 = 18,20 GB	5,21 GB	+12,99 GB

Total kostnad over 4 måneder:

\[4 \times 339 = 1356 \text{ kr}\]

Alternativ C: Litt mer-abonnementet (3 GB, 239 kr/mnd) + ekstra datapakker

Måned	Tilgjengelig	Forbruk	Mangler	Ekstra datapakke	Ekstra kostnad
Feb	3 GB	5,47 GB	2,47 GB	3 GB (149 kr)	149 kr
Mars	3 + 0,53 = 3,53 GB	4,10 GB	0,57 GB	1 GB (79 kr)	79 kr
April	3 + 0,43 = 3,43 GB	12,23 GB	8,80 GB	10 GB (299 kr)	299 kr
Mai	3 + 1,20 = 4,20 GB	5,21 GB	1,01 GB	3 GB (149 kr)	149 kr

Total kostnad over 4 måneder:

\[4 \times 239 + 149 + 79 + 299 + 149 = 956 + 676 = 1632 \text{ kr}\]

Alternativ D: Det andre tilbudet (7 GB + telefon, 599 kr/mnd i 24 mnd)

Over 4 måneder: \(4 \times 599 = 2396\) kr. Over 24 måneder: \(24 \times 599 = 14\,376\) kr.

Sammenligning

Abonnement	Kostnad (4 mnd)	Kostnad per mnd
Favoritt (7 GB) + ekstra	1 235 kr	308,75 kr
Stor (10 GB)	1 356 kr	339 kr
Litt mer (3 GB) + ekstra	1 632 kr	408 kr
Annet tilbud (7 GB + tlf)	2 396 kr	599 kr

Vurdering

Dersom Lotte skal flytte på hybel, kan dataforbruket øke fordi hun kanskje bruker mobildata i stedet for Wi-Fi. I så fall kan 10 GB-abonnementet være et bedre valg for å unngå ekstra kostnader.

Tilbudet med telefon (599 kr/mnd) er det dyreste alternativet. Det lønner seg kun dersom Lotte faktisk trenger en ny telefon og den telefonen ville kostet mer enn ca. 7400 kr å kjøpe separat.

Løsningsforslag Matematikk 10. klasseVår 2022

Del 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1

Oppgave 2

Påstand 1: «Om farten er 40 km/h, er bremselengden omtrent 8 m»

Påstand 2: «For at bremselengden skal være mindre enn 15 m, må farten være mindre enn 55 km/h»

Påstand 3: «Om farten halveres, halveres også bremselengden»

Påstand 4: «Om farten er over 70 km/h, er bremselengden over 30 m»

Oppgave 3

Oppgave 4

Oppgave 5

Oppgave 6

Oppgave 7

Oppgave 8

Del 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4

Oppgave 5

Oppgave 6

Oppgave 7

1. Y-aksen starter ikke på 0

2. Villedende visuell framstilling

3. Årsakssammenheng

4. Tidsperiodene er ubalanserte

Oppgave 8

a) Forklaring

b) Figurbeskrivelse

Oppgave 9

Undersøke mønsteret

Generalisering og bevis

Sjekk av den fjerde elevens spørsmål

Kan vi utvide mønsteret?

Oppgave 10

Spørsmål 1: Hva er Lottes gjennomsnittlige dataforbruk?

Spørsmål 2: Hvilket abonnement er billigst for Lottes bruk?

Alternativ A: Favoritt-abonnementet (7 GB, 289 kr/mnd)

Alternativ B: Stor-abonnementet (10 GB, 339 kr/mnd)

Alternativ C: Litt mer-abonnementet (3 GB, 239 kr/mnd) + ekstra datapakker

Alternativ D: Det andre tilbudet (7 GB + telefon, 599 kr/mnd i 24 mnd)

Sammenligning

Vurdering

Løsningsforslag Matematikk 10. klasseVår 2022

Del 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1

Oppgave 2

Påstand 1: «Om farten er 40 km/h, er bremselengden omtrent 8 m»

Påstand 2: «For at bremselengden skal være mindre enn 15 m, må farten være mindre enn 55 km/h»

Påstand 3: «Om farten halveres, halveres også bremselengden»

Påstand 4: «Om farten er over 70 km/h, er bremselengden over 30 m»

Oppgave 3

Oppgave 4

Oppgave 5

Oppgave 6

Oppgave 7

Oppgave 8

Del 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4

Oppgave 5

Oppgave 6

Oppgave 7

1. Y-aksen starter ikke på 0

2. Villedende visuell framstilling

3. Årsakssammenheng

4. Tidsperiodene er ubalanserte

Oppgave 8

a) Forklaring

b) Figurbeskrivelse

Oppgave 9

Undersøke mønsteret

Generalisering og bevis

Sjekk av den fjerde elevens spørsmål

Kan vi utvide mønsteret?

Oppgave 10

Spørsmål 1: Hva er Lottes gjennomsnittlige dataforbruk?

Spørsmål 2: Hvilket abonnement er billigst for Lottes bruk?