Matematikk R2

Studieguide

God oversikt over pensum med forklaringer, formler, vanlige feil og eksamenstips.

Introduksjon

Matematikk R2 er det mest avanserte matematikkfaget på VG3 (LK20-læreplan MAT03-02, fagkode REA3058). Faget bygger på R1 og gir en solid forberedelse til universitets- og høyskolematematikk innen naturvitenskap, teknologi og økonomi.

R2 har 12 LK20-kompetansemål som dekker: rekker (geometriske, aritmetiske, konvergens), rekursive sammenhenger med programmering, integral som grenseverdi (Riemann-summer), analysens fundamentalteorem, numerisk integrasjon, modellering med reelle datasett, derivasjon og integrasjon i analyse (omdreiningslegemer), parameterframstillinger til kurver, vektorer i rommet, trigonometri med radianer, samt matematiske bevis (induksjon, deduksjon).

Oversikt over eksamen (totalt 5 timer)

Eksamenstrukturen ble endret i 2025:

Eksamener fra V25 og senere: Del 1 = 3 timer (uten hjelpemidler), Del 2 = 2 timer (med alle hjelpemidler bortsett fra åpent internett og AI). Del 1 har typisk 7–8 oppgaver.
Eksamener t.o.m. H24: Del 1 = 2 timer, Del 2 = 3 timer. Tidligere format.

Du må kunne formler, definisjoner og bevismetoder utenat for Del 1. Del 2 krever strategisk bruk av CAS (GeoGebra/CAS-kalkulator) og evne til å kombinere flere temaer.

Faste oppgavemønstre (basert på 6 eksamener 2023–2025)

Rekker: aritmetiske + geometriske (konvergens, sprett-ball, annuitet) — 6/6 eksamener
Programmering: while/for-løkke for rekkesum eller numerisk integrasjon (Riemann-sum, trapesmetode) — 6/6
Vektorer i rommet: trekantareal, plan-linje-skjæring, kule og tangentplan — 6/6
Trigonometri: amplitude/periode, eksakte verdier, modellering — 6/6
Integrasjon: substitusjon, delvis, delbrøk, omdreiningslegemer — 6/6
Modellering: reelle datasett (sensor, kjemikalier, streamingdata) — 6/6
Bevis: induksjonsbevis (sumformler, ulikheter, kubikktall) — 5/6
Parameterkurver: vektorfunksjoner, fart/akselerasjon, kollisjon — 6/6

Algebra og rekker

Eksamensrelevant

Aritmetiske og geometriske rekker, konvergens av uendelige rekker, bevis ved induksjon, binomialteoremet, Pascals trekant og faktorisering av polynomer.

Aritmetiske rekker

En aritmetisk rekke har en konstant differanse $d$ mellom påfølgende ledd.

Aritmetisk rekke:

$n$ -te ledd: $a_n = a_1 + (n-1)d$

Sum av $n$ ledd: $\displaystyle S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$

Eksempel: Finn summen av de 20 første leddene i $3, 7, 11, 15, \ldots$ .

$a_1 = 3$ , $d = 4$ , $a_{20} = 3 + 19 \cdot 4 = 79$ . $\displaystyle S_{20} = \frac{20}{2}(3 + 79) = 820$ .

Geometriske rekker

En geometrisk rekke har en konstant kvotient $k$ mellom påfølgende ledd.

Geometrisk rekke:

$n$ -te ledd: $a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$

Sum av $n$ ledd: $\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}$ for $k \neq 1$

Uendelig sum (konvergent): $\displaystyle S = \frac{a_1}{1 - k}$ for $|k| < 1$

Konvergenskriterium: En uendelig geometrisk rekke konvergerer hvis og bare hvis $|k| < 1$ . Dersom $|k| \geq 1$, divergerer rekken.

Eksempel: $8 + 4 + 2 + 1 + \ldots$ har $k = 1/2$ . $\displaystyle S = \frac{8}{1 - 1/2} = 16$ .

Den harmoniske rekken

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots$ divergerer, selv om $a_n \to 0$ . Dette viser at $a_n \to 0$ er nødvendig, men ikke tilstrekkelig for konvergens.

Bevis ved induksjon

Matematisk induksjon er en bevismetode for å vise at en påstand $P(n)$ gjelder for alle naturlige tall $n \geq n_0$ .

Induksjonsbevis — to steg:

1. Basissteget: Vis at $P(n_0)$ er sann.

2. Induksjonssteget: Anta at $P(k)$ er sann (induksjonshypotesen, IH). Vis at $P(k+1)$ følger.

Eksempel: Vis at $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ .

Basis ( $n = 1$ ): $\displaystyle 1 = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$ ✓

Induksjonssteget: Anta $\displaystyle \sum_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}$ . Legg til $(k+1)$ :

$\displaystyle \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$ ✓

Binomialteoremet

Binomialteoremet:

$\displaystyle (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

der $\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Pascals regel: $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ . Hvert tall i Pascals trekant er summen av de to tallene rett over.

Nyttige identiteter:

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$ (sett $a = b = 1$ )
$\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ og $\binom{n}{1} = n$

Faktorisering av polynomer

Faktorsettningen: Dersom $p(a) = 0$ , er $(x-a)$ en faktor i $p(x)$ .

Sum/differanse av kuber:

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

Nøkkelformler

• $a_n = a_1 + (n-1)d$ (aritmetisk)
• $\displaystyle S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ (aritmetisk sum)
• $a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$ (geometrisk)
• $\displaystyle S = \frac{a_1}{1-k}$ for $|k| < 1$ (uendelig geom.)
• $\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
• $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$

Vanlige feil

⚠️Forveksler nødvendig og tilstrekkelig for konvergens: $a_n \to 0$ er nødvendig, men IKKE tilstrekkelig (harmonisk rekke!).
⚠️Glemmer å sjekke $|k| < 1$ før man bruker formelen $\displaystyle S = \frac{a_1}{1-k}$ .
⚠️I induksjonsbevis: glemmer å bruke induksjonshypotesen i steget. Det er ikke nok å bare sjekke $P(k+1)$ direkte.
⚠️Regner $(a+b)^n = a^n + b^n$ — dette er feil! Bruk binomialteoremet.

Eksamenstips

💡Induksjonsbevis kommer nesten alltid på Del 1. Skriv tydelig hva som er basissteget, hva som er IH, og vis klart overgangen $P(k) \Rightarrow P(k+1)$ .
💡Binomialteoremet: Øv på å finne et bestemt ledd (f.eks. koeffisienten foran $x^4$ ). Bruk formelen $T_{k+1} = \binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ .
💡Konvergens av uendelige rekker: Sjekk alltid om $|k| < 1$ for geometriske rekker. For andre rekker, bruk sammenligning med $p$ -rekken.

Laster...

Introduksjon

Oversikt over eksamen (totalt 5 timer)

Eksamenstrukturen ble endret i 2025:

Eksamener fra V25 og senere: Del 1 = 3 timer (uten hjelpemidler), Del 2 = 2 timer (med alle hjelpemidler bortsett fra åpent internett og AI). Del 1 har typisk 7–8 oppgaver.
Eksamener t.o.m. H24: Del 1 = 2 timer, Del 2 = 3 timer. Tidligere format.

Du må kunne formler, definisjoner og bevismetoder utenat for Del 1. Del 2 krever strategisk bruk av CAS (GeoGebra/CAS-kalkulator) og evne til å kombinere flere temaer.

Faste oppgavemønstre (basert på 6 eksamener 2023–2025)

Rekker: aritmetiske + geometriske (konvergens, sprett-ball, annuitet) — 6/6 eksamener
Programmering: while/for-løkke for rekkesum eller numerisk integrasjon (Riemann-sum, trapesmetode) — 6/6
Vektorer i rommet: trekantareal, plan-linje-skjæring, kule og tangentplan — 6/6
Trigonometri: amplitude/periode, eksakte verdier, modellering — 6/6
Integrasjon: substitusjon, delvis, delbrøk, omdreiningslegemer — 6/6
Modellering: reelle datasett (sensor, kjemikalier, streamingdata) — 6/6
Bevis: induksjonsbevis (sumformler, ulikheter, kubikktall) — 5/6
Parameterkurver: vektorfunksjoner, fart/akselerasjon, kollisjon — 6/6