Matematikk S1

Studieguide

Komplett gjennomgang av pensum med forklaringer, formler, vanlige feil og eksamenstips.

Introduksjon

Matematikk S1 er det samfunnsfaglige matematikkfaget på VG2. Faget bygger videre på 1T/1P og gir deg verktøy for å forstå og analysere økonomiske modeller, funksjoner og sannsynlighet. S1 er særlig relevant for studenter som sikter mot økonomi, samfunnsvitenskap eller ledelse på høyskole/universitet.

Denne studieguiden dekker alle hovedtemaene i S1 etter LK20-læreplanen: algebra (med logaritmer), funksjoner, derivasjon, økonomi og sannsynlighet. Hvert tema kobles til praktiske økonomiske anvendelser der det er naturlig.

Oversikt over eksamen

Eksamen i S1 har to deler:

Del 1 (2 timer): Uten hjelpemidler. Du må kunne derivasjonsregler, logaritmeregler, sannsynlighetsformler og grunnleggende økonomimodeller utenat.
Del 2 (3 timer): Med alle hjelpemidler (CAS, formelsamling, lærebok). Her forventes det at du kan modellere og løse sammensatte problemer, gjerne med økonomisk kontekst.

Typisk fordeling: Algebra/logaritmer (~20%), Funksjoner (~20%), Derivasjon (~20%), Økonomi (~20%), Sannsynlighet (~20%). Økonomiske anvendelser dukker opp på tvers av alle temaer.

Algebra

Potensregler, logaritmer, eksponentiallikninger, prosentregning, vekstfaktorer og likningssystemer — fundamentet for all videre matematikk i S1.

Potensregler

Potensreglene er grunnmuren i S1. De brukes overalt — fra forenkling av uttrykk til løsning av eksponentiallikninger og økonomiske modeller.

Potensregler:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ — Produkt av potenser

$\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ — Kvotient av potenser

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ — Potens av potens

$(ab)^n = a^n b^n$ — Potens av produkt

$a^0 = 1$ for $a \neq 0$

$\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ — Negativ eksponent

$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$ — Rasjonal eksponent

Logaritmer

Logaritmer er den inverse operasjonen til eksponentiering. Hvis $a^c = b$ , da er $\log_a b = c$ . I S1 brukes logaritmer til å løse eksponentiallikninger — spesielt i økonomiske modeller (doblingstid, halveringstid).

Logaritmeregler:

$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ — Produktregelen

$\displaystyle \log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ — Kvotientregelen

$\log_a x^n = n \cdot \log_a x$ — Potensregelen

$\log_a a = 1$ og $\log_a 1 = 0$

$\displaystyle \log_a b = \frac{\lg b}{\lg a}$ — Bytte av grunntall

Viktige logaritmer:

$\lg x = \log_{10} x$ — Tierlogaritmen (vanligst i S1)
$\ln x = \log_e x$ — Den naturlige logaritmen (brukes i derivasjon)

Eksempel — økonomisk anvendelse: En investering dobler seg med $5\%$ årlig rente. Finn doblingstiden.

$\displaystyle 1{,}05^t = 2 \Rightarrow t \cdot \lg 1{,}05 = \lg 2 \Rightarrow t = \frac{\lg 2}{\lg 1{,}05} \approx 14{,}2$ år.

Eksponentialfunksjoner

$f(x) = a \cdot b^x$ der $a$ er startverdien og $b$ er vekstfaktoren.

$b > 1$ : eksponentiell vekst
$0 < b < 1$ : eksponentiell nedgang

Vekstfaktoren henger sammen med prosentvis endring: $\displaystyle b = 1 + \frac{p}{100}$ .

Prosentregning og vekstfaktorer

Gjentatt prosentvis endring modelleres med eksponentialfunksjoner:

$N = N_0 \cdot b^n$ der $N_0$ er startverdien, $b$ er vekstfaktoren, og $n$ er antall perioder.

Økning $p\%$ : $\displaystyle b = 1 + \frac{p}{100}$

Nedgang $p\%$ : $\displaystyle b = 1 - \frac{p}{100}$

Likningssystemer

I S1 løser vi lineære likningssystemer med innsettingsmetoden eller addisjonsmetoden. Dette brukes bl.a. for å finne markedslikevekt (tilbud = etterspørsel).

Eksempel: Etterspørsel: $E = 200 - 3p$ . Tilbud: $T = 50 + 2p$ . Likevekt: $200 - 3p = 50 + 2p \Rightarrow 5p = 150 \Rightarrow p = 30$ .

Nøkkelformler

• $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
• $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
• $\log_a x^n = n \cdot \log_a x$
• $\displaystyle \log_a b = \frac{\lg b}{\lg a}$ (bytte av grunntall)
•Vekstfaktor: $\displaystyle b = 1 + \frac{p}{100}$
•Doblingstid: $\displaystyle t = \frac{\lg 2}{\lg b}$

Vanlige feil

⚠️Bruker potensregler feil ved addisjon: $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ .
⚠️Forveksler $\lg(a + b)$ med $\lg a + \lg b$ . Logaritmereglene gjelder kun for produkt, kvotient og potens.
⚠️Glemmer å sjekke definisjonsmengden ved logaritmeligninger — argumentet må alltid være positivt.
⚠️Blander prosentpoeng og prosentvis endring: en økning fra $20\%$ til $25\%$ er $5$ prosentpoeng, men $25\%$ økning.

Eksamenstips

💡Logaritmereglene og potensreglene kommer alltid på Del 1 — lær dem utenat og øv på rask forenkling.
💡Vis alltid mellomregning: skriv opp hvilken regel du bruker (f.eks. "produktregelen for logaritmer").
💡Bruk doblingstidsformelen $\displaystyle t = \frac{\lg 2}{\lg b}$ for rask løsning av vekstoppgaver.
💡Sjekk svaret: sett løsningen tilbake i den opprinnelige likningen.

Laster...

Introduksjon

Oversikt over eksamen

Eksamen i S1 har to deler:

Del 1 (2 timer): Uten hjelpemidler. Du må kunne derivasjonsregler, logaritmeregler, sannsynlighetsformler og grunnleggende økonomimodeller utenat.
Del 2 (3 timer): Med alle hjelpemidler (CAS, formelsamling, lærebok). Her forventes det at du kan modellere og løse sammensatte problemer, gjerne med økonomisk kontekst.

Typisk fordeling: Algebra/logaritmer (~20%), Funksjoner (~20%), Derivasjon (~20%), Økonomi (~20%), Sannsynlighet (~20%). Økonomiske anvendelser dukker opp på tvers av alle temaer.