Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no.
Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.
Del 1
Oppgave 1 – Flervalgsoppgaver
Oppgave
Svar
a
C
b
C
c
D
d
D
e
B
f
C
g
A
h
C
i
A
j
D
k
B
l
B
m
A
n
D
o
B
p
B
q
C
r
D
s
D
t
D
a) Relativ usikkerhet i \(g\)
Forsøk med to gjenstander med masse \(m\) og \(M\). Relativ usikkerhet i \(r\) er 1 %, og i \(v\) er 3 %. Uttrykket er \(g = \dfrac{mv^2}{Mr}\). Hva er den relative usikkerheten i \(g\)?
Relativ usikkerhet i et produkt/kvotient er summen av de relative usikkerhetene, der eksponenter teller som multiplikator. Massene \(m\) og \(M\) forutsettes å ha neglisjerbar usikkerhet. Grunnen til at eksponenten multipliseres inn, er at en variabel i andre potens forsterker en liten prosentvis endring dobbelt. Hvis \(v\) endres med 3 %, endres \(v^2\) med omtrent \(2 \times 3\,\% = 6\,\%\), på samme måte som den deriverte av \(v^2\) gir en faktor 2.
Vanlig feil: Mange velger D (4 %) fordi de bare adderer usikkerhetene direkte (\(1\,\% + 3\,\% = 4\,\%\)) uten å ta hensyn til eksponenten. Dette er feil fordi \(v\) opptrer i andre potens i uttrykket, og da må den relative usikkerheten i \(v\) multipliseres med 2 før man adderer.
b) Kule mellom to vegger med snorer
Kule med masse \(m\) henger mellom to vertikale vegger. Snor 1 danner en vinkel med veggen, snor 2 er horisontal. Sammenlign snorkreftene \(S_1\) og \(S_2\).
Snor 2 er horisontal og gir kun horisontal kraft. Snor 1 har vinkel med veggen og må gi både en vertikal komponent (bærer tyngden \(mg\)) og en horisontal komponent (balanserer \(S_2\)).
Vertikalt likevekt (vinkelen \(\theta\) er mellom snor 1 og veggen):
\[ S_1 \cos\theta = mg \]
Horisontalt likevekt:
\[ S_2 = S_1 \sin\theta \]
Siden \(S_1\) har en komponent i hver retning, og \(S_2\) bare er den horisontale komponenten:
Vanlig feil: Mange velger at \(S_1 = S_2\) fordi de tenker at snorene «deler» kreftene likt. Dette er feil fordi snor 1 må bære hele tyngden \(mg\) i sin vertikale komponent, i tillegg til å ha en horisontal komponent som balanserer \(S_2\). Dermed må \(S_1\) nødvendigvis være større enn både \(S_2\) og \(mg\).
c) Golfball – horisontalt kast
En golfball slås horisontalt fra en høyde \(h = 5{,}0\) m og treffer et hull 20 m unna. \(g = 10\) m/s\(^2\). Finn startfarten \(v_0\).
Falltid fra høyde \(h\):
\[ h = \frac{1}{2}gt^2 \quad \Rightarrow \quad t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 5{,}0}{10}} = 1{,}0 \text{ s} \]
Horisontal bevegelse:
\[ x = v_0 \cdot t \quad \Rightarrow \quad v_0 = \frac{x}{t} = \frac{20}{1{,}0} = 20 \text{ m/s} \]
Svar: D – 20 m/s
Vanlig feil: Mange velger C (10 m/s) fordi de bruker feil formel for falltid, for eksempel \(t = \sqrt{h/g}\) i stedet for \(t = \sqrt{2h/g}\). Dette er feil fordi den korrekte kinematikkformelen for fritt fall fra ro er \(h = \frac{1}{2}gt^2\), der faktoren \(\frac{1}{2}\) ikke kan utelates.
d) Kloss i vertikal halvsirkel
En kloss med masse \(m\) slippes fra kanten av en vertikal halvsirkel med radius \(r\). Hva er normalkraften i det laveste punktet?
Energibevaring fra øverst til nederst (faller høyde \(r\)):
Vanlig feil: Mange velger \(N = 2mg\) fordi de glemmer å ta med tyngdekraften i kraftlikevekten. De setter \(N = mv^2/r = 2mg\), men dette er feil fordi normalkraften og tyngdekraften virker i motsatte retninger i det laveste punktet. Den riktige ligningen er \(N - mg = mv^2/r\), altså \(N = mg + 2mg = 3mg\).
e) To astronauter i gravitasjonsfelt
Astronaut A er på jordoverflata. Astronaut B er i en romstasjon 400 km over jorda. Påstand 1: Begge er i et gravitasjonsfelt. Påstand 2: Gravitasjonskraften på A er like stor som på B.
Påstand 1 er riktig: Gravitasjonsfeltet strekker seg langt ut i rommet. Romstasjonen (ca. 400 km over jorda) er absolutt i jordens gravitasjonsfelt. Tyngdeakselerasjonen der oppe er ca. \(8{,}7\) m/s\(^2\).
Påstand 2 er feil: Gravitasjonskraften avtar med avstanden: \(F = \gamma\dfrac{mM}{r^2}\). Astronaut B er lenger fra jordas sentrum enn A, så gravitasjonskraften på B er noe mindre enn på A.
Svar: B – Bare påstand 1 er riktig
Vanlig feil: Mange velger D (begge påstandene er riktige) fordi de tenker at astronautene har omtrent lik masse og dermed lik gravitasjonskraft. Dette er feil fordi gravitasjonskraften avhenger av avstanden til jordas sentrum via \(F = \gamma mM/r^2\). Selv om forskjellen bare er ca. 400 km, gir det merkbart lavere kraft på astronaut B (ca. 88 % av kraften ved overflaten).
f) Programmering – gjenstand faller mot jorda
En gjenstand slippes fra ro i avstand \(r\) fra jordas sentrum. Programmet beregner tiden til gjenstanden treffer jordoverflata. Hva skal stå på linje 12: \(r = \)?
I programmet er \(a = \gamma M/r^2\) (positiv, rettet mot jorda), og \(v = v + a \cdot dt\) (farten øker mot jorda). Posisjonen \(r\) (avstand fra jordas sentrum) skal minke:
\[ r = r - v \cdot dt \]
Her er \(v > 0\) (fart mot jorda), og vi trekker fra for å redusere avstanden.
Svar: C – r = r - v*dt
Vanlig feil: Mange velger r = r + v*dt fordi de tenker at farten \(v\) allerede har innebygd fortegn som peker mot jorda. Dette er feil fordi programmet definerer \(v\) som en positiv størrelse (fart, ikke hastighet), og \(r\) er avstanden fra jordas sentrum som skal minke. Derfor må vi eksplisitt trekke fra \(v \cdot dt\).
g) To satellitter i bane
To satellitter A (nærmest jorda) og B i sirkelbane rundt jorda. Påstand 1: De har samme banefart. Påstand 2: De har samme rundetid.
Påstand 1 er feil: Banefarten er \(v = \sqrt{\gamma M/r}\). Satellitt A er nærmere jorda (\(r_A < r_B\)), så \(v_A > v_B\).
Påstand 2 er feil: Rundetiden er \(T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{\gamma M}}\). Siden \(r_A < r_B\), er \(T_A < T_B\).
Svar: A – Ingen av påstandene er riktige
Vanlig feil: Mange velger at påstand 2 er riktig (samme rundetid) fordi de forveksler dette med at alle objekter i fritt fall har lik akselerasjon. Dette er feil fordi satellitter i bane har ulik rundetid avhengig av baneradius – Keplers tredje lov sier at \(T^2 \propto r^3\), slik at satellitter lenger fra jorda bruker lengre tid per omløp.
h) To partikler med ladning – programmering
To partikler med ladning \(e\) i avstand \(r = 1{,}0\) mm. Et program beregner avstanden etter 0,10 s. Programmet bruker \(a = ke^2/(mr^2)\), og \(r\) øker. Når kan programmet brukes?
I programmet er kraften beregnet som \(F = ke^2/r^2\). Siden \(e^2\) alltid er positiv, er kraften alltid frastøtende uansett fortegn på ladningene. Akselerasjonen er positiv, noe som betyr at partiklene beveger seg fra hverandre (\(r\) øker).
Frastøtning skjer når ladningene har samme fortegn (begge positive eller begge negative).
Svar: C – Hvis ladningene har samme fortegn
Vanlig feil: Mange velger at programmet fungerer uansett ladningens fortegn fordi \(e^2\) alltid er positiv. Dette er feil fordi nettopp det at \(e^2\) alltid er positiv betyr at programmet alltid beregner en frastøtende kraft. Dersom ladningene har ulikt fortegn, er den virkelige kraften tiltrekkende, og programmet gir galt resultat.
i) Fire ladninger i hjørnene av et kvadrat
Fire partikler med like stor absoluttverdi av ladning er plassert i hjørnene av et kvadrat, med ulike fortegnkombinasjoner. I hvilket alternativ er det elektriske feltet størst i sentrum?
Det elektriske feltet i sentrum avhenger av hvordan bidragene fra de fire ladningene adderes.
Alternativ A: To positive ladninger på venstre side, to negative på høyre side. Alle fire feltbidrag i sentrum peker fra \(+\) mot \(-\) (mot høyre). De fire bidragene adderes konstruktivt i samme retning. Dette gir maksimalt felt.
Alternativ C: Alle ladninger like (f.eks. alle \(+\)) — ved symmetri kansellerer feltene fullstendig i sentrum. \(E = 0\).
Alternativene B og D har delvis kansellering og gir svakere felt enn A.
Svar: A – Alle feltbidragene adderes i samme retning
Vanlig feil: Mange velger C (alle like ladninger) fordi de tenker at like ladninger gir sterkt felt. Dette er feil fordi symmetrien gjør at alle fire feltbidrag kansellerer hverandre fullstendig i sentrum – resultantfeltet blir null. For å få maksimalt felt trenger vi en konfigurasjon der alle bidragene peker i samme retning, som i alternativ A.
j) To rette ledere og punkt P
To rette, parallelle ledere. Den ene fører 1 A. Punkt P er i avstand \(d\) fra den ene og \(2d\) fra den andre. Det samlede magnetfeltet i P er null. Finn strømstyrke og retning i den andre lederen.
For at feltet i P skal være null, må bidragene fra de to lederne ha lik størrelse men motsatt retning.
Feltstyrken fra en lang, rett leder i avstand \(r\):
Retninger: Fra figuren ser vi at den skrå lederen fører strømmen sin oppover-til-høyre, og P ligger i kilen mellom de to lederne (på nedre høyre side av den skrå lederen, rett over den horisontale lederen).
Ved å bruke høyrehåndsregelen på den skrå lederen (tommelen i strømretningen oppover-til-høyre, fingrene krøllet rundt lederen): i punkt P peker magnetfeltet inn i papirplanet.
For at feltene skal kansellere, må magnetfeltet fra den horisontale lederen peke ut av papirplanet i P. Punktet P ligger over den horisontale lederen; høyrehåndsregelen krever da at strømmen i den horisontale lederen går mot høyre.
Svar: D – Mot høyre, 2 A
Vanlig feil: Mange velger 1 A (samme strømstyrke) fordi de glemmer at punktet P har ulik avstand til de to lederne. Dette er feil fordi magnetfeltet fra en lang, rett leder avtar med \(1/r\). Siden den andre lederen er dobbelt så langt unna P, må den ha dobbelt så stor strøm for å skape like stort felt i P. En annen vanlig feil er å velge feil retning – bruk høyrehåndsregelen systematisk for hver leder.
k) To partikler i magnetfelt
To ladede partikler \(q_1\) og \(q_2\) beveger seg i et magnetfelt. Den ene halvdelen har felt inn i papirplanet (\(\times\)), den andre ut av papirplanet (\(\bullet\)). Bestem fortegn på ladningene fra banekurvene.
\(q_1\) beveger seg inn i regionen med \(\vec{B}\) inn i papirplanet. Med \(\vec{v}\) mot høyre og \(\vec{B}\) inn i papirplanet:
\[ \vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B}) \]
For positiv ladning: \(\vec{v} \times \vec{B}_{\text{inn}} = v B \,\hat{y}\) (oppover). For negativ ladning peker kraften nedover.
Fra kurvene: \(q_1\) bøyer av nedover (mot grenselinjen) i \(\times\)-regionen, noe som krever at \(q_1\) er negativ.
\(q_2\) beveger seg inn i regionen med \(\vec{B}\) ut av papirplanet. Med \(\vec{v}\) mot høyre og \(\vec{B}\) ut av papirplanet:
For positiv ladning: \(\vec{v} \times \vec{B}_{\text{ut}} = -vB\,\hat{y}\) (nedover). For negativ ladning peker kraften oppover.
Fra kurvene: \(q_2\) bøyer av oppover (mot grenselinjen) i \(\bullet\)-regionen, noe som krever at \(q_2\) er negativ.
Svar: B – Begge ladningene er negative (\(q_1 < 0\), \(q_2 < 0\))
Vanlig feil: Mange velger at ladningene har motsatt fortegn fordi de bøyer av i «ulike retninger». Dette er feil fordi de to partiklene befinner seg i ulike magnetfeltregioner (inn vs. ut av papirplanet). Når man anvender høyrehåndsregelen \(\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})\) korrekt for hvert tilfelle, viser det seg at begge avbøyningene krever negativ ladning.
l) Ion i magnetfelt – ny radius
Et ion akselereres gjennom spenning \(U\) og følger en sirkelbane med radius \(R\) i magnetfelt \(B\). Et nytt ion (samme masse og ladning) akselereres gjennom samme \(U\), men magnetfeltet er nå \(2B\). Finn ny radius.
Fra akselerasjonsspenningen: \(\frac{1}{2}mv^2 = qU\), som gir \(v = \sqrt{2qU/m}\).
Radius i magnetfelt: \(r = \frac{mv}{qB}\). Setter inn \(v\):
\[ r = \frac{m}{qB}\sqrt{\frac{2qU}{m}} = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}} \]
Radius er omvendt proporsjonal med \(B\). Når \(B\) dobles:
Vanlig feil: Mange velger \(R/4\) fordi de tenker at dobbelt felt gir firedoblet kraft og dermed en firedel av radiusen. Dette er feil fordi radius \(r = mv/(qB)\) er lineært omvendt proporsjonal med \(B\), ikke kvadratisk. Farten \(v\) bestemmes av akselerasjonsspenningen \(U\) og er uavhengig av \(B\), så dobling av \(B\) gir halvering av radius.
m) Positiv partikkel i kryssede felt
En positiv partikkel passerer rett gjennom et område med både elektrisk og magnetisk felt. Hva er riktige retninger for feltene?
For at partikkelen skal gå rett gjennom, fungerer oppsettet som en hastighetsselektor der den elektriske kraften balanserer magnetkraften nøyaktig. Bare partikler med riktig fart \(v = E/B\) passerer uavbøyd, mens partikler med annen fart avbøyes. Betingelsen for rett bane er:
\[ qE = qvB \]
Partikkelen beveger seg mot høyre. Vi sjekker alternativ A: \(\vec{B}\) ut av papirplanet, \(\vec{E}\) oppover.
Magnetkraft: \(\vec{F}_B = q\vec{v} \times \vec{B}\). Med \(\vec{v}\) mot høyre og \(\vec{B}\) ut av papiret: \(\vec{F}_B = qvB\) nedover.
Kreftene balanserer. Partikkelen går rett igjennom.
Svar: A – Magnetisk felt ut av papirplanet, elektrisk felt oppover
Vanlig feil: Mange velger feil feltretning fordi de blander sammen kraftretningen for positive og negative ladninger, eller bruker høyrehåndsregelen feil. Husk at for en positiv partikkel som beveger seg mot høyre i et felt ut av papirplanet, gir \(\vec{v} \times \vec{B}\) en kraft nedover. Det elektriske feltet må da peke oppover for å balansere denne magnetkraften.
n) Transformator
Transformator med 240 V i primærspolen og 60 V i sekundærspolen. Finn forholdet \(N_p/N_s\).
Transformatorlikningen bygger på at den magnetiske fluksen gjennom jernkjernen er lik for begge spolene. Endring i fluks induserer en spenning proporsjonal med antall vindinger i hver spole. Dermed er forholdet mellom spenningene lik forholdet mellom vindingstallene:
Vanlig feil: Mange velger 0,25 (altså \(N_s/N_p\) i stedet for \(N_p/N_s\)) fordi de blander primær og sekundær. Dette er feil fordi oppgaven spør spesifikt om \(N_p/N_s\). Husk at en nedtransformator (lavere spenning ut) har flere vindinger på primærsiden, slik at \(N_p/N_s > 1\).
o) Foto av Henrik fra drone i bevegelse
Henrik ligger på bakken og fotograferes ovenfra av en drone. Først i ro, deretter med fart \(v > 0{,}10c\). Hvordan endres bildet?
Lengdekontraksjonen skjer bare i bevegelsesretningen. Dronen flyr horisontalt (mot høyre i bildet). Fra bildet ovenfra ligger Henrik med kroppen vinkelrett på fartsretningen (hodet opp, føttene ned i bildet).
Langs fartsretningen (venstre-høyre): Henrik kontraheres. Han blir smalere.
Vinkelrett på fartsretningen (opp-ned): Ingen lengdekontraksjon. Kroppslengden er uendret.
Svar: B – Like lang, men smalere
Vanlig feil: Mange velger at Henrik blir kortere og smalere fordi de tror lengdekontraksjonen gjelder i alle retninger. Dette er feil fordi Lorentz-kontraksjonen kun virker langs bevegelsesretningen. Dimensjoner vinkelrett på fartsretningen er helt upåvirket. Siden dronen flyr horisontalt, kontraheres bare den horisontale bredden, mens kroppslengden (vinkelrett på bevegelsen) forblir uendret.
p) Tre klokker mellom to planeter
Planet M (stor masse) og planet m (liten masse). Klokke 1 nær M, klokke 3 nær m (like langt fra overflaten), klokke 2 der gravitasjonsfeltstyrken er lik fra begge. Rekkefølge fra tregest til raskest?
Gravitasjonstidsforlengelse er et resultat av den generelle relativitetsteorien: klokker går saktere i dypere gravitasjonsbrønner (lavere gravitasjonspotensial). Jo sterkere gravitasjonsfeltet er der klokken befinner seg – altså jo mer energi som trengs for å «klatre» ut av gravitasjonsbrønnen – desto saktere tikker klokken sammenlignet med en klokke langt unna alle masser.
Klokke 1 (nær planet M): Dypest potensialbrønn (M er størst). Går tregest.
Klokke 3 (nær planet m): Dypere potensialbrønn enn klokke 2, men grunnere enn klokke 1 (siden \(m < M\)).
Klokke 2 (mellom planetene): Her er gravitasjonsfeltstyrken like stor fra begge, men potensialet er grunnere enn ved overflaten av noen av planetene. Går raskest.
Svar: B – Fra tregest til raskest: 1, 3, 2
Vanlig feil: Mange velger at klokke 2 går tregest fordi den er «mellom» to gravitasjonskilder og dermed påvirkes av begge. Dette er feil fordi gravitasjonstidsforlengelse avhenger av gravitasjonspotensialet, ikke feltstyrken. Klokke 2 befinner seg i et grunnere potensialbrønn enn klokkene nær planetoverflatene, og går derfor raskest – ikke tregest.
q) Fotoelektrisk effekt – frigjøre elektroner
En fysikkelev sender lys mot et metall, men ingen elektroner frigjøres. Hva kan eleven gjøre for å frigjøre elektroner?
Fotoelektrisk effekt krever at fotonenergien \(E = hf\) er større enn løsrivningsarbeidet \(W\). Hvis ingen elektroner frigjøres, er frekvensen for lav. Det finnes en grensefrekvens \(f_0 = W/h\) som må overskrides for at effekten skal opptre. Energien til hvert enkelt foton er avgjørende – ikke den totale lysintensiteten.
A (høyere løsrivningsarbeid): Gjør det vanskeligere – feil.
B (mer av samme lys): Flere fotoner med for lav energi hjelper ikke – feil.
C (øke frekvensen): Høyere frekvens gir høyere fotonenergi – riktig!
D (øke bølgelengden): Lengre bølgelengde gir lavere frekvens og lavere energi – feil.
Svar: C – Øke frekvensen på lyset
Vanlig feil: Mange velger B (mer av samme lys) fordi de tenker at mer lys gir mer energi totalt. Dette er feil fordi den fotoelektriske effekten er en kvantemekanisk prosess der hvert enkelt foton må ha nok energi til å frigjøre ett elektron. Tusenvis av fotoner med for lav frekvens kan ikke «samle opp» energien sin – det er frekvensen (og dermed energien per foton \(E = hf\)) som avgjør.
r) De Broglie-bølgelengde og fotonets bevegelsesmengde
Påstand 1: Et elektron i bevegelse har en bølgelengde. Påstand 2: Jo større bevegelsesmengde et foton har, desto mindre bølgelengde har det.
Påstand 1 er riktig: De Broglies hypotese: alle partikler har bølgeegenskaper. Bølgelengden er \(\lambda = h/p\). Et elektron i bevegelse har bevegelsesmengde \(p > 0\), og dermed en bølgelengde.
Påstand 2 er riktig: For et foton: \(p = h/\lambda\), som gir \(\lambda = h/p\). Større bevegelsesmengde gir kortere (mindre) bølgelengde.
Svar: D – Begge påstandene er riktige
Vanlig feil: Mange velger B (bare påstand 1 er riktig) fordi de er usikre på om bevegelsesmengde gjelder for fotoner. Dette er feil fordi fotoner har bevegelsesmengde \(p = h/\lambda = E/c\), selv om de ikke har hvilemasse. De Broglie-relasjonen \(\lambda = h/p\) gjelder universelt – både for partikler med masse og for fotoner.
s) Bølgefunksjon og sannsynlighet
Grafen viser bølgefunksjonen \(\Psi(x)\) for et elektron. Fire intervaller a, b, c og d er markert. I hvilket intervall er det mest sannsynlig å finne elektronet?
Sannsynligheten for å finne elektronet i et intervall er proporsjonal med \(\int |\Psi(x)|^2 \, dx\) over intervallet. Der \(|\Psi(x)|\) er størst, er sannsynligheten størst. Merk at det er absoluttverdien kvadrert som teller – negative verdier av \(\Psi\) gir like stor sannsynlighet som positive verdier med lik absolutt størrelse. Bølgefunksjonen \(\Psi\) i seg selv er ikke direkte observerbar, men \(|\Psi|^2\) gir sannsynlighetstettheten for å finne partikkelen.
Fra grafen har intervall d den største amplituden til \(\Psi\), altså størst \(|\Psi|^2\).
Svar: D – Intervall d
Vanlig feil: Mange velger intervallet der \(\Psi(x)\) krysser null fordi de forveksler bølgefunksjonen med sannsynligheten. Dette er feil fordi sannsynligheten er proporsjonal med \(|\Psi(x)|^2\), ikke med \(\Psi(x)\) selv. Der bølgefunksjonen har størst absolutt amplitude (positiv eller negativ), er sannsynligheten størst.
t) Heisenbergs uskarphetsrelasjon
Posisjonsuskarpheten \(\Delta x\) til en kvantepartikkel reduseres. Hva skjer med bevegelsesmengdeuskarpheten \(\Delta p\)?
Heisenbergs uskarphetsrelasjon:
\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
Hvis \(\Delta x\) halveres, må \(\Delta p\) minst fordobles for at produktet \(\Delta x \cdot \Delta p\) fortsatt skal tilfredsstille ulikheten. Posisjon og bevegelsesmengde er komplementære størrelser – man kan ikke kjenne begge nøyaktig samtidig. Dette er ikke en teknisk begrensning ved måleinstrumentene, men en fundamental egenskap ved naturen på kvantenivå. Fysisk kan dette forstås gjennom bølge-partikkel-dualiteten: en partikkel med velbestemt posisjon må beskrives av en smal bølgepakke, som krever mange ulike bølgelengder (og dermed mange ulike bevegelsesmengder) for å konstrueres.
Svar: D – \(\Delta x\) halveres, \(\Delta p\) fordobles
Vanlig feil: Mange velger at \(\Delta p\) også halveres fordi de tenker at økt presisjon i posisjon gir økt presisjon i alt. Dette er feil fordi uskarphetsrelasjonen \(\Delta x \cdot \Delta p \geq \hbar/2\) setter en fundamental nedre grense for produktet. Når du presser ned uskarpheten i én størrelse, tvinges uskarpheten i den komplementære størrelsen til å øke – dette er ikke en begrensning i måleinstrumentene, men en grunnleggende egenskap ved kvantemekanikken.
Oppgave 2
a) Ball med luftmotstand – krefter og akselerasjon (5 poeng)
En ball kastes skrått oppover. Luftmotstanden er proposjonal med \(v^2\). Tegn kreftene i punktene P (på vei opp), Q (høyeste punkt) og R (på vei ned). Tegn graf av \(|a_y|\) som funksjon av tiden.
Krefter i punkt P (på vei opp):
Tyngdekraften \(m\vec{g}\) peker rett ned.
Luftmotstanden \(\vec{L}\) peker motsatt bevegelsesretningen, altså nedover og bakover (skrått ned-til-venstre). Størrelse: \(L = kv^2\).
Krefter i punkt Q (høyeste punkt, kun horisontal fart):
Tyngdekraften \(m\vec{g}\) peker rett ned.
Luftmotstanden \(\vec{L}\) peker horisontalt bakover (motsatt den horisontale bevegelsen). Ingen vertikal komponent av luftmotstanden.
Krefter i punkt R (på vei ned):
Tyngdekraften \(m\vec{g}\) peker rett ned.
Luftmotstanden \(\vec{L}\) peker motsatt bevegelsesretningen, altså oppover og bakover (skrått opp-til-venstre).
Graf av \(|a_y|\) over tid:
I y-retningen virker tyngdekraften \(mg\) nedover og y-komponenten av luftmotstanden:
På vei opp (før Q): Ballen beveger seg oppover. Luftmotstanden har en komponent nedover (bidrar sammen med tyngden). Dermed er \(|a_y| = g + L_y/m > g\). Etter hvert som farten avtar, minsker \(L_y\), og \(|a_y|\) synker mot \(g\).
I punkt Q: Ballen har ingen vertikal fart, kun horisontal. Luftmotstanden har ingen vertikal komponent. \(|a_y| = g\).
På vei ned (etter Q): Ballen beveger seg nedover. Luftmotstanden har en komponent oppover (motvirker tyngden). Dermed er \(|a_y| = g - L_y/m < g\). Etter hvert som den vertikale farten øker, øker \(L_y\), og \(|a_y|\) fortsetter å synke.
Konklusjon: \(|a_y|\) starter over \(g\), synker mot \(g\) i det høyeste punktet, og fortsetter under \(g\) på vei ned. Grafen er monotont avtagende.
b) Ekvivalensprinsippet (4 poeng)
Per og Ole er i et romskip. Per mener de er på en planet i et homogent gravitasjonsfelt. Ole mener de akselererer i det ytre rom. De kjenner en normalkraft fra gulvet.
1) Hvorfor kan de ikke avgjøre ved å slippe en gjenstand?
Einsteins ekvivalensprinsipp sier at et homogent gravitasjonsfelt er lokalt uatskillelig fra et jevnt akselererende referansesystem. Når en gjenstand slippes:
På en planet: Gjenstanden faller mot gulvet med akselerasjon \(g\) (tyngdekraften).
I akselererende romskip: Gulvet akselererer opp mot gjenstanden. Fra innsiden ser det ut som om gjenstanden «faller» med akselerasjon \(a = g\).
Begge situasjonene gir nøyaktig samme observasjon. Eksperimentet kan ikke skille mellom dem.
2) De sender lys med gitt frekvens mot taket og måler frekvensen der.
I begge tilfellene observeres rødforskyvning – frekvensen er lavere ved taket enn ved gulvet:
På en planet: Gravitasjonsrødforskyvning. Lyset «klatrer» ut av gravitasjonsbrønnen og taper energi: \(\Delta f/f = gh/c^2\).
I akselererende romskip: Taket akselererer bort fra lyset. Når lyset ankommer taket, har taket fått høyere fart, og man observerer en dopplerforskyvning som gir nøyaktig samme rødforskyvning: \(\Delta f/f = ah/c^2\).
Ekvivalensprinsippet garanterer at begge gir identisk resultat. Heller ikke dette eksperimentet kan avgjøre hvilken situasjon de er i.
Konklusjon: Ingen lokale eksperimenter kan skille mellom et homogent gravitasjonsfelt og et jevnt akselererende referansesystem (Einsteins ekvivalensprinsipp).
c) Roterende spole – induksjon (5 poeng)
En spole med 10 vindinger og tverrsnitt \(A = 0{,}010\) m\(^2\) roterer i et magnetfelt \(B\). Resistansen er \(R = 3{,}14\) \(\Omega\). Graf av indusert strøm er gitt.
3) Gjør rede for elektromagnetisk induksjon. Gi et eksempel på bærekraftig energiproduksjon.
Elektromagnetisk induksjon: Når den magnetiske fluksen gjennom en lukket krets endres, induseres en elektromotorisk spenning (EMF) i kretsen (Faradays lov):
\[ \varepsilon = -N \frac{d\Phi}{dt} \]
Denne spenningen driver en strøm i kretsen. Lenz' lov sier at den induserte strømmen alltid motvirker endringen som skapte den.
Eksempel – vindkraft: I en vindturbin driver vinden rotorbladene, som roterer en generator. Inne i generatoren roterer spoler i et magnetfelt (eller magneter roterer rundt spoler). Den endrede fluksen induserer en vekselspenning som gir elektrisk strøm. Dette er et eksempel på bærekraftig energiproduksjon fordi vind er en fornybar energikilde.
Del 2
Oppgave 3 – Gjenstand fra 39 km høyde (5 poeng)
En gjenstand slippes fra ro i en høyde \(h = 39{,}0\) km over jordoverflata. Beregn farten ved jordoverflata.
a) Konstant tyngdeakselerasjon \(g = 9{,}81\) m/s\(^2\)
Med konstant \(g\) og energibevaring (eller kinematikk):
Svarene er svært like: 875 m/s (konstant \(g\)) vs. 872 m/s (varierende \(g\)).
Årsaken er at høyden \(h = 39\) km er svært liten sammenlignet med jordas radius \(R = 6371\) km (kun ca. 0,6 %). Over så korte avstander endrer gravitasjonsfeltet seg minimalt, og tilnærmingen med konstant \(g\) gir et godt resultat. Generelt er tilnærmingen med konstant \(g\) god når \(h \ll R\), fordi \(g(r) = \gamma M/r^2\) da varierer lite over fallhøyden.
Det inhomogene feltet gir en litt lavere fart fordi \(g\) er noe svakere i høyden enn ved overflaten, slik at gjenstanden akselererer litt mindre i gjennomsnitt.
Konklusjon: For \(h \ll R\) er den konstante \(g\)-tilnærmingen svært god. Avviket er under 0,4 %.
Oppgave 4 – Syklist ned bakke (6 poeng)
Syklist med total masse \(m = 105\) kg kjører ned en bakke med helningsvinkel \(\alpha = 4{,}0°\). Luftmotstanden er \(L = kv^2\).
a) Vis at \(k = mg\sin\alpha / v^2\) ved konstant fart
Ved konstant fart (likevekt langs bakken) er nettokraften null. Komponent av tyngdekraften langs bakken balanseres av luftmotstanden:
\[ mg\sin\alpha - kv^2 = 0 \]
\[ k = \frac{mg\sin\alpha}{v^2} \quad \checkmark \]
b) Bestem \(k\) fra grafen
Fart-tid-graf for syklist ned bakke
Fra grafen leser vi av at farten stabiliserer seg (terminalfart) ved ca. \(v = 10\) m/s:
Fra grafen: ved \(v = 6{,}0\) m/s er helningen ca. 0,5 m/s\(^2\), som stemmer godt med beregningen.
\[ a \approx 0{,}44 \text{ m/s}^2 \]
d) Syklisten legger seg nedover – endring av \(v\)-\(t\)-graf
1) Effekt på \(k\): Når syklisten legger seg mer nedover styret, reduseres det effektive frontarealet. Luftmotstanden \(L = kv^2\) der \(k\) er proporsjonal med frontarealet, gir at \(k\) minsker.
Startakselerasjonen er uendret: Ved \(v = 0\) er det ingen luftmotstand, og akselerasjonen er \(a = g\sin\alpha\) uansett \(k\).
Terminalfarten øker: Farten stabiliserer seg ved en høyere verdi.
Den nye \(v\)-\(t\)-grafen starter med samme stigningstall, men fortsetter å stige lenger og flater ut på et høyere nivå.
Konklusjon: Grafen har samme starthelning, men når en høyere terminalfart.
Oppgave 5 – Bil i sving (7 poeng)
En bil med masse \(m = 2000\) kg kjører med fart \(v = 20\) m/s.
a) Sum av kreftene i en horisontal sving med radius \(r = 100\) m
Bilen følger en sirkelbane, og for at et objekt skal bevege seg i en sirkel med konstant fart, må det virke en nettokraft rettet mot sentrum av sirkelen. Denne nettokraften kalles sentripetalkraften og er forårsaket av friksjonen mellom dekkene og veien. Størrelsen på denne kraften er:
Bilen kjører over en bakketopp med krumningsradius \(R = 150\) m og fart \(v = 20\) m/s. I det høyeste punktet peker sentripetalkraften nedover (mot sentrum av sirkelbuen):
Bilen er i en posisjon som er \(h = 10\) m lavere enn bakketoppen på den sirkulære buen med radius \(R = 150\) m. Vi finner vinkelen \(\theta\) fra toppen:
I denne posisjonen er farten den samme (\(v = 20\) m/s, forutsatt fra oppgaven). Radialretningen peker mot sentrum av sirkelbuen. Komponenten av tyngdekraften i radialretning (mot sentrum) er \(mg\cos\theta\):
Et elektron akselereres gjennom spenning \(U = 200\) V og skytes inn gjennom et hull i den positive platen med fart \(v_0 = 0{,}010c = 3{,}0 \cdot 10^6\) m/s i vinkel \(\alpha = 43°\) med horisontalen. Plateavstanden er \(d = 0{,}10\) m.
a) Vis at tiden mellom A og B er \(t = 1{,}2 \cdot 10^{-8}\) s
Elektronet skytes inn ved den positive platen (bunn) med vinkel \(\alpha = 43°\) oppover. Det elektriske feltet mellom platene peker oppover (fra \(+\) til \(-\)), og kraften på elektronet (negativt ladet) er nedover (tilbake mot \(+\)-platen).
Oppgave 7 – Stang på skinner i magnetfelt (8 poeng)
En ledende stang med masse \(m = 10\) g og lengde \(L = 0{,}10\) m ligger på to parallelle skinner. Stangen er koblet til en spenningskilde \(U = 1{,}0\) V via en resistor med \(R = 0{,}50\) \(\Omega\). Alt er i et homogent magnetfelt \(B = 1{,}5\) T (vinkelrett på skinnene).
a) Krefter og akselerasjon ved start
Når spenningen kobles til og stangen er i ro (\(v = 0\)):
Ved start: \(I = 2{,}0\) A, \(F = 0{,}30\) N, \(a = 30\) m/s\(^2\).
b) Indusert spenning når stangen beveger seg
Når stangen beveger seg med fart \(v\), endres den magnetiske fluksen gjennom kretsen. Ifølge Faradays lov induseres en spenning:
\[ \varepsilon_{\text{ind}} = BvL \]
Denne induserte spenningen motvirker den påtrykte spenningen (Lenz' lov). Fysisk betyr dette at stangens bevegelse skaper en endring i magnetisk fluks gjennom kretsen, som ifølge Faradays lov induserer en mot-EMF. Jo raskere stangen beveger seg, desto større er denne mot-EMFen. Den effektive spenningen som driver strømmen reduseres:
\[ I = \frac{U - BvL}{R} \]
Etter hvert som farten øker, øker den induserte spenningen, strømmen minsker, kraften minsker, og akselerasjonen avtar. Stangen nærmer seg en terminalfart der \(BvL = U\).
c) Vis at \(a = \dfrac{UBL - vB^2L^2}{Rm}\)
Netto EMF i kretsen:
\[ \varepsilon_{\text{netto}} = U - BvL \]
Strøm:
\[ I = \frac{U - BvL}{R} \]
Magnetisk kraft på stangen:
\[ F = BIL = \frac{BL(U - BvL)}{R} = \frac{UBL - vB^2L^2}{R} \]
d) Programmering – tid og strekning til \(v = 1{,}0\) m/s
Vi bruker Eulers metode for å simulere bevegelsen:
Python-kode:
U = 1.0
B = 1.5
R = 0.50
m = 0.010
L = 0.10
v = 0
s = 0
t = 0
dt = 0.00001
while v <= 1.0:
a = (U*B*L - v*B**2*L**2) / (R*m)
v = v + a*dt
s = s + v*dt
t = t + dt
print(f"Tid: {t:.4f} s")
print(f"Strekning: {s:.4f} m")
Analytisk estimat: Bevegelsen følger en eksponentiell tilnærming til terminalfart \(v_{\text{max}} = U/(BL) = 1{,}0/(1{,}5 \cdot 0{,}10) = 6{,}67\) m/s med tidskonstant: