VG2
Løsningsforslag Matematikk 2PHøst 2023
Løsningsforslag – Matematikk 2P Høst 2023
Eksamen MAT1023
Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no.
Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.
DEL 1 – Uten hjelpemidler
Oppgave 1
Selma er på ferie og vil bruke buss for å komme seg rundt i området. Hun vurderer om hun skal kjøpe en enkeltbillett for hver reise eller et fleksikort med 20 reiser.
- Hver enkeltbillett koster 25 kroner.
- Et fleksikort med 20 reiser koster 415 kroner.
Med enkeltbilletter koster \( n \) reiser:
\[ \text{Kostnad enkeltbilletter} = 25 \cdot n \]Vi finner hvor mange reiser som gir samme kostnad som fleksikortet:
\[ 25 \cdot n = 415 \] \[ n = \frac{415}{25} = 16{,}6 \]Siden vi ikke kan ta 16,6 reiser, må hun ta minst 17 reiser for at det skal lønne seg med fleksikort.
Vi sjekker:
- 16 reiser med enkeltbillett: \( 25 \cdot 16 = 400 \) kr (billigere enn 415 kr)
- 17 reiser med enkeltbillett: \( 25 \cdot 17 = 425 \) kr (dyrere enn 415 kr)
Selma må ta minst 17 reiser for at det skal lønne seg å kjøpe fleksikort.
Vanlig feil: Noen elever svarer 16,6 reiser uten å runde opp til et helt tall. Siden man ikke kan ta 0,6 reiser, må man runde opp til 17. Husk at ved slike oppgaver der svaret må være et helt tall, må du alltid vurdere om du skal runde opp eller ned avhengig av konteksten.
Tenk deg at Selma kjøper et fleksikort med 20 reiser og bruker alle reisene.
b) Hvor mange prosent sparer hun sammenliknet med å kjøpe 20 enkeltbilletter?
b) Hvor mange prosent sparer hun sammenliknet med å kjøpe 20 enkeltbilletter?
Kostnaden for 20 enkeltbilletter:
\[ 25 \cdot 20 = 500 \text{ kr} \]Hun sparer:
\[ 500 - 415 = 85 \text{ kr} \]Prosentvis besparelse sammenliknet med enkeltbilletter:
\[ \frac{85}{500} \cdot 100\,\% = 17\,\% \]
Selma sparer 17 % ved å kjøpe fleksikort sammenliknet med 20 enkeltbilletter.
Oppgave 2
På et kart er avstanden mellom to byer 40 cm. I virkeligheten er avstanden 20 km.
Bestem målestokken til kartet.
Bestem målestokken til kartet.
Vi gjør om til samme enhet. 20 km gjøres om til centimeter:
\[ 20 \text{ km} = 20 \cdot 1000 \text{ m} = 20\,000 \text{ m} = 20\,000 \cdot 100 \text{ cm} = 2\,000\,000 \text{ cm} \]Målestokken er forholdet mellom kartavstand og virkelig avstand:
\[ \text{Målestokk} = \frac{40}{2\,000\,000} = \frac{1}{50\,000} \]
Målestokken til kartet er 1 : 50 000.
Vanlig feil: Den vanligste feilen er å glemme enhetsomregningen. Kartavstanden er i cm og den virkelige avstanden er i km. Du må gjøre om til samme enhet. Husk: 1 km = 1000 m = 100 000 cm. En annen feil er å dele feil vei og få en målestokk som er større enn 1.
Oppgave 3
Jonas har notert hvor mange kilometer han har jogget hver av de siste ti dagene. Han ser at typetallet er 5 km, medianen er 8 km og gjennomsnittet er 9 km.
Du skal sette opp to mulige alternativer som viser hvor mange kilometer han kan ha jogget hver av de ti dagene.
Du skal sette opp to mulige alternativer som viser hvor mange kilometer han kan ha jogget hver av de ti dagene.
- I det første alternativet skal du bruke 8 km minst én dag.
- I det andre alternativet skal du ikke bruke 8 km noen av dagene, og minst halvparten av tallene du bruker, skal være tall du ikke brukte i det første alternativet.
Vi har 10 verdier med følgende krav:
- Typetall = 5: Verdien 5 må forekomme oftest (minst 2 ganger, og oftere enn alle andre verdier).
- Median = 8: Gjennomsnittet av de to midterste verdiene (5. og 6. verdi) i sortert rekkefølge må være 8.
- Gjennomsnitt = 9: Summen av alle verdiene må være \( 9 \cdot 10 = 90 \).
Alternativ 1 (bruker 8 km minst én dag):
Vi velger at den 5. og 6. verdien begge er 8, slik at medianen blir 8. Vi lar 5 forekomme 3 ganger (oftest).
Sortert forslag: \( 5, \; 5, \; 5, \; 6, \; 8, \; 8, \; 10, \; 12, \; 14, \; 17 \)
Vi sjekker:
- Typetall: 5 forekommer 3 ganger (oftest). ✔
- Median: \( \frac{8 + 8}{2} = 8 \). ✔
- Sum: \( 5 + 5 + 5 + 6 + 8 + 8 + 10 + 12 + 14 + 17 = 90 \). Gjennomsnitt: \( \frac{90}{10} = 9 \). ✔
Alternativ 2 (bruker ikke 8 km, og minst halvparten nye tall):
Medianen skal fortsatt være 8. Uten å bruke verdien 8, trenger vi at gjennomsnittet av 5. og 6. verdi er 8, for eksempel 7 og 9.
Minst 5 av tallene skal være tall vi ikke brukte i alternativ 1 (dvs. ikke 5, 6, 8, 10, 12, 14 eller 17).
Sortert forslag: \( 3, \; 5, \; 5, \; 7, \; 7, \; 9, \; 11, \; 13, \; 15, \; 15 \)
Vi sjekker:
- Typetall: 5 forekommer 2 ganger, 7 forekommer 2 ganger, og 15 forekommer 2 ganger. Men vi trenger at 5 er eneste typetall. La oss justere.
Justert forslag: \( 2, \; 5, \; 5, \; 5, \; 7, \; 9, \; 11, \; 13, \; 15, \; 18 \)
Vi sjekker:
- Typetall: 5 forekommer 3 ganger (oftest). ✔
- Median: \( \frac{7 + 9}{2} = 8 \). ✔
- Sum: \( 2 + 5 + 5 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 18 = 90 \). Gjennomsnitt: \( \frac{90}{10} = 9 \). ✔
- Bruker ikke 8 km. ✔
- Nye tall (ikke brukt i alt. 1): 2, 7, 9, 11, 13, 15, 18 - det er 7 nye tall av 10, altså mer enn halvparten. ✔
Alternativ 1: \( 5, \; 5, \; 5, \; 6, \; 8, \; 8, \; 10, \; 12, \; 14, \; 17 \)
Alternativ 2: \( 2, \; 5, \; 5, \; 5, \; 7, \; 9, \; 11, \; 13, \; 15, \; 18 \)
Begge har typetall 5, median 8 og gjennomsnitt 9.
Alternativ 2: \( 2, \; 5, \; 5, \; 5, \; 7, \; 9, \; 11, \; 13, \; 15, \; 18 \)
Begge har typetall 5, median 8 og gjennomsnitt 9.
Vanlig feil: Noen elever glemmer å sjekke alle tre kravene (typetall, median og gjennomsnitt) samtidig. Kontroller alltid at summen blir 90 (gjennomsnitt 9 ganger 10 tall), at de to midterste verdiene gir median 8, og at verdien 5 forekommer oftere enn alle andre verdier.
Oppgave 4
\[ (x + 4)(x - 1) = 0 \]
\[ (x + 2)(x - 3) = -6 \]
Selma og Tobine arbeider med likningene ovenfor.
Selma sier: Høyresiden i den første likningen er lik null. Da kan vi bare finne ut hva \( x \) må være for at det som står inne i en av parentesene skal bli lik null. Setter vi \( x = -4 \), får vi \( (-4+4)(-4-1) = 0 \cdot (-5) = 0 \). Setter vi \( x = 1 \), blir \( (x+4)(x-1) \) også lik null. Løsningene er derfor \( x_1 = -4 \) og \( x_2 = 1 \). Dette stemmer, men jeg vet ikke hvorfor.
Tobine sier: Vil det alltid være slik? I den andre likningen er høyresiden lik minus seks. Da må det som står inne i en av parentesene, bli minus seks? Er da løsningene \( x_1 = -8 \) og \( x_2 = -3 \)?
Kommenter det Selma og Tobine sier, og løs likningen \( (x + 2)(x - 3) = -6 \).
Selma sier: Høyresiden i den første likningen er lik null. Da kan vi bare finne ut hva \( x \) må være for at det som står inne i en av parentesene skal bli lik null. Setter vi \( x = -4 \), får vi \( (-4+4)(-4-1) = 0 \cdot (-5) = 0 \). Setter vi \( x = 1 \), blir \( (x+4)(x-1) \) også lik null. Løsningene er derfor \( x_1 = -4 \) og \( x_2 = 1 \). Dette stemmer, men jeg vet ikke hvorfor.
Tobine sier: Vil det alltid være slik? I den andre likningen er høyresiden lik minus seks. Da må det som står inne i en av parentesene, bli minus seks? Er da løsningene \( x_1 = -8 \) og \( x_2 = -3 \)?
Kommenter det Selma og Tobine sier, og løs likningen \( (x + 2)(x - 3) = -6 \).
Kommentar til Selma:
Selma har rett. Metoden hennes bygger på nullregelen: Dersom et produkt av to faktorer er lik null, må minst én av faktorene være null. Dette er en grunnleggende egenskap ved tall. Altså:
\[ a \cdot b = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 0 \;\text{ eller }\; b = 0 \]Derfor kan vi sette \( x + 4 = 0 \) eller \( x - 1 = 0 \), som gir \( x = -4 \) eller \( x = 1 \).
Kommentar til Tobine:
Tobine tar feil. Nullregelen gjelder bare når produktet er lik null. Når produktet er lik \( -6 \), kan vi ikke sette hver enkelt faktor lik \( -6 \). For eksempel: \( 2 \cdot (-3) = -6 \), men ingen av faktorene er \( -6 \). Det finnes uendelig mange kombinasjoner av to tall som gir produktet \( -6 \).
Vi sjekker Tobines forslag \( x = -8 \):
\[ (-8 + 2)(-8 - 3) = (-6)(-11) = 66 \neq -6 \]Altså stemmer ikke Tobines svar.
Løsning av likningen:
Vi utvider venstre side:
\[ (x + 2)(x - 3) = -6 \] \[ x^2 - 3x + 2x - 6 = -6 \] \[ x^2 - x - 6 = -6 \] \[ x^2 - x = 0 \]Nå kan vi bruke nullregelen ved å faktorisere:
\[ x(x - 1) = 0 \]Dette gir:
\[ x = 0 \quad \text{eller} \quad x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \]Vi sjekker begge løsningene:
- \( x = 0: \quad (0 + 2)(0 - 3) = 2 \cdot (-3) = -6 \) ✔
- \( x = 1: \quad (1 + 2)(1 - 3) = 3 \cdot (-2) = -6 \) ✔
Tobines metode er feil fordi nullregelen bare gjelder når produktet er lik null.
Løsningene av \( (x + 2)(x - 3) = -6 \) er \( \boxed{x = 0} \) og \( \boxed{x = 1} \).
Løsningene av \( (x + 2)(x - 3) = -6 \) er \( \boxed{x = 0} \) og \( \boxed{x = 1} \).
Vanlig feil: Tobines feil er klassisk og svært vanlig: å sette hver faktor lik høyresiden når produktet ikke er null. Nullregelen (\(a \cdot b = 0 \Rightarrow a = 0\) eller \(b = 0\)) gjelder bare for produkter lik null. Når produktet er noe annet enn null, må du alltid flytte alt over på én side og faktorisere eller bruke abc-formelen.
DEL 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 1
Tre bilder viser kombinasjoner av vaser og roser med priser:
Hvor mye koster en rose?
- Bilde 1: 1 vase og 3 roser koster 261 kroner
- Bilde 2: 2 vaser og 2 roser koster 474 kroner
- Bilde 3: 3 vaser og 6 roser koster 747 kroner
Hvor mye koster en rose?
La \( v \) = prisen for en vase og \( r \) = prisen for en rose.
Fra bildene setter vi opp likningssystemet:
\[ \text{(I)} \quad v + 3r = 261 \] \[ \text{(II)} \quad 2v + 2r = 474 \]Fra likning (II) deler vi på 2:
\[ v + r = 237 \]Trekker dette fra likning (I):
\[ (v + 3r) - (v + r) = 261 - 237 \] \[ 2r = 24 \] \[ r = 12 \]Setter inn i \( v + r = 237 \):
\[ v = 237 - 12 = 225 \]Kontroll med det tredje bildet (3 vaser og 6 roser):
\[ 3 \cdot 225 + 6 \cdot 12 = 675 + 72 = 747 \; \checkmark \]
En vase koster 225 kroner og en rose koster 12 kroner.
Oppgave 2
Tabellen viser prisindeksen for sjokoladepålegg i perioden 2015–2022.
Prisen for ett bestemt merke sjokoladepålegg steg fra 35,90 kroner i 2019 til 39,90 kroner i 2022.
Gjør beregninger og finn ut om prisen for dette sjokoladepålegget steg mer enn prisindeksen for sjokoladepålegg fra 2019 til 2022.
| År | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Prisindeks | 100 | 97,0 | 98,1 | 98,7 | 99,9 | 112,3 | 110,2 | 119,8 |
Gjør beregninger og finn ut om prisen for dette sjokoladepålegget steg mer enn prisindeksen for sjokoladepålegg fra 2019 til 2022.
Prisøkning for det bestemte merket:
Prosentvis økning fra 2019 til 2022:
\[ \frac{39{,}90 - 35{,}90}{35{,}90} \cdot 100\,\% = \frac{4{,}00}{35{,}90} \cdot 100\,\% \approx 11{,}14\,\% \]Prisøkning ifølge prisindeksen:
Prisindeksen i 2019 var 99,9 og i 2022 var den 119,8.
Prosentvis økning:
\[ \frac{119{,}8 - 99{,}9}{99{,}9} \cdot 100\,\% = \frac{19{,}9}{99{,}9} \cdot 100\,\% \approx 19{,}92\,\% \]Sammenligning:
- Det bestemte merket steg med ca. 11,1 %.
- Prisindeksen for sjokoladepålegg steg med ca. 19,9 %.
Prisen for det bestemte merket sjokoladepålegg steg mindre enn prisindeksen
Vanlig feil: Noen elever sammenligner kronemessig økning i stedet for prosentvis økning. En prisindeks viser prosentvis endring, og du må beregne den prosentvise endringen for enkeltproduktet på samme måte. Husk at prisindeksen representerer gjennomsnittet for en hel kategori varer, ikke prisen for et enkelt produkt.
for sjokoladepålegg fra 2019 til 2022 (11,1 % mot 19,9 %).
Oppgave 3
Nedenfor ser du de 11 fotballspillerne som skåret flest mål i eliteserien 2022.
a) Bestem typetallet, variasjonsbredden og medianen for antall mål.
b) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for antall mål.
c) For de 11 fotballspillerne som skåret flest mål i sesongen 2021, var medianen 11, gjennomsnittet 14,5 og standardavviket 6,7. Hva kan du ut fra dette og beregningene i oppgave a) og b) si om de 11 fotballspillerne fra 2021 sammenliknet med de 11 fotballspillerne fra 2022?
| Rank | Spiller | Mål |
|---|---|---|
| 1 | Amahl Pellegrino | 25 |
| 2 | Hugo Vetlesen | 16 |
| 3 | David Datro Fofana | 15 |
| 3 | Casper Tengstedt | 15 |
| 3 | Tobias Heintz | 15 |
| 6 | Ole Hammerfjell Sæter | 14 |
| 7 | Eric Bugale Kitolano | 13 |
| 8 | Runar Espejord | 12 |
| 8 | Mohamed Ofkir | 12 |
| 10 | Ola Brynhildsen | 11 |
| 10 | Johan Hove | 11 |
b) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for antall mål.
c) For de 11 fotballspillerne som skåret flest mål i sesongen 2021, var medianen 11, gjennomsnittet 14,5 og standardavviket 6,7. Hva kan du ut fra dette og beregningene i oppgave a) og b) si om de 11 fotballspillerne fra 2021 sammenliknet med de 11 fotballspillerne fra 2022?
a) Typetall, variasjonsbredde og median
Datasettet sortert (11 verdier):
\[ 11, \; 11, \; 12, \; 12, \; 13, \; 14, \; 15, \; 15, \; 15, \; 16, \; 25 \]Typetall: Den verdien som forekommer flest ganger. Verdien 15 forekommer 3 ganger (oftest).
\[ \text{Typetall} = 15 \]Variasjonsbredde:
\[ \text{Variasjonsbredde} = 25 - 11 = 14 \]Median: Med 11 verdier er medianen den 6. verdien i sortert rekkefølge:
\[ \text{Median} = 14 \]
Typetallet er 15, variasjonsbredden er 14, og medianen er 14.
b) Gjennomsnitt og standardavvik
Gjennomsnitt:
\[ \bar{x} = \frac{25 + 16 + 15 + 15 + 15 + 14 + 13 + 12 + 12 + 11 + 11}{11} \] \[ \bar{x} = \frac{159}{11} \approx 14{,}45 \]Standardavvik:
Vi beregner avvikene fra gjennomsnittet og kvadrerer dem:
| Mål \( x_i \) | \( x_i - \bar{x} \) | \( (x_i - \bar{x})^2 \) |
|---|---|---|
| 25 | 10,55 | 111,30 |
| 16 | 1,55 | 2,40 |
| 15 | 0,55 | 0,30 |
| 15 | 0,55 | 0,30 |
| 15 | 0,55 | 0,30 |
| 14 | −0,45 | 0,20 |
| 13 | −1,45 | 2,10 |
| 12 | −2,45 | 6,00 |
| 12 | −2,45 | 6,00 |
| 11 | −3,45 | 11,90 |
| 11 | −3,45 | 11,90 |
Sum av kvadratavvikene:
\[ \sum (x_i - \bar{x})^2 \approx 152{,}73 \]Standardavviket (bruker \( n = 11 \)):
\[ s = \sqrt{\frac{152{,}73}{11}} = \sqrt{13{,}88} \approx 3{,}73 \]
Gjennomsnittet er ca. 14,5 mål og standardavviket er ca. 3,7.
c) Sammenligning 2021 og 2022
| 2021 | 2022 | |
|---|---|---|
| Median | 11 | 14 |
| Gjennomsnitt | 14,5 | 14,5 |
| Standardavvik | 6,7 | 3,7 |
- Gjennomsnittet er omtrent likt (14,5) begge sesongene, noe som betyr at det totale antall mål blant topp 11 var omtrent det samme.
- Medianen er høyere i 2022 (14 mot 11), noe som tyder på at de midterste spillerne scoret flere mål i 2022.
- Standardavviket er mye lavere i 2022 (3,7 mot 6,7), noe som betyr at spillerne i 2022 scoret jevnere. I 2021 var det større forskjeller, trolig med en eller noen få spillere som scoret svært mange mål, mens resten scoret færre.
- Den store forskjellen mellom gjennomsnitt og median i 2021 (14,5 vs. 11) tyder på en skjev fordeling med noen utliggere med mange mål. I 2022 er gjennomsnitt og median nesten like (14,5 vs. 14), noe som tyder på en mer symmetrisk fordeling.
Oppgave 4
Adam har tatt opp et lån på 2 500 000 kroner for å kjøpe bolig.
Han skal betale tilbake lånet i månedlige terminer.
Renten er 0,33 % per måned. I tillegg må han betale et gebyr på 50 kroner per termin.
Terminbeløpet skal være 13 385 kroner.
Lag en oversikt som viser hvor stort lånet hans vil være måned for måned de to første årene.
Han skal betale tilbake lånet i månedlige terminer.
Renten er 0,33 % per måned. I tillegg må han betale et gebyr på 50 kroner per termin.
Terminbeløpet skal være 13 385 kroner.
Lag en oversikt som viser hvor stort lånet hans vil være måned for måned de to første årene.
Hver måned skjer følgende:
- Det beregnes renter: \( \text{rente} = \text{restlån} \cdot 0{,}0033 \)
- Terminbeløpet er 13 385 kr, hvorav 50 kr er gebyr.
- Avdrag = Terminbeløp − gebyr − rente = \( 13\,385 - 50 - \text{rente} \)
- Nytt restlån = gammelt restlån − avdrag
Vi setter opp tabellen for de 24 første månedene (2 år):
| Måned | Restlån (start) | Rente | Gebyr | Avdrag | Restlån (slutt) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 2 500 000 | ||||
| 1 | 2 500 000 | 8 250 | 50 | 5 085 | 2 494 915 |
| 2 | 2 494 915 | 8 233 | 50 | 5 102 | 2 489 813 |
| 3 | 2 489 813 | 8 216 | 50 | 5 119 | 2 484 694 |
| 4 | 2 484 694 | 8 199 | 50 | 5 136 | 2 479 559 |
| 5 | 2 479 559 | 8 183 | 50 | 5 152 | 2 474 406 |
| 6 | 2 474 406 | 8 166 | 50 | 5 169 | 2 469 237 |
| 7 | 2 469 237 | 8 148 | 50 | 5 187 | 2 464 051 |
| 8 | 2 464 051 | 8 131 | 50 | 5 204 | 2 458 847 |
| 9 | 2 458 847 | 8 114 | 50 | 5 221 | 2 453 626 |
| 10 | 2 453 626 | 8 097 | 50 | 5 238 | 2 448 388 |
| 11 | 2 448 388 | 8 080 | 50 | 5 255 | 2 443 133 |
| 12 | 2 443 133 | 8 062 | 50 | 5 273 | 2 437 860 |
| 13 | 2 437 860 | 8 045 | 50 | 5 290 | 2 432 570 |
| 14 | 2 432 570 | 8 027 | 50 | 5 308 | 2 427 263 |
| 15 | 2 427 263 | 8 010 | 50 | 5 325 | 2 421 938 |
| 16 | 2 421 938 | 7 992 | 50 | 5 343 | 2 416 595 |
| 17 | 2 416 595 | 7 975 | 50 | 5 360 | 2 411 234 |
| 18 | 2 411 234 | 7 957 | 50 | 5 378 | 2 405 857 |
| 19 | 2 405 857 | 7 939 | 50 | 5 396 | 2 400 461 |
| 20 | 2 400 461 | 7 922 | 50 | 5 413 | 2 395 047 |
| 21 | 2 395 047 | 7 904 | 50 | 5 431 | 2 389 616 |
| 22 | 2 389 616 | 7 886 | 50 | 5 449 | 2 384 167 |
| 23 | 2 384 167 | 7 868 | 50 | 5 467 | 2 378 700 |
| 24 | 2 378 700 | 7 850 | 50 | 5 485 | 2 373 215 |
Merk: Verdiene i tabellen er avrundet til nærmeste hele krone. Nøyaktige beregninger kan gi små avvik.
Etter de to første årene (24 måneder) er restlånet redusert fra 2 500 000 kr til ca. 2 373 215 kr. Adam har betalt ned ca. 126 785 kr av lånet. Totalt har han betalt \( 24 \cdot 13\,385 = 321\,240 \) kr, hvorav størstedelen har gått til renter og gebyr.
Oppgave 5
Læreren har bedt elevene tegne en trekant \( ABC \) slik at \( \angle B = 60° \), \( BC = 8 \) cm og \( AC = 6 \) cm.
Trym og Torgeir mener begge at de har tegnet en trekant som er slik læreren har sagt den skal være, men de ser at trekantene de har tegnet, ikke er like.
Kan begge ha tegnet riktig?
Lag skisser og forklar.
Trym og Torgeir mener begge at de har tegnet en trekant som er slik læreren har sagt den skal være, men de ser at trekantene de har tegnet, ikke er like.
Kan begge ha tegnet riktig?
Lag skisser og forklar.
Vi har gitt: \( \angle B = 60° \), \( BC = 8 \) cm og \( AC = 6 \) cm. Her er \( BC \) en av sidene ved vinkel \( B \), og \( AC \) er den motliggende siden til \( \angle B \).
Vi undersøker om det er mulig å konstruere en slik trekant ved å bruke en geometrisk tilnærming.
Vi tegner \( BC = 8 \) cm og vinkel \( B = 60° \). Fra \( B \) tegner vi en stråle som danner \( 60° \) med \( BC \). Punkt \( A \) må ligge på denne strålen slik at \( AC = 6 \) cm. Vi slår en sirkel med sentrum i \( C \) og radius 6 cm.
Høyden fra \( C \) ned til strålen fra \( B \) er:
\[ h = BC \cdot \sin B = 8 \cdot \sin 60° = 8 \cdot 0{,}8660 \approx 6{,}93 \text{ cm} \]Siden \( AC = 6 < h \approx 6{,}93 \), vil sirkelen med radius 6 fra \( C \) ikke treffe strålen fra \( B \). Det betyr at det ikke er mulig å tegne en slik trekant.
Vi kan bekrefte dette med cosinussetningen. La \( AB = c \):
\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B \] \[ 6^2 = c^2 + 8^2 - 2 \cdot c \cdot 8 \cdot \cos 60° \] \[ 36 = c^2 + 64 - 8c \] \[ c^2 - 8c + 28 = 0 \]Vi bruker abc-formelen:
\[ c = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 112}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{-48}}{2} \]Diskriminanten er negativ (\( -48 < 0 \)), noe som bekrefter at det ikke finnes noen trekant med disse målene.
Nei, med de oppgitte målene kan ingen av dem ha tegnet riktig.
Høyden fra \( C \) ned på strålen fra \( B \) er \( h = BC \cdot \sin B = 8 \cdot \sin 60° \approx 6{,}93 \) cm. Siden \( AC = 6 < h \approx 6{,}93 \), finnes det ingen trekant med disse målene. Siden \( AC \) er kortere enn høyden, kan ikke punkt \( A \) nå strålen fra \( B \).
Om det tvetydige tilfellet (SSA): Dersom \( AC \) hadde vært lengre enn høyden, men kortere enn \( BC \) (dvs. \( h < AC < BC \)), ville det finnes to mulige trekanter. Da kunne begge elevene ha tegnet riktig med ulike plasseringer av punkt \( A \). Med \( AC = 7 \) cm (i stedet for 6) ville dette vært tilfellet.
Høyden fra \( C \) ned på strålen fra \( B \) er \( h = BC \cdot \sin B = 8 \cdot \sin 60° \approx 6{,}93 \) cm. Siden \( AC = 6 < h \approx 6{,}93 \), finnes det ingen trekant med disse målene. Siden \( AC \) er kortere enn høyden, kan ikke punkt \( A \) nå strålen fra \( B \).
Om det tvetydige tilfellet (SSA): Dersom \( AC \) hadde vært lengre enn høyden, men kortere enn \( BC \) (dvs. \( h < AC < BC \)), ville det finnes to mulige trekanter. Da kunne begge elevene ha tegnet riktig med ulike plasseringer av punkt \( A \). Med \( AC = 7 \) cm (i stedet for 6) ville dette vært tilfellet.
Oppgave 6
Nedenfor ser du en tabell som viser antall helsefagarbeidere i Norge i perioden 2015–2022, fordelt på kjønn.
Tenk deg at du skal presentere dette datamaterialet i et foredrag. Gjør sammenlikninger og beregninger, og lag ulike fremstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonene skal inneholde både beregninger og diagrammer.
| År | Menn | Kvinner |
|---|---|---|
| 2015 | 2 232 | 17 493 |
| 2016 | 2 911 | 21 439 |
| 2017 | 3 558 | 24 785 |
| 2018 | 3 957 | 27 327 |
| 2019 | 4 698 | 30 733 |
| 2020 | 5 511 | 33 958 |
| 2021 | 6 447 | 37 357 |
| 2022 | 7 317 | 40 472 |
Vi skal analysere datamaterialet fra flere vinkler.
1. Totalt antall helsefagarbeidere
| År | Menn | Kvinner | Totalt |
|---|---|---|---|
| 2015 | 2 232 | 17 493 | 19 725 |
| 2016 | 2 911 | 21 439 | 24 350 |
| 2017 | 3 558 | 24 785 | 28 343 |
| 2018 | 3 957 | 27 327 | 31 284 |
| 2019 | 4 698 | 30 733 | 35 431 |
| 2020 | 5 511 | 33 958 | 39 469 |
| 2021 | 6 447 | 37 357 | 43 804 |
| 2022 | 7 317 | 40 472 | 47 789 |
Det totale antallet helsefagarbeidere har økt fra 19 725 i 2015 til 47 789 i 2022.
2. Prosentvis økning totalt fra 2015 til 2022
\[ \frac{47\,789 - 19\,725}{19\,725} \cdot 100\,\% = \frac{28\,064}{19\,725} \cdot 100\,\% \approx 142{,}3\,\% \]3. Prosentvis økning for menn og kvinner separat
Menn:
\[ \frac{7\,317 - 2\,232}{2\,232} \cdot 100\,\% = \frac{5\,085}{2\,232} \cdot 100\,\% \approx 227{,}8\,\% \]Kvinner:
\[ \frac{40\,472 - 17\,493}{17\,493} \cdot 100\,\% = \frac{22\,979}{17\,493} \cdot 100\,\% \approx 131{,}4\,\% \]4. Andel menn og kvinner
| År | Andel menn | Andel kvinner |
|---|---|---|
| 2015 | \( \frac{2\,232}{19\,725} \approx 11{,}3\,\% \) | 88,7 % |
| 2016 | \( \frac{2\,911}{24\,350} \approx 12{,}0\,\% \) | 88,0 % |
| 2017 | \( \frac{3\,558}{28\,343} \approx 12{,}6\,\% \) | 87,4 % |
| 2018 | \( \frac{3\,957}{31\,284} \approx 12{,}6\,\% \) | 87,4 % |
| 2019 | \( \frac{4\,698}{35\,431} \approx 13{,}3\,\% \) | 86,7 % |
| 2020 | \( \frac{5\,511}{39\,469} \approx 14{,}0\,\% \) | 86,0 % |
| 2021 | \( \frac{6\,447}{43\,804} \approx 14{,}7\,\% \) | 85,3 % |
| 2022 | \( \frac{7\,317}{47\,789} \approx 15{,}3\,\% \) | 84,7 % |
5. Gjennomsnittlig årlig økning
Menn:
\[ \frac{7\,317 - 2\,232}{7} \approx 726 \text{ per år} \]Kvinner:
\[ \frac{40\,472 - 17\,493}{7} \approx 3\,283 \text{ per år} \]6. Vekstfaktor per år (gjennomsnittlig)
Menn:
\[ \text{Vekstfaktor} = \left(\frac{7\,317}{2\,232}\right)^{1/7} \approx 3{,}278^{1/7} \approx 1{,}184 \]Dvs. ca. 18,4 % vekst per år i gjennomsnitt.
Kvinner:
\[ \text{Vekstfaktor} = \left(\frac{40\,472}{17\,493}\right)^{1/7} \approx 2{,}314^{1/7} \approx 1{,}128 \]Dvs. ca. 12,8 % vekst per år i gjennomsnitt.
Hovedfunn:
- Det totale antallet helsefagarbeidere har mer enn doblet seg fra 2015 til 2022 (økt med ca. 142 %).
- Antall mannlige helsefagarbeidere har økt mest prosentvis (ca. 228 % mot ca. 131 % for kvinner).
- Andelen menn har økt fra ca. 11,3 % til ca. 15,3 %, men kvinner utgjør fortsatt det store flertallet.
- Det er en jevn vekst hvert år for begge kjønn, og veksten ser ut til å være tilnærmet lineær.
Oppgave 7
Tenk deg at du skal tegne en serie med kvadrater der
Tenk deg at du har veldig mange kvadrater i serien.
b) Bruk programmering til å lage et program som finner samlet omkrets av alle kvadratene.
Tenk deg at du lager nye serier med kvadrater. Du endrer størrelsen på det største kvadratet i hver serie og lar alltid sidekantene i det neste kvadratet i serien være 10 % kortere enn sidekantene i det forrige du tegnet.
c) Undersøk og beskriv sammenhengen mellom lengden av sidekantene i det største kvadratet og den samlede omkretsen av alle kvadratene i hver serie.
Ole påstår at \( T = \dfrac{4 \cdot s}{p} \cdot 100 \) er en formel for å regne ut den samlede omkretsen \( T \) av kvadratene i en serie når sidekanten i det største kvadratet er \( s \) og sidekantene i det neste kvadratet er \( p \) % kortere enn sidekantene i det forrige.
d) Undersøk om denne sammenhengen kan gjelde.
- sidekantene i det største kvadratet er 10 cm
- sidekantene i det neste kvadratet alltid er 10 % kortere enn sidekantene i det forrige du tegnet
Tenk deg at du har veldig mange kvadrater i serien.
b) Bruk programmering til å lage et program som finner samlet omkrets av alle kvadratene.
Tenk deg at du lager nye serier med kvadrater. Du endrer størrelsen på det største kvadratet i hver serie og lar alltid sidekantene i det neste kvadratet i serien være 10 % kortere enn sidekantene i det forrige du tegnet.
c) Undersøk og beskriv sammenhengen mellom lengden av sidekantene i det største kvadratet og den samlede omkretsen av alle kvadratene i hver serie.
Ole påstår at \( T = \dfrac{4 \cdot s}{p} \cdot 100 \) er en formel for å regne ut den samlede omkretsen \( T \) av kvadratene i en serie når sidekanten i det største kvadratet er \( s \) og sidekantene i det neste kvadratet er \( p \) % kortere enn sidekantene i det forrige.
d) Undersøk om denne sammenhengen kan gjelde.
a) Samlede omkretsen av de tre første kvadratene
Sidekantene i de tre første kvadratene:
- Kvadrat 1: \( s_1 = 10 \) cm
- Kvadrat 2: \( s_2 = 10 \cdot 0{,}9 = 9 \) cm (10 % kortere)
- Kvadrat 3: \( s_3 = 9 \cdot 0{,}9 = 8{,}1 \) cm
Omkretsen av hvert kvadrat er \( 4 \cdot s \):
- Omkrets 1: \( 4 \cdot 10 = 40 \) cm
- Omkrets 2: \( 4 \cdot 9 = 36 \) cm
- Omkrets 3: \( 4 \cdot 8{,}1 = 32{,}4 \) cm
Samlet omkrets:
\[ 40 + 36 + 32{,}4 = 108{,}4 \text{ cm} \]
Den samlede omkretsen av de tre første kvadratene er 108,4 cm.
b) Program som finner samlet omkrets
Vi lager et program i Python. Siden sidekantene blir 10 % kortere for hvert kvadrat, multipliserer vi med 0,9 for hvert steg. Vi stopper når sidekanten blir svært liten (praktisk talt null).
s = 10 # sidekant i det største kvadratet
total = 0 # samlet omkrets
while s > 0.0001:
total = total + 4 * s
s = s * 0.9
print(f"Samlet omkrets: {total:.1f} cm")
Alternativt: Vi kan også bruke formelen for en uendelig geometrisk rekke. Sidekantene danner en geometrisk rekke med \( s_1 = 10 \) og \( k = 0{,}9 \):
\[ S = \frac{s_1}{1 - k} = \frac{10}{1 - 0{,}9} = \frac{10}{0{,}1} = 100 \text{ cm} \]Samlet omkrets = \( 4 \cdot S = 4 \cdot 100 = 400 \) cm.
Programmet gir at den samlede omkretsen av alle kvadratene er 400 cm.
c) Sammenheng mellom sidekant og samlet omkrets
Vi prøver med ulike startsidekanter (fremdeles 10 % reduksjon per kvadrat):
| Sidekant \( s \) | Samlet omkrets |
|---|---|
| 5 cm | \( 4 \cdot \frac{5}{0{,}1} = 200 \) cm |
| 10 cm | \( 4 \cdot \frac{10}{0{,}1} = 400 \) cm |
| 15 cm | \( 4 \cdot \frac{15}{0{,}1} = 600 \) cm |
| 20 cm | \( 4 \cdot \frac{20}{0{,}1} = 800 \) cm |
Vi ser at den samlede omkretsen er proportional med sidekanten:
\[ T = 40 \cdot s \]Formelen kan også skrives som:
\[ T = \frac{4s}{1 - 0{,}9} = \frac{4s}{0{,}1} = 40s \]
Det er en lineær sammenheng mellom sidekanten \( s \) i det største kvadratet og den samlede omkretsen \( T \):
\[ T = 40s \] Hvis sidekanten dobles, dobles også den samlede omkretsen.
\[ T = 40s \] Hvis sidekanten dobles, dobles også den samlede omkretsen.
d) Undersøk Oles formel
Ole påstår at:
\[ T = \frac{4 \cdot s}{p} \cdot 100 \]der \( s \) er sidekanten i det største kvadratet og \( p \) er prosentreduksjonen.
Vi utleder den korrekte formelen. Summen av sidekantene er en uendelig geometrisk rekke med første ledd \( s \) og kvotient \( k = 1 - \frac{p}{100} \):
\[ S = \frac{s}{1 - k} = \frac{s}{1 - (1 - \frac{p}{100})} = \frac{s}{\frac{p}{100}} = \frac{100s}{p} \]Den samlede omkretsen er:
\[ T = 4 \cdot S = 4 \cdot \frac{100s}{p} = \frac{4s}{p} \cdot 100 = \frac{400s}{p} \]Vi sjekker med vårt tilfelle: \( s = 10 \), \( p = 10 \):
\[ T = \frac{4 \cdot 10}{10} \cdot 100 = \frac{40}{10} \cdot 100 = 4 \cdot 100 = 400 \]Dette stemmer med svaret vi fant i b).
Vi sjekker med et annet eksempel: \( s = 10 \), \( p = 20 \) (20 % reduksjon, \( k = 0{,}8 \)):
\[ T = \frac{4 \cdot 10}{20} \cdot 100 = 2 \cdot 100 = 200 \]Kontroll: \( 4 \cdot \frac{10}{1 - 0{,}8} = 4 \cdot \frac{10}{0{,}2} = 4 \cdot 50 = 200 \). ✔
Vi sjekker med \( s = 5 \), \( p = 25 \):
\[ T = \frac{4 \cdot 5}{25} \cdot 100 = \frac{20}{25} \cdot 100 = 0{,}8 \cdot 100 = 80 \]Kontroll: \( 4 \cdot \frac{5}{1 - 0{,}75} = 4 \cdot \frac{5}{0{,}25} = 4 \cdot 20 = 80 \). ✔
Ja, Oles formel stemmer. Formelen \( T = \dfrac{4s}{p} \cdot 100 \) gir riktig samlet omkrets for alle verdier av \( s \) og \( p \) (der \( 0 < p < 100 \)). Formelen bygger på summen av en uendelig geometrisk rekke der kvotienten \( k = 1 - \frac{p}{100} \).
Oppgave 8
- I 1990 var Norges klimagassutslipp på 51,3 millioner tonn CO2-ekvivalenter.
- I 2022 var Norges klimagassutslipp på 48,9 millioner tonn CO2-ekvivalenter.
Arne ser for seg at utslippet reduseres med en fast prosent hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange prosent den årlige reduksjonen må være for å nå målet i 2030.
a) La \( x \) være antall år etter 2022 og lag modellen.
Norge har som mål å bli et lavutslippssamfunn innen 2050. Da må klimagassutslippet reduseres med 90–95 % sammenliknet med utslippet i 1990.
b) Bruk modellen du fant i oppgave a), og vurder den opp mot opplysningene om målet for klimagassutslipp i 2050.
a) Lag modellen
Målet er at utslippet i 2030 skal være 55 % lavere enn i 1990:
\[ \text{Mål i 2030} = 51{,}3 \cdot (1 - 0{,}55) = 51{,}3 \cdot 0{,}45 = 23{,}085 \text{ mill. tonn} \]I 2022 var utslippet 48,9 mill. tonn. Fra 2022 til 2030 er det 8 år.
Med fast prosentvis reduksjon per år (vekstfaktor \( k \)) fra 2022 har vi:
\[ 48{,}9 \cdot k^8 = 23{,}085 \]Vi løser for \( k \) i GeoGebra CAS (se boks under). Det gir \( k \approx 0{,}9112 \).
Den årlige reduksjonen er:
\[ 1 - 0{,}9112 = 0{,}0888 \approx 8{,}9\,\% \text{ per år} \]Modellen med \( x \) = antall år etter 2022:
\[ U(x) = 48{,}9 \cdot 0{,}911^x \]Vi sjekker: \( U(8) = 48{,}9 \cdot 0{,}911^8 \approx 23{,}1 \) mill. tonn. ✔
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Skriv:
NLøs(48.9 · k^8 = 23.085, k) - GeoGebra gir \( k \approx 0{,}9112 \), altså ca. 8,9 % reduksjon per år
- Definer modellen:
U(x) := 48.9 · 0.911^x
Modellen er \( U(x) = 48{,}9 \cdot 0{,}911^x \), der \( x \) er antall år etter 2022.
Utslippet må reduseres med ca. 8,9 % per år for å nå målet i 2030.
Utslippet må reduseres med ca. 8,9 % per år for å nå målet i 2030.
Vanlig feil: Mange elever deler den totale reduksjonen på antall år for å finne en lineær reduksjon. Men oppgaven sier at utslippet skal reduseres med en fast prosent hvert år, som betyr eksponentiell nedgang. Du må bruke vekstfaktorer og en eksponentialmodell \(U(x) = a \cdot k^x\), og løse for \(k\) med GeoGebra (
NLøs), ikke en lineær likning.b) Vurdering av 2050-målet
I 2050 er \( x = 2050 - 2022 = 28 \) år etter 2022. Vi setter inn i modellen og bruker GeoGebra CAS (se boks under):
\[ U(28) = 48{,}9 \cdot 0{,}911^{28} \approx 3{,}6 \text{ mill. tonn} \]Prosentvis reduksjon sammenliknet med 1990-nivået (51,3 mill. tonn):
\[ \frac{51{,}3 - 3{,}6}{51{,}3} \cdot 100\,\% = \frac{47{,}7}{51{,}3} \cdot 100\,\% \approx 93{,}0\,\% \]Målet for 2050 er en reduksjon på 90–95 % sammenliknet med 1990.
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Definer modellen:
U(x) := 48.9 · 0.911^x - Sjekk 2030 (\(x = 8\)):
U(8)→ \(\approx 23{,}2\) mill. tonn (under målet på 23,1) - Finn 2050 (\(x = 28\)):
U(28)→ \(\approx 3{,}6\) mill. tonn - Prosentvis reduksjon:
(51.3 - U(28)) / 51.3 · 100→ \(\approx 93{,}0\,\%\)
Med modellen \( U(x) = 48{,}9 \cdot 0{,}911^x \) vil utslippet i 2050 bli ca. 3,6 millioner tonn, som tilsvarer en reduksjon på ca. 93 % sammenliknet med 1990-nivået.
Dette ligger innenfor målet om 90–95 % reduksjon. Dersom Norge klarer å redusere utslippet med ca. 8,9 % per år (noe som er svært ambisiøst), vil man altså nå både 2030-målet og 2050-målet. I praksis er en slik jevn prosentvis reduksjon krevende å opprettholde over så lang tid.
Dette ligger innenfor målet om 90–95 % reduksjon. Dersom Norge klarer å redusere utslippet med ca. 8,9 % per år (noe som er svært ambisiøst), vil man altså nå både 2030-målet og 2050-målet. I praksis er en slik jevn prosentvis reduksjon krevende å opprettholde over så lang tid.