Løsningsforslag – Matematikk 2P Vår 2026

Eksamen MAT1023 – 21.05.2026

Oppgave 1 (1 poeng)

Vi finner 20 % av 5200 ved å multiplisere med vekstfaktoren \(0{,}20\):

Oppgave 2 (4 poeng)

a)

Vi sorterer datamaterialet i stigende rekkefølge:

Medianen: Vi har 10 verdier (partall). Medianen er gjennomsnittet av den 5. og 6. verdien:

Gjennomsnittet:

Variasjonsbredden er differansen mellom høyeste og laveste verdi:

Typetallet er den verdien som forekommer oftest. Verdien 6 forekommer 3 ganger, mens 1 og 5 forekommer 2 ganger hver:

b)

Den relative frekvensen for 6 vogner er antall ganger 6 vogner forekommer, dividert på totalt antall observasjoner.

Verdien 6 forekommer 3 ganger av totalt 10 observasjoner:

Oppgave 3 (2 poeng)

Sammenhengen mellom vekstfaktor \(V\) og prosentvis endring \(p\):

Rad 2: \(V = 1{,}4 \Rightarrow p = (1{,}4 - 1) \cdot 100\,\% = +40\,\%\)

Rad 3: \(p = +17{,}5\,\% \Rightarrow V = 1 + 0{,}175 = 1{,}175\)

Rad 4: \(p = -28\,\% \Rightarrow V = 1 - 0{,}28 = 0{,}72\)

Rad 5: \(V = 0{,}67 \Rightarrow p = (0{,}67 - 1) \cdot 100\,\% = -33\,\%\)

Rad 6: \(V = 2 \Rightarrow p = (2 - 1) \cdot 100\,\% = +100\,\%\)

Oppgave 4 (1 poeng)

La opprinnelig pris være \(p\). Vekstfaktor for 20 % nedgang er \(0{,}80\), og vekstfaktor for 20 % oppgang er \(1{,}20\). Ny pris etter begge endringene blir:

Den nye prisen er altså 96 % av opprinnelig pris, det vil si 4 % billigere enn før endringene.

Oppgave 5 (2 poeng)

Hvis vi kaller den opprinnelige prisen \(p\), så er prisen etter tre endringer gitt ved:

For å finne tilbake til opprinnelig pris dividerer vi:

Vi sammenligner med uttrykket og leser av:

• Den nåværende prisen er 40 000 kr.
• Én av endringene har vekstfaktor \(1{,}05\) — en økning på 5 %.
• To av endringene har vekstfaktor \(0{,}85\) — to reduksjoner på 15 % hver.

Oppgave 6 (1 poeng)

I basisåret er indeksen 100, så indeksen 125 i dag betyr at prisen har økt med 25 % siden basisåret. Vekstfaktoren er \(1{,}25\):

Oppgave 7 (3 poeng)

a)

Konsumprisindeksen settes alltid lik 100 i basisåret (referanseåret) som indeksen tar utgangspunkt i. Indeksverdiene for andre år forteller hvor mange prosent prisnivået er av prisnivået i basisåret.

b)

Reallønn er nominell lønn justert for prisstigning og uttrykt i basisårets kroner. Reallønnen forteller derfor direkte om kjøpekraften. To reallønner i forskjellige år har lik kjøpekraft dersom de er like store.

c)

For å beholde samme kjøpekraft må nominell lønn øke i takt med KPI. Vi justerer den nominelle lønnen fra 2015 med forholdet mellom KPI i 2025 og KPI i 2015:

Oppgave 8 (1 poeng)

Vi gjør først om til samme enhet. 5,0 cm = 50 mm.

Målestokk uttrykkes som forholdet tegning : virkelighet:

Tegningen er altså 25 ganger større enn virkeligheten.

Oppgave 9 (3 poeng)

Figurene i eksamenens koordinatsystem er:

• Figur 1: Trekant med hjørner i \((0, 0)\), \((2, 4)\) og \((6, 0)\).
• Figur 2: Trekant med hjørner i \((4, 4)\), \((8, 0)\) og \((10, 0)\).
• Figur 3: Trapes med topp fra \((10, 4)\) til \((19, 4)\) og bunn fra \((14, 0)\) til \((20, 0)\).
• Figur 4: Tre-kvart sirkel (3/4-sirkel) med sentrum i \((24, 2)\) og radius \(r = 2\). Åpningen ligger i nedre høyre kvadrant.

Figur 1 — trekant: Grunnlinjen ligger på x-aksen fra \(x = 0\) til \(x = 6\), og toppunktet er \((2, 4)\). Grunnlinje \(g = 6\) og høyde \(h = 4\):

Figur 2 — trekant: Grunnlinjen ligger på x-aksen fra \(x = 8\) til \(x = 10\), og toppunktet er \((4, 4)\). Den vinkelrette høyden fra toppunktet ned til linjen \(y = 0\) er fortsatt \(h = 4\), og grunnlinjen er \(g = 10 - 8 = 2\):

Figur 3 — trapes: De to parallelle sidene ligger på \(y = 4\) (lengde \(19 - 10 = 9\)) og \(y = 0\) (lengde \(20 - 14 = 6\)), og høyden mellom dem er \(h = 4\):

Figur 4 — 3/4-sirkel: Sirkelen har sentrum i \((24, 2)\) og radius \(r = 2\). En kvart av sirkelen er fjernet (åpningen i nedre høyre), så vi har 3/4 av en full sirkel:

Oppgave 10 (1 poeng)

Et produkt av to faktorer er null hvis og bare hvis minst én av faktorene er null:

Oppgave 11 (4 poeng)

a)

Vi bruker addisjonsmetoden. Legger sammen de to likningene slik at \(y\) faller bort:

Setter \(x = 2\) inn i den første likningen for å finne \(y\):

Kontroll i andre likning: \(3 \cdot 2 - 0 = 6\) ✓

b)

Vi løser hver likning med hensyn på \(y\):

• \(4x + y = 8 \quad \Rightarrow \quad y = -4x + 8\) (rett linje med stigningstall \(-4\) og konstantledd 8)
• \(3x - y = 6 \quad \Rightarrow \quad y = 3x - 6\) (rett linje med stigningstall 3 og konstantledd \(-6\))

Vi tegner begge linjene i samme koordinatsystem og leser av skjæringspunktet:

Oppgave 12 (1 poeng)

L = [2, 4, 8, 16, 20]   # L er en liste med tall

a = len(L)              # Antall tall i listen L
s = sum(L)              # Summen av tallene i listen L

g = s/a

print("Resultat:")
print(g)

Vi går gjennom programmet linje for linje:

• L = [2, 4, 8, 16, 20] — Listen \(L\) inneholder fem tall.
• a = len(L) — \(a\) blir antall tall i listen, altså \(a = 5\).
• s = sum(L) — \(s\) blir summen av tallene: \(s = 2 + 4 + 8 + 16 + 20 = 50\).
• g = s/a — \(g\) blir summen dividert på antall, altså \(g = \dfrac{50}{5} = 10\).
• print(g) — Programmet skriver ut verdien \(10{,}0\).

Når vi deler summen av alle tallene på antall tall, regner vi ut gjennomsnittet av listen:

Oppgave 13 (3 poeng)

a)

Punkt \(A(50, 70)\) ligger på grafen for kumulativ frekvens i prosent. \(x\)-koordinaten er en alder, og \(y\)-koordinaten er kumulativ frekvens (i prosent).

b)

Antakelse: Aurora må anta at alderen er jevnt fordelt innenfor hvert aldersintervall. Først da kan hun bruke den kontinuerlige grafen for kumulativ frekvens til å avlese verdien som tilsvarer 50 % (medianen).

Medianen er den verdien som deler datasettet i to like store deler. Vi finner derfor alderen som tilsvarer 50 % kumulativ frekvens.

Kumulativ frekvens fra tabellen (i prosent):

50 % ligger mellom 30 % (ved alder 20) og 60 % (ved alder 30). Med antakelsen om jevn fordeling i intervallet bruker vi lineær interpolasjon:

Oppgave 1 (4 poeng)

a)

Vi modellerer utslippet med en eksponentialfunksjon med startverdi 16 000 og ukjent vekstfaktor \(a\):

Kravet er at utslippet halveres etter 6 år, altså \(U(6) = 8000\):

b)

Vekstfaktoren er \(0{,}89\). Den prosentvise endringen er:

c)

I dag er utslippet \(U(0) = 16\,000\) tonn. Etter 5 år:

Vi regner ut \(0{,}89^5\):

Samlet reduksjon over 5 år:

Gjennomsnittlig årlig reduksjon over de fem første årene:

Oppgave 2 (7 poeng)

a)

Vi sorterer datamaterialet:

Gjennomsnittet:

Medianen: 15 verdier ⇒ medianen er den 8. verdien i sortert liste:

Standardavviket regner vi ut i GeoGebra eller regneark. Vi bruker (utvalgs)standardavviket:

Sum av kvadratiske avvik fra 3:

b)

Den kumulative frekvensen for 5 fraværsdager er antallet ansatte som hadde 5 eller færre fraværsdager.

Fra sortert liste \(0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 5, 12, 15\) ser vi at alle verdier unntatt 12 og 15 er \(\leq 5\). Det gir:

c)

Vi sammenligner bedrift A og bedrift B punkt for punkt:

• Samme gjennomsnitt: Det totale fraværet er det samme i begge bedriftene (15 · 3 = 45 fraværsdager til sammen).
• Høyere median i B: Den ansatte i midten av en sortert liste har flere fraværsdager i bedrift B enn i bedrift A. Det betyr at en større andel av de ansatte i B har et merkbart antall fraværsdager — fraværet er mer jevnt fordelt mellom de ansatte.
• Lavere standardavvik i B: Spredningen rundt gjennomsnittet er mindre. Det betyr at det er færre ekstreme verdier i B (færre med svært mange eller svært få fraværsdager).

d)

Vi undersøker om påstanden alltid må stemme ved å lete etter et moteksempel. Vi konstruerer et tenkt eksempel for bedrift B som tilfredsstiller alle tre opplysningene, men har lavere kumulativ frekvens for 5 enn bedrift A:

Eksempel for bedrift B: \(\{0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 6, 6, 6\}\)

• Sum: \(0 + 6 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 3 \cdot 6 = 0 + 12 + 15 + 18 = 45\) ⇒ gjennomsnitt = \(\frac{45}{15} = 3\) ✓ (samme som A)
• Median (8. verdi i sortert liste) = \(3 > 1\) ✓ (høyere enn A)
• Sum kvadratiske avvik: \((0-3)^2 + 6(2-3)^2 + 5(3-3)^2 + 3(6-3)^2 = 9 + 6 + 0 + 27 = 42\). Standardavvik: \(s = \sqrt{42/14} = \sqrt{3} \approx 1{,}73\) ✓ (lavere enn A's ≈ 4,5)
• Kumulativ frekvens for 5: 12 ansatte har \(\leq 5\) fraværsdager (alle bortsett fra de tre 6-erne).

Bedrift A har kumulativ frekvens 13 for 5 fraværsdager, mens dette eksemplet på bedrift B har kumulativ frekvens 12. Vi har funnet et moteksempel.

Oppgave 3 (4 poeng)

Beregninger og prosentvise endringer (2019 → 2025)

Vi regner ut prosentvis endring i prosentpoeng (\(p_{2025} - p_{2019}\)) og relativ endring:

Hovedfunn:

• Smarttelefonbruken har økt med 56 % (fra 32 % til 50 %). Smarttelefonen er den klart viktigste kilden i 2025.
• Tradisjonelle kilder som radio, PC, TV, nettbrett og papiravis har alle gått tilbake.
• Papiravis har hatt den største relative nedgangen, −71 %.
• Andelen som ikke bruker noen av kildene, er uendret (4 %).

Nyhetsunngåelse: Vi summerer andelene som unngår nyheter «en gang iblant», «noen ganger» eller «ofte»:

Andelen som aktivt unngår nyheter «ofte» er kun 7 %, men nesten 6 av 10 unngår nyheter i hvert fall av og til.

Diagram 1 — Søylediagram: Kilder for dagens første nyheter (2019 vs. 2025)

Diagram 2 — Sektordiagram: Nyhetsunngåelse i Norge 2025

Diagram 3 — Linjediagram: Smarttelefonens vekst

Smarttelefonbruken som første nyhetskilde har vokst kraftig:

Oppgave 4 (2 poeng)

Dette er et annuitetslån fordi terminbeløpet (3520 kr) er konstant. For hver måned:

• Renter = restgjeld ved månedens begynnelse · 0,00975
• Avdrag = terminbeløp − renter = 3520 − renter
• Ny restgjeld = forrige restgjeld − avdrag

Vi setter opp planen i et regneark (Excel/GeoGebra Regneark). Tabellen viser de første månedene:

Med terminbeløp 3520 kr og rente 0,975 % per måned vil lånet være nedbetalt etter omtrent 24 måneder (rundt 2 år). Vi sjekker hvor mange måneder \(n\) det tar med annuitetsformelen:

Vi løser i GeoGebra CAS:

Det vil si at lånet nedbetales i løpet av 24 månedlige terminer (siste termin blir litt mindre enn 3520 kr).