Løsningsforslag – Matematikk S2 Høst 2023

Eksamen REA3062

Oppgave 1

Vi integrerer ledd for ledd:

Vi setter inn grensene:

Oppgave 2

a)

Summen av en uendelig geometrisk rekke er gitt ved:

Vi setter inn \(S = 8\) og \(a_1 = 4\):

Summen av de fire første leddene er:

b)

I en aritmetisk rekke er det \(n\)-te leddet gitt ved:

Vi skriver ut leddene:

Vi setter inn i likningen:

Vi kjenner igjen at \(a_4 = a_1 + 3d\).

Oppgave 3

a)

Enhetskostnaden er definert som \(\displaystyle E(x) = \frac{K(x)}{x}\).

Fra grafen ser vi at punkt \(A\) ligger ved \(x = 40\). Linjen \(h(x) = 81{,}75x\) går gjennom origo og gjennom punkt \(A\), altså tangerer \(h\) grafen til \(K\) i punkt \(A\). Det betyr at linjen gjennom origo og \((40, K(40))\) har stigningstall \(81{,}75\).

Vi sjekker: Linjen \(f(x) = 31x + 2030\) tangerer også \(K\) i punkt \(A\), for \(f(40) = 31 \cdot 40 + 2030 = 1240 + 2030 = 3270\).

Og \(h(40) = 81{,}75 \cdot 40 = 3270\).

Dermed er \(K(40) = 3270\).

b)

Grensekostnaden ved produksjon av \(x\) enheter er den deriverte av kostnadsfunksjonen, altså \(K'(x)\).

Fra grafen ser vi at linjen \(f(x) = 31x + 2030\) tangerer grafen til \(K\) i punkt \(A\), der \(x = 40\).

Tangenten til \(K\) i et punkt har stigningstall lik \(K'(x)\) i det punktet. Siden \(f(x) = 31x + 2030\) er tangenten til \(K\) i punkt \(A\), er stigningstallet til tangenten lik 31.

c)

Enhetskostnaden er \(\displaystyle E(x) = \frac{K(x)}{x}\). Geometrisk svarer enhetskostnaden til stigningstallet til linjen fra origo til punktet \((x, K(x))\) på grafen til \(K\).

Den minste enhetskostnaden oppnås når linjen gjennom origo tangerer grafen til \(K\). Fra grafen ser vi at \(g(x) = 60x\) er en linje gjennom origo som tangerer grafen til \(K\) i punkt \(B\).

Stigningstallet til \(g\) er 60, og dette er det minste stigningstallet en linje gjennom origo kan ha og fremdeles berøre grafen til \(K\).

Oppgave 4

a)

N = 1000
start = -2
slutt = 2
dx = (slutt - start)/N

def f(x):
    return x**2-1

S = 0
for i in range(N):
    xi = start + i*dx
    S = S + abs(f(xi))*dx

print(S)

Koden definerer funksjonen \(f(x) = x^2 - 1\) og beregner en tilnærming til integralet av \(|f(x)|\) over intervallet \([-2, 2]\).

Mer presist bruker koden en venstre Riemann-sum med \(N = 1000\) delintervaller for å tilnærme:

Funksjonen abs() tar absoluttverdien av \(f(x)\), slik at arealet mellom grafen og \(x\)-aksen regnes som positivt uavhengig av om \(f(x)\) er positiv eller negativ.

b)

Vi skal beregne \(\displaystyle \int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\, dx\).

Først finner vi hvor \(x^2 - 1 = 0\), altså \(x = -1\) og \(x = 1\).

• For \(x \in [-2, -1]\): \(x^2 - 1 \geq 0\), så \(|x^2 - 1| = x^2 - 1\).
• For \(x \in [-1, 1]\): \(x^2 - 1 \leq 0\), så \(|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) = 1 - x^2\).
• For \(x \in [1, 2]\): \(x^2 - 1 \geq 0\), så \(|x^2 - 1| = x^2 - 1\).

Vi beregner hvert integral:

Integral 1: \(\displaystyle \int_{-2}^{-1} (x^2 - 1)\, dx\)

Integral 2: \(\displaystyle \int_{-1}^{1} (1 - x^2)\, dx\)

Integral 3: \(\displaystyle \int_{1}^{2} (x^2 - 1)\, dx\)

Totalt areal:

Oppgave 5

a)

Sannsynligheten for å trekke en kule som veier 10 kg er:

Sannsynlighetsfordelingen til \(X\):

Forventningsverdien:

Vi har vist at \(E(X) = 6\) kg.

For variansen trenger vi \(E(X^2)\):

b)

\(Y\) kan ta verdiene \(4+4=8\), \(4+5=9\), \(4+10=14\), \(5+5=10\), \(5+10=15\) og \(10+10=20\).

Vi beregner sannsynlighetene (med tilbakelegging er trekkene uavhengige):

c)

Vi summerer sannsynlighetene for \(Y = 14\), \(Y = 15\) og \(Y = 20\):

Oppgave 1

a)

Vi prøver en eksponentiell modell av typen \(q(p) = a \cdot e^{bp}\).

Tar vi den naturlige logaritmen av begge sider, får vi \(\ln q = \ln a + bp\), som er en lineær sammenheng mellom \(\ln q\) og \(p\).

Vi beregner \(\ln q\) for hvert datapunkt:

Ved lineær regresjon på \(\ln q\) mot \(p\) (med CAS/regneark) finner vi:

Dermed er \(a = e^{6{,}23} \approx 507\) og \(b \approx -0{,}0758\). Vi runder av og bruker CAS-tilpasning som gir:

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

• Definer etterspørselsmodellen: q(p) := 495 * e^(-0.0758 * p)
• Verifiser ved pris 25,80 kr: Numerisk(q(25.8)) → gir \(\approx 70\) enheter ✓

b)

Vi setter \(q(p) = 70\) og løser for \(p\):

c)

Inntekten er \(I(x) = x \cdot p = x \cdot (79 - 12{,}2 \ln x)\).

Vi deriverer for å finne maksimum:

Vi setter \(I'(x) = 0\):

Vi sjekker at dette gir maksimum: \(I''(x) = -\frac{12{,}2}{x} < 0\) for alle \(x > 0\), så dette er et toppunkt.

Prisen blir:

d)

Grenseinntekten er \(I'(x) = 66{,}8 - 12{,}2 \ln x\).

Grensekostnaden er:

Vi setter \(I'(x) = K'(x)\):

Denne likningen kan ikke løses algebraisk. Vi bruker CAS/numerisk løsning og finner:

Vi verifiserer: \(I'(80) = 66{,}8 - 12{,}2 \ln 80 \approx 66{,}8 - 53{,}44 = 13{,}36\) og \(K'(80) = 0{,}042 \cdot 80 + 10 = 13{,}36\). Stemmer.

Oppgave 2

a)

Miriam setter inn 20 000 kr i begynnelsen av hvert år. Like etter at innskudd nummer 20 er satt inn, har:

• Innskudd 1 stått på konto i 19 år: \(20\,000 \cdot 1{,}035^{19}\)
• Innskudd 2 stått på konto i 18 år: \(20\,000 \cdot 1{,}035^{18}\)
• \(\vdots\)
• Innskudd 19 stått på konto i 1 år: \(20\,000 \cdot 1{,}035^{1}\)
• Innskudd 20 er nettopp satt inn: \(20\,000 \cdot 1{,}035^{0} = 20\,000\)

Totalt beløp:

Dette er en geometrisk rekke med \(a_1 = 1\), \(k = 1{,}035\) og \(n = 20\) ledd:

Vi beregner \(1{,}035^{20} \approx 1{,}9898\):

b)

La \(b\) være det faste årlige beløpet. Med samme resonnement som i oppgave a):

c)

Innskudd nummer \(k\) er \(20\,000 + (k-1) \cdot d\) for \(k = 1, 2, \ldots, 20\).

Like etter innskudd nummer 20 er totalbeløpet:

Vi deler opp i to summer:

Vi vet fra oppgave a) at \(S_1 = \frac{1{,}035^{20} - 1}{0{,}035} \approx 28{,}2797\).

For \(S_2\) bruker vi digitalt verktøy og beregner:

Vi setter \(S = 1\,000\,000\) og løser for \(d\):

Oppgave 3

a)

Vi standardiserer:

b)

Vi finner \(z\)-verdien som svarer til \(P(Z < z) = 0{,}9\):

Vi regner tilbake til \(X\):

c)

Gjennomsnittet \(\bar{X}\) av 15 uavhengige målinger er normalfordelt med:

Vi standardiserer:

d)

Hypoteser:

Dette er en ensidig (høyre) test med signifikansnivå \(\alpha = 0{,}05\).

Beregning av gjennomsnitt:

Vi antar at \(\sigma = 3{,}0\) (kjent fra oppgaven). Standardavviket til gjennomsnittsverdien er:

Testobservator:

Kritisk verdi: For en ensidig test med \(\alpha = 0{,}05\) er den kritiske verdien \(z_{0{,}05} = 1{,}645\).

P-verdi:

Konklusjon:

Siden testobservatoren \(z \approx 1{,}52 < 1{,}645\) (kritisk verdi), forkaster vi ikke \(H_0\).

Alternativt: P-verdien \(\approx 0{,}064 > 0{,}05 = \alpha\), så vi forkaster ikke \(H_0\).

Oppgave 4

a)

Vi ser på differansene mellom påfølgende figurtall:

Differansene er \(5, 10, 15, 20, \ldots\), altså \(5(n-1)\) for figur \(n\).

Vi kan forklare dette geometrisk: Hvert pentagon har 5 sider. Fra figur \(n-1\) til figur \(n\) legger vi til \(n-1\) nye kuler på hver av de 5 sidene, men 5 av disse deles med nabosidene (hjørnene), slik at netto tillegg er \(5(n-1)\).

b)

P = 1
for n in range(2, 101):
    P = P + 5 * (n - 1)
print(P)

Programmet gir:

Oppgave 5

Siden fordelingen til et tilfeldig barn er en blanding av to normalfordelinger (ikke selv en normalfordeling), bruker vi simulering.

import random

N = 100000  # antall simuleringer
antall_under_84 = 0

for i in range(N):
    # Velg tilfeldig kjønn (50/50)
    if random.random() < 0.5:
        # Jente
        høyde = random.gauss(87, 3.3)
    else:
        # Gutt
        høyde = random.gauss(88, 3.1)

    if høyde < 84:
        antall_under_84 += 1

sannsynlighet = antall_under_84 / N
print(f"P(høyde < 84) ≈ {sannsynlighet:.4f}")

Vi kan også beregne svaret eksakt. Sannsynligheten for at et tilfeldig barn er under 84 cm er:

For jenter:

For gutter: