Løsningsforslag – Matematikk S2 Vår 2023

Del 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1

Vi integrerer ledd for ledd:

Vi setter inn grensene:

Oppgave 2

Oppgave 2a

Grensekostnaden ved produksjon av 40 enheter er den deriverte av kostnadsfunksjonen \( K'(40) \). Grafisk tilsvarer dette stigningstallet til tangentlinjen til kostnadskurven i punktet der \( x = 40 \).

Vi tegner (tenker oss) tangenten til kostnadskurven i punktet \( x = 40 \) og beregner stigningstallet. Fra grafen kan vi lese av at kostnadskurven i dette området stiger fra omtrent 2000 kroner ved \( x = 30 \) til omtrent 3200 kroner ved \( x = 50 \).

Oppgave 2b

Overskuddet er gitt ved \( O(x) = I(x) - K(x) \), der \( I(x) \) er inntektsfunksjonen og \( K(x) \) er kostnadsfunksjonen.

Overskuddet er størst mulig når \( O'(x) = 0 \), altså når:

Dette betyr at overskuddet er størst når stigningstallet til inntektskurven er lik stigningstallet til kostnadskurven, altså når tangentlinjene til de to kurvene er parallelle.

Fra grafen ser vi at inntektsfunksjonen ser ut til å være tilnærmet lineær (konstant stigningstall). Vi ser etter punktet der kostnadskurven har samme stigningstall som inntektskurven. Fra grafen ser dette ut til å skje ved omtrent \( x \approx 80 \) enheter.

Oppgave 3

Oppgave 3a

Summen av alle sannsynlighetene må være lik 1:

Nå kan vi finne sannsynlighetsfordelingen:

Vi beregner:

Oppgave 3b

Forventningsverdien:

For variansen trenger vi \( \text{E}(X^2) \):

Variansen:

Oppgave 4

a = 3
d = 4
N = 10
S = 0

for i in range(N):
    S = S + a
    a = a + d

print(S)

Oppgave 4a

Programmet beregner summen av de \( N \) første leddene i en aritmetisk rekke.

Variabelen \( a \) starter på 3 (første ledd), og \( d = 4 \) er differansen. I hver runde av løkken legges det nåværende leddet til summen \( S \), og deretter økes \( a \) med \( d \).

Leddene i rekken blir: \( 3, 7, 11, 15, 19, \ldots \)

Det generelle leddet er \( a_n = 3 + (n-1) \cdot 4 = 4n - 1 \).

Oppgave 4b

Med \( N = 100 \) beregner vi summen av de 100 første leddene i den aritmetiske rekken med \( a_1 = 3 \) og \( d = 4 \).

Det siste leddet er:

Summen av en aritmetisk rekke:

Oppgave 5

La \( m_n \) være mengden virkestoff i kroppen etter at Knut har tatt tablett dag \( n \).

Hver dag brytes 10 % ned, så 90 % er igjen. I tillegg legges 7 mg til. Vi får den rekursive sammenhengen:

Med \( m_1 = 7 \).

Over tid vil mengden stabilisere seg mot en likevektsverdi \( m^* \) der \( m_n = m_{n-1} = m^* \):

Mengden virkestoff i kroppen vil nærme seg 70 mg og aldri overstige dette. Siden \( 70 < 100 \), vil Knut aldri ha mer enn 100 mg i kroppen.

Oppgave 6

Oppgave 6a

Vi har \( X \sim N(500, 50^2) \). Vi skal finne \( P(X > 600) \).

Vi standardiserer:

Fra normalfordelingstabellen: \( P(Z \leq 2{,}0) = 0{,}9772 \).

Oppgave 6b

Vi skal finne \( t \) slik at \( P(X > t) = 0{,}758 \).

Det gir:

Vi standardiserer: \( P\!\left(Z \leq \frac{t - 500}{50}\right) = 0{,}242 \).

Fra normalfordelingstabellen ser vi etter verdien nærmest 0,2420. Vi finner:

Altså:

Oppgave 6c

Vi har \( X \sim N(500, 50^2) \). Vi trenger en graf som:

• Er en normalfordelingskurve (symmetrisk, klokkeformet)
• Har forventningsverdi (topp) ved \( x = 500 \)
• Har standardavvik 50 (det meste av arealet ligger mellom ca. 350 og 650)

Graf A: Har topp rundt 400, passer ikke med \( \mu = 500 \).

Graf B: Har topp rundt 400-500, men ser skjev ut (ikke symmetrisk). Passer ikke.

Graf C: Har topp rundt 100, feil forventningsverdi.

Graf D: Har topp rundt 500 og ser ut som en normalfordelingskurve med rimelig spredning. Bredden stemmer med standardavvik 50.

Del 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1

Oppgave 1a

For et annuitetslån er terminbeløpet gitt ved formelen:

der \( L = 150\,000 \), \( r = 0{,}0049 \) (månedlig rente) og \( n = 36 \) (antall terminer).

Vi beregner:

Vi regner ut \( (1{,}0049)^{36} \):

Oppgave 1b

Vi skal finne restlånet etter 24 innbetalte terminer. Restlånet etter \( k \) terminer er:

Med \( k = 24 \):

Forsikringsselskapet betalte ut 55 000 kroner, og restlånet var ca. 52 960 kroner.

Oppgave 2

Oppgave 2a

Vi lar \( x = 0 \) svare til 2008, \( x = 2 \) til 2010, osv. Da får vi datapunktene:

Veksten er rask i starten og avtar etter hvert. Dataene har et mønster som ligner en logistisk kurve eller et polynom som flater ut. En god tilnærming kan gjøres med regresjonsanalyse i et digitalt verktøy.

Ved å bruke regresjon (f.eks. tredjegradsregresjon) på datapunktene, kan vi finne en passende modell. En tredjegradsmodell gir en god tilpasning:

Merk: Den eksakte modellen avhenger av regresjonsverktøyet som brukes. En logistisk modell kan også være hensiktsmessig. Begrunnelse for valg av modell: Datapunktene viser en vekst som øker raskt først og deretter flater ut, noe som taler for en modell med avtagende vekst.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

• Definer datapunktene: data = {(0, 2), (2, 70), (4, 246), (6, 456), (8, 582), (10, 655)}
• Lag tredjegradsregresjon: F(x) := RegPoly(data, 3)
• Beregn totalbeløpet: Numerisk(Integral(F, -0.5, 10.5)) → gir \(\approx 3\,700\) mill. kr
• Finn vekstraten i 2013: Numerisk(F'(5)) → gir \(\approx 99\) mill. kr/år

Oppgave 2b

Vi bruker modellen \( F \) fra oppgave a) og digitale verktøy til å beregne:

\( I \):

Dette beregnes numerisk med CAS/digitalt verktøy. Med modellen ovenfor:

\( G \):

Beregnes numerisk:

\( S \):

Beregnes ved å sette inn \( x = 0, 1, 2, \ldots, 10 \) i modellen og summere:

\( D \):

Dette er en numerisk tilnærming til den deriverte i \( x = 5 \). Beregnes med modellen:

Oppgave 2c

\( I \): Integralet \( \int_{-0{,}5}^{10{,}5} F(x)\,dx \) gir en tilnærming til de totale strømmeinntektene (i millioner kroner) i hele perioden 2008–2018. Intervallet \([-0{,}5;\ 10{,}5]\) er valgt slik at hvert år \( x = 0, 1, \ldots, 10 \) får et symmetrisk intervall rundt seg.

\( G \): Uttrykket \( \frac{1}{5}\int_{2{,}5}^{7{,}5} F(x)\,dx \) gir gjennomsnittlig strømmeinntekt (i millioner kroner per år) i femårsperioden fra midten av 2010 til midten av 2015 (dvs. \( x \) fra 2,5 til 7,5).

\( S \): Summen \( \sum_{i=0}^{10} F(i) \) gir de totale strømmeinntektene (i millioner kroner) for hvert av årene 2008, 2009, ..., 2018 summert opp. Dette er en annen måte å tilnærme totalinntekten i perioden.

\( D \): Uttrykket \( \frac{F(5{,}001) - F(5)}{0{,}001} \approx F'(5) \) gir den momentane vekstraten til strømmeinntektene i 2013 (\( x = 5 \)), målt i millioner kroner per år. Det forteller hvor raskt strømmeinntektene økte i 2013.

Oppgave 3

Oppgave 3a

Antagelser:

• Hvert glass er uavhengig av de andre.
• Sannsynligheten for å gjette riktig på hvert glass er \( p = 0{,}5 \) (ren gjetning mellom to colatyper).
• \( X \) er binomisk fordelt: \( X \sim \text{Bin}(10,\; 0{,}5) \).

Vi beregner:

Oppgave 3b

Vi setter opp en hypotesetest.

Hypoteser:

• \( H_0 \): \( p = 0{,}5 \) (Marte bare gjetter)
• \( H_1 \): \( p > 0{,}5 \) (Marte kan gjenkjenne colatypene)

Signifikansnivå: \( \alpha = 0{,}05 \).

Marte fikk 8 riktige av 10. Under \( H_0 \) er \( X \sim \text{Bin}(10, \; 0{,}5) \).

Vi beregner \( P(X \geq 8) \):

Siden \( P(X \geq 8) \approx 0{,}0547 > 0{,}05 = \alpha \), kan vi ikke forkaste \( H_0 \).

Oppgave 3c

Nå er \( n = 30 \) og vi har fortsatt \( X \sim \text{Bin}(30,\; 0{,}5) \) under \( H_0 \).

Vi må finne den minste verdien \( k \) slik at \( P(X \geq k) \leq 0{,}05 \).

Vi bruker digitalt verktøy til å beregne kumulativ binomisk sannsynlighet:

Med digitalt verktøy finner vi:

• \( P(X \leq 18) \approx 0{,}9001 \), så \( P(X \geq 19) \approx 0{,}0999 \) (for stor)
• \( P(X \leq 19) \approx 0{,}9506 \), så \( P(X \geq 20) \approx 0{,}0494 \) (liten nok!)

Altså er den minste verdien \( k = 20 \).

Oppgave 4

Oppgave 4a

Tilbud 1 (aritmetisk rekke med \( a_1 = 100 \) og \( d = 10 \)):

Tilbud 2 (geometrisk rekke med \( b_1 = 100 \) og \( k = 1{,}05 \)):

Oppgave 4b

Vi skal finne når \( b_n > a_n \), altså når:

Vi bruker digitalt verktøy og tester verdier, eller løser grafisk/numerisk:

Vi ser at \( b_{28} \approx 373{,}35 > 370 = a_{28} \), mens \( b_{27} \approx 355{,}57 < 360 = a_{27} \).

Oppgave 4c

Vi skal finne når den samlede lønnen fra tilbud 2 overstiger den samlede lønnen fra tilbud 1.

Sum tilbud 1 (aritmetisk rekke):

Sum tilbud 2 (geometrisk rekke):

Vi bruker digitalt verktøy til å finne når \( S_2(n) > S_1(n) \):

Vi beregner med CAS for verdier rundt skjæringspunktet:

Vi ser at \( S_2(39) = 11\,409 > 11\,310 = S_1(39) \), mens \( S_2(38) = 10\,771 < 10\,830 = S_1(38) \).

Oppgave 5

Oppgave 5a

Vi lager et Python-program som simulerer trekningen:

import numpy as np

# Parametere for de tre skolene
skoler = [
    {"mu": 3.8, "sigma": 1.2},  # Skole A
    {"mu": 3.4, "sigma": 1.4},  # Skole B
    {"mu": 4.1, "sigma": 1.1},  # Skole C
]

antall_elever = 20
karakterer = []

for i in range(antall_elever):
    # Trekk en tilfeldig skole (lik sannsynlighet)
    skole = np.random.choice([0, 1, 2])
    mu = skoler[skole]["mu"]
    sigma = skoler[skole]["sigma"]

    # Trekk en tilfeldig karakter fra den valgte skolen
    karakter = np.random.normal(mu, sigma)
    karakterer.append(karakter)

gjennomsnitt = np.mean(karakterer)
print(f"Gjennomsnittskarakter: {gjennomsnitt:.2f}")

Oppgave 5b

Vi utvider programmet til å gjennomføre mange simuleringer:

import numpy as np

skoler = [
    {"mu": 3.8, "sigma": 1.2},
    {"mu": 3.4, "sigma": 1.4},
    {"mu": 4.1, "sigma": 1.1},
]

antall_simuleringer = 100000
antall_elever = 20
antall_over_4 = 0

for sim in range(antall_simuleringer):
    karakterer = []
    for i in range(antall_elever):
        skole = np.random.choice([0, 1, 2])
        mu = skoler[skole]["mu"]
        sigma = skoler[skole]["sigma"]
        karakter = np.random.normal(mu, sigma)
        karakterer.append(karakter)

    gjennomsnitt = np.mean(karakterer)
    if gjennomsnitt > 4:
        antall_over_4 += 1

sannsynlighet = antall_over_4 / antall_simuleringer
print(f"Estimert sannsynlighet: {sannsynlighet:.4f}")

Den forventede gjennomsnittskarakteren for en tilfeldig valgt elev er:

Gjennomsnittet av 20 slike elever har forventningsverdi ca. 3,77. Sannsynligheten for at gjennomsnittet overstiger 4 er derfor relativt lav.