Løsningsforslag – Matematikk 1P Høst 2022

Eksamen MAT1019

Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no. Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.

DEL 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1

Oppgavetekst: I 2022 må innbyggerne i Lindesnes kommune betale 3,0 ‰ i eiendomsskatt. Eiendomsskatten beregnes ut fra en eiendoms likningsverdi. Familien Hansen har en bolig med likningsverdi 2 500 000 kroner.

a) Hvor mye betaler familien Hansen i eiendomsskatt i 2022?

I 2023 vil satsen øke fra 3,0 ‰ til 3,5 ‰.

b) Hvor mange prosentpoeng er endringen på?

Oppgave 1a

Eiendomsskatten beregnes ved å multiplisere likningsverdien med skattesatsen.

Satsen er 3,0 ‰, som betyr 3,0 per tusen, altså:

\[3{,}0 \text{ ‰} = \frac{3{,}0}{1000} = 0{,}003\]

Eiendomsskatten blir:

\[2\,500\,000 \cdot 0{,}003 = 7\,500\]

Svar: Familien Hansen betaler 7 500 kroner i eiendomsskatt i 2022.

Vanlig feil: Mange forveksler promille og prosent. Husk at 1 promille = 0,1 prosent = 0,001, mens 1 prosent = 10 promille = 0,01. Når satsen er 3,0 promille, betyr det 3,0 per tusen, altså at du betaler 3 kroner per 1000 kroner i likningsverdi.

Oppgave 1b

Vi skal finne endringen i prosentpoeng når satsen øker fra 3,0 ‰ til 3,5 ‰.

Først gjør vi om fra promille til prosent:

\[3{,}0 \text{ ‰} = 0{,}30 \text{ %}\] \[3{,}5 \text{ ‰} = 0{,}35 \text{ %}\]

Endringen i prosentpoeng:

\[0{,}35 \text{ %} - 0{,}30 \text{ %} = 0{,}05 \text{ prosentpoeng}\]

Svar: Endringen er på 0,05 prosentpoeng.

Oppgave 2

Oppgavetekst: David eier en tomt. Arealet av tomten er 600 m². Reguleringsplanen for tomten har et krav som sier at han ikke kan bygge på mer enn 30 % av tomtens areal.

På tomten ønsker David å bygge:

en bolig som har en grunnflate med areal 140 m²
en garasje med bredde 6 m og lengde 8 m

Gjør beregninger, og avgjør om det vil være mulig for David å bygge både huset og garasjen på tomten dersom han skal holde seg innenfor kravet i reguleringsplanen.

Vi finner først hvor stort areal David maksimalt kan bygge på:

\[600 \cdot 0{,}30 = 180 \text{ m}^2\]

Arealet av garasjen:

\[6 \cdot 8 = 48 \text{ m}^2\]

Totalt bebygd areal dersom han bygger både bolig og garasje:

\[140 + 48 = 188 \text{ m}^2\]

Vi sammenligner med maksimalt tillatt areal:

\[188 \text{ m}^2 > 180 \text{ m}^2\]

Svar: David kan ikke bygge både huset og garasjen, fordi det totale bebygde arealet (188 m²) overskrider grensen på 180 m² som reguleringsplanen tillater.

Vanlig feil: Noen regner 30 % av det totale byggearealet (188 m²) i stedet for 30 % av tomtens areal (600 m²). Kravet i reguleringsplanen gjelder prosentandelen av tomtens totale areal, ikke av det man ønsker å bygge.

Oppgave 3

Oppgavetekst: Grafen til en funksjon \(f\) er gitt. Punktene \((4, 2)\), \((25, 5)\), \((49, 7)\), \((81, 9)\) og \((100, 10)\) ligger på grafen.

a) Sett opp et mulig uttrykk for \(f(x)\). Husk å forklare hvordan du tenker.

b) Bestem, hvis det er mulig, \(f(16)\), \(f(400)\), \(f\!\left(\dfrac{9}{4}\right)\) og \(f(-25)\).

Oppgave 3a

Vi ser på sammenhengen mellom \(x\)- og \(y\)-verdiene i de oppgitte punktene:

\(x\)	4	25	49	81	100
\(y\)	2	5	7	9	10

Vi legger merke til at:

\[\sqrt{4} = 2, \quad \sqrt{25} = 5, \quad \sqrt{49} = 7, \quad \sqrt{81} = 9, \quad \sqrt{100} = 10\]

For hvert punkt gjelder altså at \(y = \sqrt{x}\).

Svar: Et mulig uttrykk er \(f(x) = \sqrt{x}\).

Oppgave 3b

Vi bruker \(f(x) = \sqrt{x}\) til å beregne verdiene:

\(f(16)\):

\[f(16) = \sqrt{16} = 4\]

\(f(400)\):

\[f(400) = \sqrt{400} = 20\]

\(f\!\left(\dfrac{9}{4}\right)\):

\[f\!\left(\frac{9}{4}\right) = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2} = 1{,}5\]

\(f(-25)\):

\(f(-25) = \sqrt{-25}\) er ikke definert for reelle tall, fordi vi ikke kan ta kvadratroten av et negativt tall. Dessuten ser vi fra grafen at funksjonen bare er definert for \(x \geq 0\).

Svar: \(f(16) = 4\), \(\; f(400) = 20\), \(\; f\!\left(\frac{9}{4}\right) = 1{,}5\).
\(f(-25)\) er ikke definert.

Oppgave 4

Oppgavetekst: I USA brukes gallon (US gallon) som måleenhet for volumer av flytende varer. Den grafiske framstillingen viser sammenhengen mellom gallon og liter, med punktene \((42, 159)\) og \((142, 538)\).

a) Bestem stigningstallet til den rette linjen. Gi en praktisk tolkning av dette tallet.

Fat er en enhet for volummåling av råolje. Ett fat tilsvarer 42 US gallon. I 2022 er det anslått at etterspørselen av råolje vil være 100 millioner fat per dag.

b) Omtrent hvor mange liter tilsvarer dette per dag? Gi svaret på standardform.

Oppgave 4a

Stigningstallet \(a\) beregnes ved hjelp av de to punktene \((42, 159)\) og \((142, 538)\):

\[a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{538 - 159}{142 - 42} = \frac{379}{100} = 3{,}79\]

Praktisk tolkning: Stigningstallet betyr at 1 US gallon tilsvarer omtrent 3,79 liter.

Svar: Stigningstallet er 3,79. Det betyr at 1 US gallon tilsvarer ca. 3,79 liter.

Oppgave 4b

Vi skal finne hvor mange liter 100 millioner fat per dag tilsvarer.

Først regner vi om fra fat til gallon:

\[100\,000\,000 \text{ fat} \cdot 42 \text{ gallon/fat} = 4\,200\,000\,000 \text{ gallon}\]

Deretter regner vi om fra gallon til liter:

\[4\,200\,000\,000 \cdot 3{,}79 = 15\,918\,000\,000 \text{ liter}\]

Vi skriver svaret på standardform:

\[15\,918\,000\,000 \approx 1{,}59 \cdot 10^{10}\]

Svar: Etterspørselen tilsvarer omtrent \(1{,}59 \cdot 10^{10}\) liter per dag, altså ca. 15,9 milliarder liter.

DEL 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1

Oppgavetekst: Strømmen som holder vannet i et hagebasseng varmt, blir slått av. Funksjonen \(T\) er gitt ved \[T(x) = 3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0{,}87^x, \quad x \geq 0\] og kan brukes som en modell for temperaturen \(T(x)\) °C i vannet \(x\) timer etter at strømmen blir slått av.

a) Hva er temperaturen i vannet når strømmen blir slått av?
b) Hvor lang tid vil det ta før temperaturen i vannet er under 20 °C?
c) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene \((0, T(0))\) og \((4, T(4))\). Gi en praktisk tolkning av svaret.
d) Undersøk om temperaturen i vannet noen gang vil synke med mer enn 5 °C i løpet av en time.
e) Gi en praktisk tolkning av tallet 3,5 i modellen.

Oppgave 1a

Når strømmen blir slått av, er \(x = 0\):

\[T(0) = 3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0{,}87^0 = 3{,}5 + 34{,}5 \cdot 1 = 38\]

Svar: Temperaturen i vannet er 38 °C når strømmen blir slått av.

Oppgave 1b

Vi skal finne når temperaturen er akkurat 20 °C, altså løse \(T(x) = 20\). I 1P bruker vi GeoGebra (eller annet digitalt verktøy) til å løse likningen:

\[ \texttt{Løs}(3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0{,}87^x = 20, \; x) \quad \Rightarrow \quad x \approx 5{,}30 \]

Vi kan også finne dette grafisk: Tegn grafen til \(T(x)\) og linjen \(y = 20\), og les av skjæringspunktet ved \(x \approx 5{,}30\). Etter dette tidspunktet er \(T(x) < 20\) °C (fordi funksjonen er strengt avtagende).

Svar: Det vil ta omtrent 5,3 timer (ca. 5 timer og 18 minutter) før temperaturen i vannet er under 20 °C.

Oppgave 1c

Vi beregner først \(T(0)\) og \(T(4)\):

\[T(0) = 38 \quad \text{(fra oppgave a)}\]

\[T(4) = 3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0{,}87^4 = 3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0{,}5718 \approx 3{,}5 + 19{,}73 = 23{,}23\]

Stigningstallet til linjen gjennom \((0,\; 38)\) og \((4,\; 23{,}23)\):

\[a = \frac{T(4) - T(0)}{4 - 0} = \frac{23{,}23 - 38}{4} = \frac{-14{,}77}{4} \approx -3{,}69\]

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt synker temperaturen i vannet med ca. 3,7 °C per time i løpet av de første 4 timene etter at strømmen er slått av.

Svar: Stigningstallet er ca. −3,69. Det betyr at temperaturen i gjennomsnitt synker med ca. 3,7 °C per time de første 4 timene.

Oppgave 1d

Vi undersøker om temperaturen noen gang synker med mer enn 5 °C i løpet av én time. Vi ser på differansen \(T(x) - T(x+1)\):

\[T(x) - T(x+1) = \bigl(3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0{,}87^x\bigr) - \bigl(3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0{,}87^{x+1}\bigr)\]

\[= 34{,}5 \cdot 0{,}87^x - 34{,}5 \cdot 0{,}87^{x+1}\]

\[= 34{,}5 \cdot 0{,}87^x \cdot (1 - 0{,}87)\]

\[= 34{,}5 \cdot 0{,}87^x \cdot 0{,}13\]

\[= 4{,}485 \cdot 0{,}87^x\]

Denne verdien er størst når \(x = 0\):

\[T(0) - T(1) = 4{,}485 \cdot 0{,}87^0 = 4{,}485 \text{ °C}\]

Siden \(0{,}87^x\) er en avtagende funksjon, vil differansen alltid være mindre enn 4,485 °C for alle \(x \geq 0\).

Svar: Nei, temperaturen vil aldri synke med mer enn 5 °C i løpet av én time. Det største temperaturfallet skjer den første timen, og det er ca. 4,5 °C.

Vanlig feil: Mange sjekker bare noen få tilfeldige timer i stedet for å vise at det gjelder generelt. Nøkkelen er å faktorisere differansen \(T(x) - T(x+1)\) og vise at den avhenger av \(0{,}87^x\), som er størst for \(x = 0\). Siden det største temperaturfallet (4,485 °C) er under 5 °C, er alle andre temperaturfall enda mindre.

Oppgave 1e

Vi ser på modellen \(T(x) = 3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0{,}87^x\).

Når \(x\) blir svært stor, vil \(0{,}87^x \to 0\), og da vil:

\[T(x) \to 3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0 = 3{,}5\]

Svar: Tallet 3,5 representerer den laveste temperaturen vannet vil nærme seg over tid. Ifølge modellen vil vanntemperaturen aldri synke under 3,5 °C. Dette kan tolkes som omgivelsestemperaturen (utetemperaturen).

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer modellen: T(x) := 3.5 + 34.5 · 0.87^x
Starttemperatur: T(0) → gir \(38\) °C
Tid før T < 20 °C: Løs(T(x) = 20, x) → gir \(x \approx 5{,}30\) timer
Gjennomsnittlig temperaturfall: (T(0) − T(4)) / 4 → gir \(\approx -3{,}69\) °C per time
Størst temperaturfall på én time: T(0) − T(1) → gir \(\approx 4{,}485\) °C (under 5 °C)

GeoGebra CAS: T(x) avkjølingsmodell, T(0)=38, Løs gir x≈5.3, stigningstall og temperaturfall

Oppgave 2

Oppgavetekst: I en bygård er det 40 leiligheter med til sammen 90 rom. Hver leilighet har enten to eller tre rom.

Hvor mange leiligheter har to rom, og hvor mange har tre rom?

Vi setter opp to likninger med to ukjente. La \(x\) være antall leiligheter med to rom og \(y\) være antall leiligheter med tre rom.

Likning 1 – Antall leiligheter:

\[x + y = 40\]

Likning 2 – Antall rom:

\[2x + 3y = 90\]

Fra likning 1: \(x = 40 - y\). Setter inn i likning 2:

\[2(40 - y) + 3y = 90\]

\[80 - 2y + 3y = 90\]

\[80 + y = 90\]

\[y = 10\]

Da er \(x = 40 - 10 = 30\).

Kontroll: \(30 \cdot 2 + 10 \cdot 3 = 60 + 30 = 90\) rom. ✔

Svar: 30 leiligheter har to rom og 10 leiligheter har tre rom.

Vanlig feil: Noen setter opp bare én likning i stedet for to. Når du har to ukjente, trenger du to likninger. Her gir informasjonen om antall leiligheter (40) én likning, og informasjonen om totalt antall rom (90) den andre. Husk alltid å kontrollere svaret ved å sette tilbake i begge likningene.

Oppgave 3

Oppgavetekst: I denne oppgaven skal du se på sammenhenger mellom ulike størrelser og avgjøre om størrelsene er proporsjonale, omvendt proporsjonale eller ingen av delene.

a) En graf viser sammenhengen mellom fart (km/h) og tid (minutter). Er fart og tid proporsjonale størrelser, omvendt proporsjonale størrelser eller ingen av delene?

b) Huskeregel: «Når farten dobles, firedobles bremselengden.» Er fart og bremselengde proporsjonale, omvendt proporsjonale eller ingen av delene?

c) For å gjøre om fra grader Fahrenheit \(F\) til grader Celsius \(C\) kan vi bruke formelen \[C = \frac{F - 32}{1{,}8}\] Er grader Celsius og grader Fahrenheit proporsjonale, omvendt proporsjonale eller ingen av delene?

Oppgave 3a

Fra grafen ser vi at når tiden øker, synker farten, og kurven ser ut som en hyperbel. Dersom fart og tid var omvendt proporsjonale, ville produktet \(\text{fart} \cdot \text{tid}\) være konstant.

Vi leser av noen verdier fra grafen:

Ved \(t \approx 10\) min: fart \(\approx 130\) km/h → produkt \(\approx 1300\)
Ved \(t \approx 20\) min: fart \(\approx 100\) km/h → produkt \(\approx 2000\)

Produktet er ikke konstant, så størrelsene er ikke omvendt proporsjonale. De er heller ikke proporsjonale (da måtte de øke sammen i et fast forhold).

Svar: Fart og tid er ingen av delene (verken proporsjonale eller omvendt proporsjonale).

Oppgave 3b

Huskeregelen sier: «Når farten dobles, firedobles bremselengden.»

Dersom vi kaller farten \(v\) og bremselengden \(B\), så betyr dette:

\[\text{Dobler } v \Rightarrow B \text{ blir } 4 \text{ ganger så stor}\]

Hvis \(B\) og \(v\) var proporsjonale, ville dobling av \(v\) gitt dobling av \(B\). Det stemmer ikke.

Hvis \(B\) og \(v\) var omvendt proporsjonale, ville dobling av \(v\) gitt halvering av \(B\). Det stemmer heller ikke.

Sammenhengen tyder på at \(B\) er proporsjonal med \(v^2\) (kvadratisk sammenheng), men det er verken proporsjonalt eller omvendt proporsjonalt i vanlig forstand.

Svar: Fart og bremselengde er ingen av delene.

Oppgave 3c

Formelen er:

\[C = \frac{F - 32}{1{,}8}\]

Vi kan skrive denne om:

\[C = \frac{F}{1{,}8} - \frac{32}{1{,}8} = \frac{F}{1{,}8} - 17{,}78\]

For proporsjonale størrelser kreves det at \(C = k \cdot F\) for en konstant \(k\), altså at grafen er en rett linje gjennom origo. Her har vi et konstantledd (\(-17{,}78\)), så linjen går ikke gjennom origo.

Vi kan kontrollere: Når \(F = 0\), blir \(C = -17{,}78 \neq 0\). Altså er forholdet \(\frac{C}{F}\) ikke konstant.

Omvendt proporsjonalitet krever \(C \cdot F = k\), og det stemmer heller ikke, da \(C\) er en lineær funksjon av \(F\).

Svar: Celsius og Fahrenheit er ingen av delene (lineær sammenheng, men ikke proporsjonal fordi grafen ikke går gjennom origo).

Oppgave 4

Oppgavetekst: Per og Solveig har nok materialer til å lage et gjerde som er 64 m langt. De skal gjerde inn et område som skal ha form som et rektangel, og de ønsker at området skal få størst mulig areal.

Per påstår at arealet blir størst mulig dersom alle sidekantene er like lange.

a) Vis at Per sin påstand kan være riktig, ved å lage en oversikt som viser arealet av ulike rektangler med omkrets 64 m.

Solveig lurer på om de kan tegne en graf som viser at Per har rett.

b) Sett opp funksjonsuttrykket for Solveig. Tegn grafen, og vis at Per sin påstand er riktig.

Oppgave 4a

Omkretsen av et rektangel med sider \(l\) (lengde) og \(b\) (bredde) er:

\[O = 2l + 2b = 64 \quad \Rightarrow \quad l + b = 32\]

Vi lager en tabell med ulike verdier av \(b\) og tilhørende \(l = 32 - b\), og regner ut arealet \(A = l \cdot b\):

Bredde \(b\) (m)	Lengde \(l = 32 - b\) (m)	Areal \(A = b \cdot l\) (m²)
2	30	60
5	27	135
8	24	192
10	22	220
12	20	240
14	18	252
15	17	255
16	16	256
17	15	255
20	12	240

Vi ser at arealet er størst (256 m²) når \(b = l = 16\) m, altså når rektangelet er et kvadrat.

Svar: Tabellen viser at arealet er størst når alle sidekantene er like lange (\(16 \text{ m} \times 16 \text{ m} = 256 \text{ m}^2\)). Per sin påstand ser ut til å være riktig.

Oppgave 4b

Vi lar \(x\) være bredden av rektangelet. Da er lengden \(32 - x\) (siden \(l + b = 32\)).

Arealet som funksjon av \(x\):

\[A(x) = x \cdot (32 - x) = 32x - x^2\]

Definisjonsmengden er \(0 < x < 32\).

Dette er en andregradsfunksjon med negativ koeffisient foran \(x^2\), så grafen er en parabel som peker nedover. Toppunktet gir det største arealet.

Toppunktet til \(A(x) = -x^2 + 32x\) finner vi ved symmetrilinjen:

\[x = -\frac{b}{2a} = -\frac{32}{2 \cdot (-1)} = \frac{32}{2} = 16\]

Maksimalt areal:

\[A(16) = 16 \cdot (32 - 16) = 16 \cdot 16 = 256 \text{ m}^2\]

Svar: Funksjonsuttrykket er \(A(x) = x(32 - x) = -x^2 + 32x\). Grafen er en parabel som peker nedover med toppunkt i \((16,\; 256)\). Arealet er størst (\(256 \text{ m}^2\)) når \(x = 16\), altså når rektangelet er et kvadrat med side 16 m. Per sin påstand er riktig.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer arealfunksjonen: A(x) := −x² + 32x
Finn toppunktet: Ekstremalpunkt(A, 0, 32) → gir \((16\,;\;256)\)
Størst areal: A(16) → gir \(256\) m²

GeoGebra CAS: A(x) arealfunksjon, Ekstremalpunkt gir (16, 256)

Oppgave 5

Oppgavetekst: Lars har skrevet følgende programkode:

def f(x):
    return 3 * x - 15

x = 0

while x <= 10:

    if f(x) == 0:
        print(x)

    x = x + 1

a) Hva ønsker han å finne ut? Hva blir resultatet når han kjører programmet?

b) Hva vil resultatet bli om han endrer funksjonsuttrykket til \(x^2 - 6x + 8\)?

Lars endrer funksjonsuttrykket til \(x^2 - 144\) og ser at han må gjøre noe med programmet.

c) Foreslå endringer Lars kan gjøre.

Oppgave 5a

Programmet definerer funksjonen \(f(x) = 3x - 15\) og sjekker for alle heltall \(x\) fra 0 til 10 om \(f(x) = 0\). Dersom det stemmer, skrives \(x\) ut.

Lars ønsker å finne nullpunktet til funksjonen, altså hvilken \(x\)-verdi som gjør at \(f(x) = 0\).

Vi løser:

\[3x - 15 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x = 15 \quad \Rightarrow \quad x = 5\]

Svar: Lars ønsker å finne nullpunktet til \(f(x) = 3x - 15\). Programmet skriver ut 5.

Oppgave 5b

Nå er \(f(x) = x^2 - 6x + 8\). Vi finner nullpunktene:

\[x^2 - 6x + 8 = 0\]

Vi faktoriserer:

\[(x - 2)(x - 4) = 0\]

\[x = 2 \quad \text{eller} \quad x = 4\]

Begge verdiene ligger i intervallet \([0, 10]\), så programmet finner begge.

Svar: Programmet skriver ut 2 og 4.

Oppgave 5c

Nå er \(f(x) = x^2 - 144\). Vi finner nullpunktene:

\[x^2 - 144 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 144 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 12\]

Nullpunktene er \(x = 12\) og \(x = -12\). Problemet er at programmet bare sjekker \(x\)-verdier fra 0 til 10, så det vil ikke finne noen av nullpunktene.

Forslag til endringer:

Endre while x <= 10 til while x <= 12 (eller et høyere tall) for å finne \(x = 12\).
For å også finne \(x = -12\): endre startverdi fra x = 0 til for eksempel x = -15 (eller et lavere tall).

En mulig endret kode:

def f(x):
    return x**2 - 144

x = -15

while x <= 15:

    if f(x) == 0:
        print(x)

    x = x + 1

Svar: Lars bør utvide søkeintervallet. For eksempel kan han endre x = 0 til x = -15 og while x <= 10 til while x <= 15. Da vil programmet finne begge nullpunktene: \(x = -12\) og \(x = 12\).

Vanlig feil: Noen endrer bare den øvre grensen (f.eks. til 15) og glemmer at funksjonen \(x^2 - 144\) også har et negativt nullpunkt. Programmet starter med \(x = 0\), så negative nullpunkter blir aldri funnet med mindre man endrer startverdien til et negativt tall.

Oppgave 6

Oppgavetekst: Klasse 1STA har utført et forsøk i naturfag. De har målt svingetiden til pendler med ulike snorlengder.

Snorlengde (meter)	0,1	0,3	0,5	0,8	1,0	1,3	1,6	2,0
Svingetid (sekund)	0,69	1,17	1,44	1,82	2,08	2,27	2,53	2,80

a) Bruk tallene i tabellen, og lag en modell på formen \(S(x) = a \cdot x^b\) som viser svingetiden \(S(x)\) sekunder til en pendel med snorlengde \(x\) meter.

Formelen \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\) kan brukes for å regne ut svingetiden \(T\) til en pendel (uten friksjon og luftmotstand). \(L\) er snorlengden i meter og \(g = 9{,}81\) m/s².

b) Vis at denne formelen kan forenkles til \(T \approx 2\sqrt{L}\).

c) Sammenlikn modellen du fant i oppgave a), med formelen for \(T\).

Oppgave 6a

Vi bruker potensregresjon i GeoGebra på alle datapunktene fra tabellen. I 1P er regresjon den forventede metoden — vi trenger ikke regne med logaritmer manuelt.

Slik gjør du det i GeoGebra:

Legg inn snorlengdene som en liste: L1 = {0.1, 0.3, 0.5, 0.8, 1.0, 1.3, 1.6, 2.0}
Legg inn svingetidene som en liste: L2 = {0.69, 1.17, 1.44, 1.82, 2.08, 2.27, 2.53, 2.80}
Kjør kommandoen: Potensregresjon(L1, L2)

GeoGebra gir omtrent:

\[ a \approx 2{,}03 \quad \text{og} \quad b \approx 0{,}47 \]

Avrundet får vi \(a \approx 2{,}0\) og \(b \approx 0{,}5\). Modellen blir:

\[ S(x) \approx 2{,}0 \cdot x^{0{,}5} = 2\sqrt{x} \]

Vi kontrollerer mot tabellen:

\(x\) (m)	Tabell \(S\) (s)	Modell \(2\sqrt{x}\) (s)
0,1	0,69	0,63
0,5	1,44	1,41
1,0	2,08	2,00
2,0	2,80	2,83

Modellen treffer godt for alle målepunktene.

Svar: En god modell er \(S(x) \approx 2\sqrt{x}\) (altså \(a \approx 2{,}0\) og \(b \approx 0{,}5\)).

Oppgave 6b

Vi starter med formelen:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\]

Vi setter inn \(g = 9{,}81\):

\[T = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{9{,}81}} = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{L}}{3{,}130}\]

\[T = \frac{2\pi}{3{,}130} \cdot \sqrt{L} = \frac{6{,}283}{3{,}130} \cdot \sqrt{L} \approx 2{,}007 \cdot \sqrt{L}\]

\[T \approx 2\sqrt{L}\]

Svar: Siden \(\dfrac{2\pi}{\sqrt{9{,}81}} \approx 2{,}007 \approx 2\), kan formelen forenkles til \(T \approx 2\sqrt{L}\).

Oppgave 6c

I oppgave a) fant vi modellen:

\[S(x) \approx 2\sqrt{x} = 2 \cdot x^{0{,}5}\]

I oppgave b) viste vi at den teoretiske formelen gir:

\[T \approx 2\sqrt{L}\]

De to uttrykkene er praktisk talt identiske. Koeffisienten \(a \approx 2\) stemmer godt overens med \(\frac{2\pi}{\sqrt{g}} \approx 2{,}007\), og eksponenten \(b \approx 0{,}5\) stemmer med kvadratrotfunksjonen.

Svar: Modellen fra forsøket (\(S(x) \approx 2\sqrt{x}\)) stemmer svært godt overens med den teoretiske formelen (\(T \approx 2\sqrt{L}\)). Både koeffisienten og eksponenten er tilnærmet like. Dette bekrefter at de eksperimentelle målingene er i god overensstemmelse med fysikkteorien.

Oppgave 7

Oppgavetekst: Sofie løper på en tredemølle. Etter tre minutter står det i displayet at hun har:

brukt 32 kilokalorier (kcal) energi
løpt 0,38 km

Sofie gjør seg noen tanker mens hun løper:

«I Cooper-testen løper man i 12 minutter. Jeg har løpt 380 m på 3 minutter. Hvor langt kommer jeg på 12 minutter?»
«Hvor mange kilokalorier bruker jeg dersom jeg løper i én time?»
«Hvor mange kilokalorier bruker jeg per kilometer jeg løper?»
«Jeg vil øke farten. Jeg har hørt at jenter må løpe minst 2200 m på 12 minutter for å få en god karakter på Cooper-testen. Hvilken fart må jeg velge?»

Etter løpingen spiser Sofie en melkesjokolade som veier 60 g. På etiketten står det at 100 g sjokolade inneholder 550 kcal.

«Er det flere kalorier i sjokoladen enn jeg brukte da jeg løp på tredemøllen?»

Gjør beregninger og vurderinger, og lag en oversikt som gir Sofie mest mulig informasjon om sammenhengene hun er opptatt av.

Vi bruker informasjonen: på 3 minutter har Sofie brukt 32 kcal og løpt 0,38 km = 380 m.

Cooper-testen – Hvor langt på 12 minutter?

Sofie løper med jevn fart. Farten hennes er:

\[\text{Fart} = \frac{380 \text{ m}}{3 \text{ min}} \approx 126{,}7 \text{ m/min}\]

På 12 minutter:

\[126{,}7 \cdot 12 = 1520 \text{ m}\]

Svar: Med denne farten vil Sofie løpe ca. 1520 m på 12 minutter.

Kilokalorier per time

Sofie bruker 32 kcal på 3 minutter. Per time (60 minutter):

\[\frac{32}{3} \cdot 60 = \frac{32 \cdot 60}{3} = \frac{1920}{3} = 640 \text{ kcal}\]

Svar: Sofie bruker ca. 640 kcal per time.

Kilokalorier per kilometer

\[\frac{32 \text{ kcal}}{0{,}38 \text{ km}} \approx 84{,}2 \text{ kcal/km}\]

Svar: Sofie bruker ca. 84 kcal per kilometer.

Hvilken fart for god karakter på Cooper-testen?

For god karakter må jenter løpe minst 2200 m på 12 minutter. Nødvendig fart:

\[\text{Fart} = \frac{2200 \text{ m}}{12 \text{ min}} \approx 183{,}3 \text{ m/min}\]

Vi regner om til km/h:

\[183{,}3 \text{ m/min} = 183{,}3 \cdot \frac{60}{1000} \text{ km/h} = 11{,}0 \text{ km/h}\]

Svar: Sofie må løpe med minst 11,0 km/h (ca. 183 m/min) for å oppnå god karakter. Hennes nåværende fart er: \[126{,}7 \text{ m/min} = 7{,}6 \text{ km/h}\] Hun må altså øke farten betydelig.

Sjokolade vs. tredemølle

Sofie spiste en melkesjokolade på 60 g. Energiinnhold:

\[\frac{550 \text{ kcal}}{100 \text{ g}} \cdot 60 \text{ g} = 330 \text{ kcal}\]

Sofie brukte 32 kcal på 3 minutter. For at hun skal forbrenne 330 kcal:

\[\frac{330}{32} \cdot 3 = \frac{990}{32} \approx 30{,}9 \text{ minutter}\]

Svar: Sjokoladen inneholder 330 kcal, mens Sofie bare forbrente 32 kcal på 3 minutter. Sjokoladen inneholder altså langt flere kalorier enn hun brukte på tredemøllen. Hun ville måttet løpe i ca. 31 minutter med samme fart for å forbrenne sjokoladen.

Sammendrag – Oversikt for Sofie

Spørsmål	Svar
Fart	ca. 7,6 km/h (126,7 m/min)
Distanse på 12 min (Cooper)	ca. 1520 m
Energiforbruk per time	ca. 640 kcal
Energiforbruk per km	ca. 84 kcal
Fart for god karakter (2200 m / 12 min)	minst 11,0 km/h
Kalorier i sjokoladen (60 g)	330 kcal
Løpetid for å forbrenne sjokoladen	ca. 31 minutter

Løsningsforslag – Matematikk 1P Høst 2022

Eksamen MAT1019

Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no. Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.

DEL 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1

Oppgave 1a

Eiendomsskatten beregnes ved å multiplisere likningsverdien med skattesatsen.

Satsen er 3,0 ‰, som betyr 3,0 per tusen, altså:

\[3{,}0 \text{ ‰} = \frac{3{,}0}{1000} = 0{,}003\]

Eiendomsskatten blir:

\[2\,500\,000 \cdot 0{,}003 = 7\,500\]

Svar: Familien Hansen betaler 7 500 kroner i eiendomsskatt i 2022.

Oppgave 1b

Vi skal finne endringen i prosentpoeng når satsen øker fra 3,0 ‰ til 3,5 ‰.

Først gjør vi om fra promille til prosent:

\[3{,}0 \text{ ‰} = 0{,}30 \text{ %}\] \[3{,}5 \text{ ‰} = 0{,}35 \text{ %}\]

Endringen i prosentpoeng:

\[0{,}35 \text{ %} - 0{,}30 \text{ %} = 0{,}05 \text{ prosentpoeng}\]

Svar: Endringen er på 0,05 prosentpoeng.

Oppgave 2

en bolig som har en grunnflate med areal 140 m²
en garasje med bredde 6 m og lengde 8 m

Gjør beregninger, og avgjør om det vil være mulig for David å bygge både huset og garasjen på tomten dersom han skal holde seg innenfor kravet i reguleringsplanen.

Vi finner først hvor stort areal David maksimalt kan bygge på:

\[600 \cdot 0{,}30 = 180 \text{ m}^2\]

Arealet av garasjen:

\[6 \cdot 8 = 48 \text{ m}^2\]

Totalt bebygd areal dersom han bygger både bolig og garasje:

\[140 + 48 = 188 \text{ m}^2\]

Vi sammenligner med maksimalt tillatt areal:

\[188 \text{ m}^2 > 180 \text{ m}^2\]

Svar: David kan ikke bygge både huset og garasjen, fordi det totale bebygde arealet (188 m²) overskrider grensen på 180 m² som reguleringsplanen tillater.

Oppgave 3

Oppgave 3a

Vi ser på sammenhengen mellom \(x\)- og \(y\)-verdiene i de oppgitte punktene:

\(x\)	4	25	49	81	100
\(y\)	2	5	7	9	10

Vi legger merke til at:

\[\sqrt{4} = 2, \quad \sqrt{25} = 5, \quad \sqrt{49} = 7, \quad \sqrt{81} = 9, \quad \sqrt{100} = 10\]

For hvert punkt gjelder altså at \(y = \sqrt{x}\).

Svar: Et mulig uttrykk er \(f(x) = \sqrt{x}\).

Oppgave 3b

Vi bruker \(f(x) = \sqrt{x}\) til å beregne verdiene:

\(f(16)\):

\[f(16) = \sqrt{16} = 4\]

\(f(400)\):

\[f(400) = \sqrt{400} = 20\]

\(f\!\left(\dfrac{9}{4}\right)\):

\[f\!\left(\frac{9}{4}\right) = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2} = 1{,}5\]

\(f(-25)\):

\(f(-25) = \sqrt{-25}\) er ikke definert for reelle tall, fordi vi ikke kan ta kvadratroten av et negativt tall. Dessuten ser vi fra grafen at funksjonen bare er definert for \(x \geq 0\).

Svar: \(f(16) = 4\), \(\; f(400) = 20\), \(\; f\!\left(\frac{9}{4}\right) = 1{,}5\).
\(f(-25)\) er ikke definert.

Oppgave 4

Oppgave 4a

Stigningstallet \(a\) beregnes ved hjelp av de to punktene \((42, 159)\) og \((142, 538)\):

\[a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{538 - 159}{142 - 42} = \frac{379}{100} = 3{,}79\]

Praktisk tolkning: Stigningstallet betyr at 1 US gallon tilsvarer omtrent 3,79 liter.

Svar: Stigningstallet er 3,79. Det betyr at 1 US gallon tilsvarer ca. 3,79 liter.

Oppgave 4b

Vi skal finne hvor mange liter 100 millioner fat per dag tilsvarer.

Først regner vi om fra fat til gallon:

\[100\,000\,000 \text{ fat} \cdot 42 \text{ gallon/fat} = 4\,200\,000\,000 \text{ gallon}\]

Deretter regner vi om fra gallon til liter:

\[4\,200\,000\,000 \cdot 3{,}79 = 15\,918\,000\,000 \text{ liter}\]

Vi skriver svaret på standardform:

\[15\,918\,000\,000 \approx 1{,}59 \cdot 10^{10}\]

Svar: Etterspørselen tilsvarer omtrent \(1{,}59 \cdot 10^{10}\) liter per dag, altså ca. 15,9 milliarder liter.

DEL 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1

Oppgave 1a

Når strømmen blir slått av, er \(x = 0\):

\[T(0) = 3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0{,}87^0 = 3{,}5 + 34{,}5 \cdot 1 = 38\]

Svar: Temperaturen i vannet er 38 °C når strømmen blir slått av.

Oppgave 1b

Vi skal finne når temperaturen er akkurat 20 °C, altså løse \(T(x) = 20\). I 1P bruker vi GeoGebra (eller annet digitalt verktøy) til å løse likningen:

\[ \texttt{Løs}(3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0{,}87^x = 20, \; x) \quad \Rightarrow \quad x \approx 5{,}30 \]

Svar: Det vil ta omtrent 5,3 timer (ca. 5 timer og 18 minutter) før temperaturen i vannet er under 20 °C.

Oppgave 1c

Vi beregner først \(T(0)\) og \(T(4)\):

\[T(0) = 38 \quad \text{(fra oppgave a)}\]

\[T(4) = 3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0{,}87^4 = 3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0{,}5718 \approx 3{,}5 + 19{,}73 = 23{,}23\]

Stigningstallet til linjen gjennom \((0,\; 38)\) og \((4,\; 23{,}23)\):

\[a = \frac{T(4) - T(0)}{4 - 0} = \frac{23{,}23 - 38}{4} = \frac{-14{,}77}{4} \approx -3{,}69\]

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt synker temperaturen i vannet med ca. 3,7 °C per time i løpet av de første 4 timene etter at strømmen er slått av.

Svar: Stigningstallet er ca. −3,69. Det betyr at temperaturen i gjennomsnitt synker med ca. 3,7 °C per time de første 4 timene.

Oppgave 1d

Vi undersøker om temperaturen noen gang synker med mer enn 5 °C i løpet av én time. Vi ser på differansen \(T(x) - T(x+1)\):

\[T(x) - T(x+1) = \bigl(3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0{,}87^x\bigr) - \bigl(3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0{,}87^{x+1}\bigr)\]

\[= 34{,}5 \cdot 0{,}87^x - 34{,}5 \cdot 0{,}87^{x+1}\]

\[= 34{,}5 \cdot 0{,}87^x \cdot (1 - 0{,}87)\]

\[= 34{,}5 \cdot 0{,}87^x \cdot 0{,}13\]

\[= 4{,}485 \cdot 0{,}87^x\]

Denne verdien er størst når \(x = 0\):

\[T(0) - T(1) = 4{,}485 \cdot 0{,}87^0 = 4{,}485 \text{ °C}\]

Siden \(0{,}87^x\) er en avtagende funksjon, vil differansen alltid være mindre enn 4,485 °C for alle \(x \geq 0\).

Svar: Nei, temperaturen vil aldri synke med mer enn 5 °C i løpet av én time. Det største temperaturfallet skjer den første timen, og det er ca. 4,5 °C.

Oppgave 1e

Vi ser på modellen \(T(x) = 3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0{,}87^x\).

Når \(x\) blir svært stor, vil \(0{,}87^x \to 0\), og da vil:

\[T(x) \to 3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0 = 3{,}5\]

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer modellen: T(x) := 3.5 + 34.5 · 0.87^x
Starttemperatur: T(0) → gir \(38\) °C
Tid før T < 20 °C: Løs(T(x) = 20, x) → gir \(x \approx 5{,}30\) timer
Gjennomsnittlig temperaturfall: (T(0) − T(4)) / 4 → gir \(\approx -3{,}69\) °C per time
Størst temperaturfall på én time: T(0) − T(1) → gir \(\approx 4{,}485\) °C (under 5 °C)

Oppgave 2

Oppgavetekst: I en bygård er det 40 leiligheter med til sammen 90 rom. Hver leilighet har enten to eller tre rom.

Hvor mange leiligheter har to rom, og hvor mange har tre rom?

Vi setter opp to likninger med to ukjente. La \(x\) være antall leiligheter med to rom og \(y\) være antall leiligheter med tre rom.

Likning 1 – Antall leiligheter:

\[x + y = 40\]

Likning 2 – Antall rom:

\[2x + 3y = 90\]

Fra likning 1: \(x = 40 - y\). Setter inn i likning 2:

\[2(40 - y) + 3y = 90\]

\[80 - 2y + 3y = 90\]

\[80 + y = 90\]

\[y = 10\]

Da er \(x = 40 - 10 = 30\).

Kontroll: \(30 \cdot 2 + 10 \cdot 3 = 60 + 30 = 90\) rom. ✔

Svar: 30 leiligheter har to rom og 10 leiligheter har tre rom.

Oppgave 3

Oppgave 3a

Fra grafen ser vi at når tiden øker, synker farten, og kurven ser ut som en hyperbel. Dersom fart og tid var omvendt proporsjonale, ville produktet \(\text{fart} \cdot \text{tid}\) være konstant.

Vi leser av noen verdier fra grafen:

Ved \(t \approx 10\) min: fart \(\approx 130\) km/h → produkt \(\approx 1300\)
Ved \(t \approx 20\) min: fart \(\approx 100\) km/h → produkt \(\approx 2000\)

Produktet er ikke konstant, så størrelsene er ikke omvendt proporsjonale. De er heller ikke proporsjonale (da måtte de øke sammen i et fast forhold).

Svar: Fart og tid er ingen av delene (verken proporsjonale eller omvendt proporsjonale).

Oppgave 3b

Huskeregelen sier: «Når farten dobles, firedobles bremselengden.»

Dersom vi kaller farten \(v\) og bremselengden \(B\), så betyr dette:

\[\text{Dobler } v \Rightarrow B \text{ blir } 4 \text{ ganger så stor}\]

Hvis \(B\) og \(v\) var proporsjonale, ville dobling av \(v\) gitt dobling av \(B\). Det stemmer ikke.

Hvis \(B\) og \(v\) var omvendt proporsjonale, ville dobling av \(v\) gitt halvering av \(B\). Det stemmer heller ikke.

Sammenhengen tyder på at \(B\) er proporsjonal med \(v^2\) (kvadratisk sammenheng), men det er verken proporsjonalt eller omvendt proporsjonalt i vanlig forstand.

Svar: Fart og bremselengde er ingen av delene.

Oppgave 3c

Formelen er:

\[C = \frac{F - 32}{1{,}8}\]

Vi kan skrive denne om:

\[C = \frac{F}{1{,}8} - \frac{32}{1{,}8} = \frac{F}{1{,}8} - 17{,}78\]

Vi kan kontrollere: Når \(F = 0\), blir \(C = -17{,}78 \neq 0\). Altså er forholdet \(\frac{C}{F}\) ikke konstant.

Omvendt proporsjonalitet krever \(C \cdot F = k\), og det stemmer heller ikke, da \(C\) er en lineær funksjon av \(F\).

Svar: Celsius og Fahrenheit er ingen av delene (lineær sammenheng, men ikke proporsjonal fordi grafen ikke går gjennom origo).

Oppgave 4

Oppgave 4a

Omkretsen av et rektangel med sider \(l\) (lengde) og \(b\) (bredde) er:

\[O = 2l + 2b = 64 \quad \Rightarrow \quad l + b = 32\]

Vi lager en tabell med ulike verdier av \(b\) og tilhørende \(l = 32 - b\), og regner ut arealet \(A = l \cdot b\):

Bredde \(b\) (m)	Lengde \(l = 32 - b\) (m)	Areal \(A = b \cdot l\) (m²)
2	30	60
5	27	135
8	24	192
10	22	220
12	20	240
14	18	252
15	17	255
16	16	256
17	15	255
20	12	240

Vi ser at arealet er størst (256 m²) når \(b = l = 16\) m, altså når rektangelet er et kvadrat.

Svar: Tabellen viser at arealet er størst når alle sidekantene er like lange (\(16 \text{ m} \times 16 \text{ m} = 256 \text{ m}^2\)). Per sin påstand ser ut til å være riktig.

Oppgave 4b

Vi lar \(x\) være bredden av rektangelet. Da er lengden \(32 - x\) (siden \(l + b = 32\)).

Arealet som funksjon av \(x\):

\[A(x) = x \cdot (32 - x) = 32x - x^2\]

Definisjonsmengden er \(0 < x < 32\).

Dette er en andregradsfunksjon med negativ koeffisient foran \(x^2\), så grafen er en parabel som peker nedover. Toppunktet gir det største arealet.

Toppunktet til \(A(x) = -x^2 + 32x\) finner vi ved symmetrilinjen:

\[x = -\frac{b}{2a} = -\frac{32}{2 \cdot (-1)} = \frac{32}{2} = 16\]

Maksimalt areal:

\[A(16) = 16 \cdot (32 - 16) = 16 \cdot 16 = 256 \text{ m}^2\]

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer arealfunksjonen: A(x) := −x² + 32x
Finn toppunktet: Ekstremalpunkt(A, 0, 32) → gir \((16\,;\;256)\)
Størst areal: A(16) → gir \(256\) m²

Oppgave 5

Oppgavetekst: Lars har skrevet følgende programkode:

def f(x):
    return 3 * x - 15

x = 0

while x <= 10:

    if f(x) == 0:
        print(x)

    x = x + 1

Oppgave 5a

Programmet definerer funksjonen \(f(x) = 3x - 15\) og sjekker for alle heltall \(x\) fra 0 til 10 om \(f(x) = 0\). Dersom det stemmer, skrives \(x\) ut.

Lars ønsker å finne nullpunktet til funksjonen, altså hvilken \(x\)-verdi som gjør at \(f(x) = 0\).

Vi løser:

\[3x - 15 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x = 15 \quad \Rightarrow \quad x = 5\]

Svar: Lars ønsker å finne nullpunktet til \(f(x) = 3x - 15\). Programmet skriver ut 5.

Oppgave 5b

Nå er \(f(x) = x^2 - 6x + 8\). Vi finner nullpunktene:

\[x^2 - 6x + 8 = 0\]

Vi faktoriserer:

\[(x - 2)(x - 4) = 0\]

\[x = 2 \quad \text{eller} \quad x = 4\]

Begge verdiene ligger i intervallet \([0, 10]\), så programmet finner begge.

Svar: Programmet skriver ut 2 og 4.

Oppgave 5c

Nå er \(f(x) = x^2 - 144\). Vi finner nullpunktene:

\[x^2 - 144 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 144 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 12\]

Nullpunktene er \(x = 12\) og \(x = -12\). Problemet er at programmet bare sjekker \(x\)-verdier fra 0 til 10, så det vil ikke finne noen av nullpunktene.

Forslag til endringer:

Endre while x <= 10 til while x <= 12 (eller et høyere tall) for å finne \(x = 12\).
For å også finne \(x = -12\): endre startverdi fra x = 0 til for eksempel x = -15 (eller et lavere tall).

En mulig endret kode:

def f(x):
    return x**2 - 144

x = -15

while x <= 15:

    if f(x) == 0:
        print(x)

    x = x + 1

Oppgave 6

Oppgavetekst: Klasse 1STA har utført et forsøk i naturfag. De har målt svingetiden til pendler med ulike snorlengder.

Snorlengde (meter)	0,1	0,3	0,5	0,8	1,0	1,3	1,6	2,0
Svingetid (sekund)	0,69	1,17	1,44	1,82	2,08	2,27	2,53	2,80

Oppgave 6a

Vi bruker potensregresjon i GeoGebra på alle datapunktene fra tabellen. I 1P er regresjon den forventede metoden — vi trenger ikke regne med logaritmer manuelt.

Slik gjør du det i GeoGebra:

Legg inn snorlengdene som en liste: L1 = {0.1, 0.3, 0.5, 0.8, 1.0, 1.3, 1.6, 2.0}
Legg inn svingetidene som en liste: L2 = {0.69, 1.17, 1.44, 1.82, 2.08, 2.27, 2.53, 2.80}
Kjør kommandoen: Potensregresjon(L1, L2)

GeoGebra gir omtrent:

\[ a \approx 2{,}03 \quad \text{og} \quad b \approx 0{,}47 \]

Avrundet får vi \(a \approx 2{,}0\) og \(b \approx 0{,}5\). Modellen blir:

\[ S(x) \approx 2{,}0 \cdot x^{0{,}5} = 2\sqrt{x} \]

Vi kontrollerer mot tabellen:

\(x\) (m)	Tabell \(S\) (s)	Modell \(2\sqrt{x}\) (s)
0,1	0,69	0,63
0,5	1,44	1,41
1,0	2,08	2,00
2,0	2,80	2,83

Modellen treffer godt for alle målepunktene.

Svar: En god modell er \(S(x) \approx 2\sqrt{x}\) (altså \(a \approx 2{,}0\) og \(b \approx 0{,}5\)).

Oppgave 6b

Vi starter med formelen:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\]

Vi setter inn \(g = 9{,}81\):

\[T = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{9{,}81}} = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{L}}{3{,}130}\]

\[T = \frac{2\pi}{3{,}130} \cdot \sqrt{L} = \frac{6{,}283}{3{,}130} \cdot \sqrt{L} \approx 2{,}007 \cdot \sqrt{L}\]

\[T \approx 2\sqrt{L}\]

Svar: Siden \(\dfrac{2\pi}{\sqrt{9{,}81}} \approx 2{,}007 \approx 2\), kan formelen forenkles til \(T \approx 2\sqrt{L}\).

Oppgave 6c

I oppgave a) fant vi modellen:

\[S(x) \approx 2\sqrt{x} = 2 \cdot x^{0{,}5}\]

I oppgave b) viste vi at den teoretiske formelen gir:

\[T \approx 2\sqrt{L}\]

Oppgave 7

Oppgavetekst: Sofie løper på en tredemølle. Etter tre minutter står det i displayet at hun har:

brukt 32 kilokalorier (kcal) energi
løpt 0,38 km

Sofie gjør seg noen tanker mens hun løper:

«I Cooper-testen løper man i 12 minutter. Jeg har løpt 380 m på 3 minutter. Hvor langt kommer jeg på 12 minutter?»
«Hvor mange kilokalorier bruker jeg dersom jeg løper i én time?»
«Hvor mange kilokalorier bruker jeg per kilometer jeg løper?»
«Jeg vil øke farten. Jeg har hørt at jenter må løpe minst 2200 m på 12 minutter for å få en god karakter på Cooper-testen. Hvilken fart må jeg velge?»

Vi bruker informasjonen: på 3 minutter har Sofie brukt 32 kcal og løpt 0,38 km = 380 m.

Cooper-testen – Hvor langt på 12 minutter?

Sofie løper med jevn fart. Farten hennes er:

\[\text{Fart} = \frac{380 \text{ m}}{3 \text{ min}} \approx 126{,}7 \text{ m/min}\]

På 12 minutter:

\[126{,}7 \cdot 12 = 1520 \text{ m}\]

Svar: Med denne farten vil Sofie løpe ca. 1520 m på 12 minutter.

Kilokalorier per time

Sofie bruker 32 kcal på 3 minutter. Per time (60 minutter):

\[\frac{32}{3} \cdot 60 = \frac{32 \cdot 60}{3} = \frac{1920}{3} = 640 \text{ kcal}\]

Svar: Sofie bruker ca. 640 kcal per time.

Kilokalorier per kilometer

\[\frac{32 \text{ kcal}}{0{,}38 \text{ km}} \approx 84{,}2 \text{ kcal/km}\]

Svar: Sofie bruker ca. 84 kcal per kilometer.

Hvilken fart for god karakter på Cooper-testen?

For god karakter må jenter løpe minst 2200 m på 12 minutter. Nødvendig fart:

\[\text{Fart} = \frac{2200 \text{ m}}{12 \text{ min}} \approx 183{,}3 \text{ m/min}\]

Vi regner om til km/h:

\[183{,}3 \text{ m/min} = 183{,}3 \cdot \frac{60}{1000} \text{ km/h} = 11{,}0 \text{ km/h}\]

Sjokolade vs. tredemølle

Sofie spiste en melkesjokolade på 60 g. Energiinnhold:

\[\frac{550 \text{ kcal}}{100 \text{ g}} \cdot 60 \text{ g} = 330 \text{ kcal}\]

Sofie brukte 32 kcal på 3 minutter. For at hun skal forbrenne 330 kcal:

\[\frac{330}{32} \cdot 3 = \frac{990}{32} \approx 30{,}9 \text{ minutter}\]

Sammendrag – Oversikt for Sofie

Spørsmål	Svar
Fart	ca. 7,6 km/h (126,7 m/min)
Distanse på 12 min (Cooper)	ca. 1520 m
Energiforbruk per time	ca. 640 kcal
Energiforbruk per km	ca. 84 kcal
Fart for god karakter (2200 m / 12 min)	minst 11,0 km/h
Kalorier i sjokoladen (60 g)	330 kcal
Løpetid for å forbrenne sjokoladen	ca. 31 minutter

Løsningsforslag Matematikk 1PHøst 2022

Løsningsforslag – Matematikk 1P Høst 2022

Oppgave 1

Oppgave 1a

Oppgave 1b

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 3a

Oppgave 3b

Oppgave 4

Oppgave 4a

Oppgave 4b

Oppgave 1

Oppgave 1a

Oppgave 1b

Oppgave 1c

Oppgave 1d

Oppgave 1e

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 3a

Oppgave 3b

Oppgave 3c

Oppgave 4

Oppgave 4a

Oppgave 4b

Oppgave 5

Oppgave 5a

Oppgave 5b

Oppgave 5c

Oppgave 6

Oppgave 6a

Oppgave 6b

Oppgave 6c

Oppgave 7

Cooper-testen – Hvor langt på 12 minutter?

Kilokalorier per time

Kilokalorier per kilometer

Hvilken fart for god karakter på Cooper-testen?

Sjokolade vs. tredemølle

Sammendrag – Oversikt for Sofie

Løsningsforslag Matematikk 1PHøst 2022

Løsningsforslag – Matematikk 1P Høst 2022

Oppgave 1

Oppgave 1a

Oppgave 1b

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 3a

Oppgave 3b

Oppgave 4

Oppgave 4a

Oppgave 4b

Oppgave 1

Oppgave 1a

Oppgave 1b

Oppgave 1c

Oppgave 1d

Oppgave 1e

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 3a

Oppgave 3b

Oppgave 3c

Oppgave 4

Oppgave 4a

Oppgave 4b

Oppgave 5

Oppgave 5a

Oppgave 5b

Oppgave 5c

Oppgave 6

Oppgave 6a

Oppgave 6b

Oppgave 6c

Oppgave 7

Cooper-testen – Hvor langt på 12 minutter?

Kilokalorier per time

Kilokalorier per kilometer

Hvilken fart for god karakter på Cooper-testen?