DEL 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (1 poeng)

En sjokoladeplate koster 40 kroner i en butikk og 60 kroner på en bensinstasjon. Hvor mange prosent dyrere er sjokoladeplaten på bensinstasjonen?

Vi finner prisøkningen:

\[ 60 - 40 = 20 \text{ kr} \]

Vi regner ut den prosentvise økningen i forhold til prisen i butikk:

\[ \frac{20}{40} \cdot 100\,\% = 50\,\% \]

Svar: Sjokoladeplaten er 50 % dyrere på bensinstasjonen.

Oppgave 2 (1 poeng)

Arbeiderpartiet fikk 40 % og Senterpartiet 20 %. Begge har økt med 5 prosentpoeng. Hvilket parti har hatt størst prosentvis framgang?

Arbeiderpartiet: Fra 40 % til 45 %.

\[ \text{Prosentvis framgang} = \frac{5}{40} \cdot 100\,\% = 12{,}5\,\% \]

Senterpartiet: Fra 20 % til 25 %.

\[ \text{Prosentvis framgang} = \frac{5}{20} \cdot 100\,\% = 25\,\% \]

Svar: Senterpartiet har hatt størst prosentvis framgang (25 % mot 12,5 %). Selv om begge økte med like mange prosentpoeng, gir 5 prosentpoeng en større relativ økning for Senterpartiet fordi de startet fra et lavere nivå.

Oppgave 3 (3 poeng)

Beskriv en praktisk situasjon der to størrelser er omvendt proporsjonale. Forklar hvorfor. Tegn graf med tre punkter.

Situasjon: Et malerlag skal male et hus. Antall malere og tiden det tar å male huset er omvendt proporsjonale.

Hvis det tar 12 timer for 1 maler, har vi sammenhengen:

\[ \text{antall malere} \cdot \text{tid} = 12 \]

Størrelsene er omvendt proporsjonale fordi produktet av antall malere og tid alltid er konstant (12). Når antall malere øker, minker tiden tilsvarende.

Vi kan skrive \( t = \frac{12}{x} \) der \( x \) er antall malere og \( t \) er tid i timer.

Tre punkter på grafen:

Antall malere \(x\)	Tid \(t\) (timer)
2	6
3	4
4	3

Grafen er en hyperbel som synker mot \(x\)-aksen uten å nå den.

Skisse:

(Grafen \( t = \dfrac{12}{x} \) med tre markerte punkter — formen er en hyperbel.)

Oppgave 4 (2 poeng)

\(\square \cdot 10^{\square} \cdot \square \cdot 10^{\square} = 8\,000\,000\,000\). Fyll inn slik at svaret blir riktig. Kan ikke bruke samme tall flere ganger. Vis at Elias kan bruke 8 av de 10 sifrene og sette opp to ulike løsninger.

Vi skriver \(8\,000\,000\,000 = 8 \cdot 10^9\).

Uttrykket \( a \cdot 10^b \cdot c \cdot 10^d = ac \cdot 10^{b+d} \), så vi trenger \( ac = 8 \) og \( b + d = 9 \).

Løsning 1:

\[ 2 \cdot 10^3 \cdot 4 \cdot 10^6 = 8 \cdot 10^9 = 8\,000\,000\,000 \]

Bruker sifrene: 2, 3, 4, 6

Løsning 2:

\[ 1 \cdot 10^0 \cdot 8 \cdot 10^9 = 8 \cdot 10^9 = 8\,000\,000\,000 \]

Bruker sifrene: 1, 0, 8, 9

Svar: De to løsningene bruker til sammen sifrene 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 – altså 8 av de 10 sifrene, og alle er ulike. Elias har rett.

Oppgave 5 (2 poeng)

I blodet: \(7 \cdot 10^9\) hvite blodceller, \(5 \cdot 10^{12}\) røde blodceller og \(3 \cdot 10^{11}\) blodplater. Hvor mange blodceller til sammen?

Vi gjør om alle tallene til samme tierpotens (\(10^{12}\)):

\[ 7 \cdot 10^9 = 0{,}007 \cdot 10^{12} \] \[ 5 \cdot 10^{12} = 5 \cdot 10^{12} \] \[ 3 \cdot 10^{11} = 0{,}3 \cdot 10^{12} \]

Summen blir:

\[ (0{,}007 + 5 + 0{,}3) \cdot 10^{12} = 5{,}307 \cdot 10^{12} \]

Svar: Det er til sammen \(5{,}307 \cdot 10^{12} \approx 5{,}3 \cdot 10^{12}\) blodceller i en liter blod.

Oppgave 6 (2 poeng)

Tre figurer satt sammen av små grønne kvadrater. a) Hvor mange i figur 5? b) Formel for figur \(n\).

Vi teller kvadratene i figurene:

Figur \(n\)	1	2	3
Antall kvadrater	4	9	16

Vi kjenner igjen tallene \(4, 9, 16\) som kvadrattall: \(2^2, 3^2, 4^2\). Det vil si at antall kvadrater i figur \(n\) er \((n+1)^2\).

Vi sjekker formelen \( a(n) = (n+1)^2 \):

\( a(1) = (1+1)^2 = 2^2 = 4 \) ✓
\( a(2) = (2+1)^2 = 3^2 = 9 \) ✓
\( a(3) = (3+1)^2 = 4^2 = 16 \) ✓

a) Antall kvadrater i figur 5:

\[ a(5) = (5+1)^2 = 6^2 = 36 \]

Svar:
a) Figur 5 har 36 små grønne kvadrater.
b) Antall kvadrater i figur \(n\) er gitt ved \( a(n) = (n+1)^2 \).

Oppgave 7 (3 poeng)

Lars har 120 000 kr. Han lager et Python-program for å finne ut når han når 1 000 000 kr.

konto = 120000
sparebeløp = 24000
vekstfaktor = 1.058
år = 0

while konto < 1000000:
    konto = konto + sparebeløp
    konto = konto * vekstfaktor
    år = år + 1

print(år)
print(konto)

Hva programmet forteller:

Lars har 120 000 kr på konto. Hvert år setter han inn 24 000 kr, og deretter vokser kontoen med en vekstfaktor på 1,058 (dvs. 5,8 % rente). Programmet regner ut hvor mange år det tar før kontoen passerer 1 000 000 kr.

Verdier som skrives ut:

Programmet skriver ut:

17
1016759.6984089151

Svar: Lars trenger 17 år for å nå 1 000 000 kr. Etter 17 år har han ca. 1 016 760 kr på kontoen.

Oppgave 8 (4 poeng)

Lineær sammenheng mellom hektogram godteri og pris. \(G(x) = ax + b\) med punktene \((5, 90)\) og \((20, 270)\).

a) Bestem \(a\) og \(b\):

Stigningstallet \(a\):

\[ a = \frac{270 - 90}{20 - 5} = \frac{180}{15} = 12 \]

Vi bruker punktet \((5, 90)\) til å finne \(b\):

\[ 90 = 12 \cdot 5 + b \implies b = 90 - 60 = 30 \]

Svar a): \( a = 12 \) og \( b = 30 \), så \( G(x) = 12x + 30 \)

b) Praktisk tolkning:

\(a = 12\): Prisen øker med 12 kroner for hvert hektogram godteri Nora legger i bøtta.
\(b = 30\): Den tomme bøtta koster 30 kroner (prisen uten godteri).

c) Pris for 8 hg godteri:

\[ G(8) = 12 \cdot 8 + 30 = 96 + 30 = 126 \]

Svar c): En bøtte med 8 hg godteri koster 126 kroner.

DEL 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng)

Kikhostetilfeller i Norge. \(K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^x\) der \(x\) er antall måneder etter desember 2022.

a) Vis at modellen er god:

Vi sammenligner modellverdier med tabellverdier:

Måned	\(x\)	Faktisk	\(K(x)\)
Jan 2023	1	29	33
Mai 2023	5	93	69
Okt 2023	10	164	172
Feb 2024	14	284	357
Aug 2024	20	1035	1066
Okt 2024	22	1657	1535

Modellen gir verdier som er i samme størrelsesorden som de faktiske tallene. For de høyere \(x\)-verdiene (august og oktober 2024) er modellen ganske nær. Selv om det er avvik på enkeltmåneder, fanger modellen den eksponentielle veksten godt.

b) Praktisk tolkning av 1,2:

Tallet 1,2 er vekstfaktoren per måned. Det betyr at antall registrerte kikhostetilfeller øker med ca. 20 % per måned.

c) Stigningstall:

\[ K(4) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^4 \approx 57{,}6 \] \[ K(21) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{21} \approx 1278{,}9 \]

\[ \text{Stigningstall} = \frac{K(21) - K(4)}{21 - 4} = \frac{1278{,}9 - 57{,}6}{17} \approx 71{,}8 \]

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt økte antall registrerte kikhostetilfeller med ca. 72 per måned i perioden fra april 2023 til september 2024.

d) Mai 2025:

Mai 2025 tilsvarer \(x = 29\) (29 måneder etter desember 2022).

\[ K(29) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{29} \approx 5499 \]

Svar: Ifølge modellen vil ca. 5500 tilfeller av kikhoste bli registrert i mai 2025.

Oppgave 2 (2 poeng)

Stikk UT!: 40 000 deltakere, nær 1 million turer, 3,3 millioner km tilbakelagt, tilsvarer 83 ganger rundt jorda.

a) Gjennomsnittlig ganglengde per deltaker:

\[ \frac{3\,300\,000 \text{ km}}{40\,000 \text{ deltakere}} = 82{,}5 \text{ km per deltaker} \]

Svar a): Hver deltaker har i gjennomsnitt gått 82,5 km.

b) Jordas omkrets ifølge Sunnmøre friluftsråd:

\[ \frac{3\,300\,000 \text{ km}}{83} \approx 39\,759 \text{ km} \]

Svar b): Sunnmøre friluftsråd har regnet at det er ca. 39 759 km rundt jorda (nær den faktiske verdien på ca. 40 075 km).

Oppgave 3 (3 poeng)

Elise selger aviser à 49 kr. Tilbud 1: 35 % provisjon. Tilbud 2: 150 kr fast + 10 kr per avis. Gi Elise råd.

La \(x\) være antall aviser Elise selger per lørdag.

Tilbud 1: Lønn = 35 % av salgsbeløpet

\[ T_1(x) = 0{,}35 \cdot 49 \cdot x = 17{,}15x \]

Tilbud 2: Fast lønn + tillegg per avis

\[ T_2(x) = 150 + 10x \]

Når gir tilbudene lik lønn?

\[ 17{,}15x = 150 + 10x \] \[ 7{,}15x = 150 \] \[ x = \frac{150}{7{,}15} \approx 21{,}0 \]

Vi sjekker:

Antall aviser	Tilbud 1	Tilbud 2
10	171,50 kr	250 kr
21	360,15 kr	360 kr
30	514,50 kr	450 kr

Råd til Elise:

Selger hun færre enn 21 aviser: Velg tilbud 2 (fast lønn gir trygg inntekt).
Selger hun mer enn 21 aviser: Velg tilbud 1 (provisjonen gir mer).

Hvis Elise er usikker på hvor mange hun selger, er tilbud 2 tryggest fordi hun er garantert minst 150 kr uansett.

Oppgave 4 (2 poeng)

«Kjøp 4 aviser for 99 kroner, spar 49 %». Hva koster Dagbladet Lørdag uten rabatt?

Når man sparer 49 %, betaler man 51 % av ordinær pris. La \(p\) = pris per avis uten rabatt.

\[ 4p \cdot 0{,}51 = 99 \] \[ 4p = \frac{99}{0{,}51} \approx 194{,}12 \] \[ p = \frac{194{,}12}{4} \approx 48{,}53 \text{ kr} \]

Vi kan sjekke med et annet tilbud: «Kjøp 52 aviser for 1399 kr, spar 45 %»:

\[ p = \frac{1399}{52 \cdot 0{,}55} = \frac{1399}{28{,}6} \approx 48{,}9 \text{ kr} \]

Svar: Dagbladet Lørdag koster ca. 48,50–49 kroner uten rabatt. Spareprosenten er avrundet, så den eksakte prisen er omtrent 49 kr.

Oppgave 5 (2 poeng)

Terrassebord: Furu 28×145 til 67,90 kr/m og Furu 28×095 til 49,90 kr/m. Finn pris per kvadratmeter.

Bredden er oppgitt i mm. Vi gjør om til meter for å finne pris per m².

Furu 28×145: Bredde = 145 mm = 0,145 m

\[ \text{Pris per m}^2 = \frac{67{,}90 \text{ kr/m}}{0{,}145 \text{ m}} \approx 468{,}28 \text{ kr/m}^2 \]

Furu 28×095: Bredde = 95 mm = 0,095 m

\[ \text{Pris per m}^2 = \frac{49{,}90 \text{ kr/m}}{0{,}095 \text{ m}} \approx 525{,}26 \text{ kr/m}^2 \]

Svar: Furu 28×145 koster ca. 468 kr/m², og Furu 28×095 koster ca. 525 kr/m². Det bredere bordet er altså billigst per kvadratmeter.

Oppgave 6 (6 poeng)

Sylinderformede bokser med volum 450 cm³. \(V = \pi r^2 h\) og \(O = \pi r^2 + 2\pi r h\).

a) Fylle inn tabellen:

Fra \(V = \pi r^2 h = 450\) finner vi \(h = \frac{450}{\pi r^2}\).

Radius \(r\) (cm)	Høyde \(h\) (cm)	Overflate \(O\) (cm²)	Volum \(V\) (cm³)
2	35,81	462,6	450
4	8,95	275,3	450
6	3,98	263,1	450
8	2,24	313,6	450

Eksempel for \(r = 4\):

\[ h = \frac{450}{\pi \cdot 4^2} = \frac{450}{16\pi} \approx 8{,}95 \text{ cm} \] \[ O = \pi \cdot 4^2 + 2\pi \cdot 4 \cdot 8{,}95 = 16\pi + 71{,}6\pi \approx 275{,}3 \text{ cm}^2 \]

b) Funksjonsuttrykk for overflaten:

Vi setter inn \(h = \frac{450}{\pi r^2}\) i formelen for overflaten:

\[ O(r) = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{450}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{900}{r} \]

Svar b): \( O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r} \)

c) Minste overflate:

Vi tegner grafen til \(O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r}\) i GeoGebra og leter etter bunnpunktet (minimumspunktet) på grafen.

📊 Slik gjør du det i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn: O(r) = π*r^2 + 900/r
Bruk kommandoen: Ekstremalpunkt(O, 0, 10) for å finne minimumspunktet
GeoGebra gir punktet \(M \approx (5{,}23\,;\;257{,}97)\)

GeoGebra-graf: O(r) = π·r² + 900/r med minimumspunkt M ≈ (5,23; 258)

Vi kan også gjøre det i CAS:

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer funksjonen: O(r) := π*r^2 + 900/r
Finn minimum: Min(O, 0, 10) → gir \(r \approx 5{,}23\)
Regn ut overflaten: O(5.23) → gir \(\approx 257{,}97\) cm²

GeoGebra CAS: O(r) = π·r² + 900/r, Min gir r ≈ 5,23 og O(5,23) ≈ 258

Svar c): Overflaten blir minst mulig når \(r \approx 5{,}2\) cm. Da blir overflaten ca. \(258\) cm².

Oppgave 7 (3 poeng)

Sofie kjøper bagett i kantina for 65 kr/dag. Vurderer å kjøpe i butikk og smøre selv. Gjør antakelser og finn sparing per måned.

Antakelser om priser i butikk (per dag):

Ingrediens	Butikkpris	Rekker til	Per dag
Baguetter (2-pk)	30 kr	2 dager	15,00 kr
Smør	50 kr	20 dager	2,50 kr
Ost (500 g)	50 kr	5 dager	10,00 kr
Skinke (150 g)	40 kr	5 dager	8,00 kr
Tomat	15 kr	3 dager	5,00 kr
Salat	20 kr	4 dager	5,00 kr
Sum per dag	45,50 kr

Sparing per dag:

\[ 65 - 45{,}50 = 19{,}50 \text{ kr per dag} \]

Sparing per måned (ca. 22 skoledager):

\[ 19{,}50 \cdot 22 = 429 \text{ kr per måned} \]

Svar: Med disse antakelsene sparer Sofie ca. 430 kroner i måneden ved å lage bagettene selv. Nøyaktig beløp avhenger av prisene i butikken og hvor lenge ingrediensene varer.

DEL 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (1 poeng)

En sjokoladeplate koster 40 kroner i en butikk og 60 kroner på en bensinstasjon. Hvor mange prosent dyrere er sjokoladeplaten på bensinstasjonen?

Vi finner prisøkningen:

\[ 60 - 40 = 20 \text{ kr} \]

Vi regner ut den prosentvise økningen i forhold til prisen i butikk:

\[ \frac{20}{40} \cdot 100\,\% = 50\,\% \]

Svar: Sjokoladeplaten er 50 % dyrere på bensinstasjonen.

Oppgave 2 (1 poeng)

Arbeiderpartiet fikk 40 % og Senterpartiet 20 %. Begge har økt med 5 prosentpoeng. Hvilket parti har hatt størst prosentvis framgang?

Arbeiderpartiet: Fra 40 % til 45 %.

\[ \text{Prosentvis framgang} = \frac{5}{40} \cdot 100\,\% = 12{,}5\,\% \]

Senterpartiet: Fra 20 % til 25 %.

\[ \text{Prosentvis framgang} = \frac{5}{20} \cdot 100\,\% = 25\,\% \]

Oppgave 3 (3 poeng)

Beskriv en praktisk situasjon der to størrelser er omvendt proporsjonale. Forklar hvorfor. Tegn graf med tre punkter.

Situasjon: Et malerlag skal male et hus. Antall malere og tiden det tar å male huset er omvendt proporsjonale.

Hvis det tar 12 timer for 1 maler, har vi sammenhengen:

\[ \text{antall malere} \cdot \text{tid} = 12 \]

Størrelsene er omvendt proporsjonale fordi produktet av antall malere og tid alltid er konstant (12). Når antall malere øker, minker tiden tilsvarende.

Vi kan skrive \( t = \frac{12}{x} \) der \( x \) er antall malere og \( t \) er tid i timer.

Tre punkter på grafen:

Antall malere \(x\)	Tid \(t\) (timer)
2	6
3	4
4	3

Grafen er en hyperbel som synker mot \(x\)-aksen uten å nå den.

Skisse:

(Grafen \( t = \dfrac{12}{x} \) med tre markerte punkter — formen er en hyperbel.)

Oppgave 4 (2 poeng)

Vi skriver \(8\,000\,000\,000 = 8 \cdot 10^9\).

Uttrykket \( a \cdot 10^b \cdot c \cdot 10^d = ac \cdot 10^{b+d} \), så vi trenger \( ac = 8 \) og \( b + d = 9 \).

Løsning 1:

\[ 2 \cdot 10^3 \cdot 4 \cdot 10^6 = 8 \cdot 10^9 = 8\,000\,000\,000 \]

Bruker sifrene: 2, 3, 4, 6

Løsning 2:

\[ 1 \cdot 10^0 \cdot 8 \cdot 10^9 = 8 \cdot 10^9 = 8\,000\,000\,000 \]

Bruker sifrene: 1, 0, 8, 9

Svar: De to løsningene bruker til sammen sifrene 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 – altså 8 av de 10 sifrene, og alle er ulike. Elias har rett.

Oppgave 5 (2 poeng)

I blodet: \(7 \cdot 10^9\) hvite blodceller, \(5 \cdot 10^{12}\) røde blodceller og \(3 \cdot 10^{11}\) blodplater. Hvor mange blodceller til sammen?

Vi gjør om alle tallene til samme tierpotens (\(10^{12}\)):

\[ 7 \cdot 10^9 = 0{,}007 \cdot 10^{12} \] \[ 5 \cdot 10^{12} = 5 \cdot 10^{12} \] \[ 3 \cdot 10^{11} = 0{,}3 \cdot 10^{12} \]

Summen blir:

\[ (0{,}007 + 5 + 0{,}3) \cdot 10^{12} = 5{,}307 \cdot 10^{12} \]

Svar: Det er til sammen \(5{,}307 \cdot 10^{12} \approx 5{,}3 \cdot 10^{12}\) blodceller i en liter blod.

Oppgave 6 (2 poeng)

Tre figurer satt sammen av små grønne kvadrater. a) Hvor mange i figur 5? b) Formel for figur \(n\).

Vi teller kvadratene i figurene:

Figur \(n\)	1	2	3
Antall kvadrater	4	9	16

Vi kjenner igjen tallene \(4, 9, 16\) som kvadrattall: \(2^2, 3^2, 4^2\). Det vil si at antall kvadrater i figur \(n\) er \((n+1)^2\).

Vi sjekker formelen \( a(n) = (n+1)^2 \):

\( a(1) = (1+1)^2 = 2^2 = 4 \) ✓
\( a(2) = (2+1)^2 = 3^2 = 9 \) ✓
\( a(3) = (3+1)^2 = 4^2 = 16 \) ✓

a) Antall kvadrater i figur 5:

\[ a(5) = (5+1)^2 = 6^2 = 36 \]

Svar:
a) Figur 5 har 36 små grønne kvadrater.
b) Antall kvadrater i figur \(n\) er gitt ved \( a(n) = (n+1)^2 \).

Oppgave 7 (3 poeng)

Lars har 120 000 kr. Han lager et Python-program for å finne ut når han når 1 000 000 kr.

konto = 120000
sparebeløp = 24000
vekstfaktor = 1.058
år = 0

while konto < 1000000:
    konto = konto + sparebeløp
    konto = konto * vekstfaktor
    år = år + 1

print(år)
print(konto)

Hva programmet forteller:

Verdier som skrives ut:

Programmet skriver ut:

17
1016759.6984089151

Svar: Lars trenger 17 år for å nå 1 000 000 kr. Etter 17 år har han ca. 1 016 760 kr på kontoen.

Oppgave 8 (4 poeng)

Lineær sammenheng mellom hektogram godteri og pris. \(G(x) = ax + b\) med punktene \((5, 90)\) og \((20, 270)\).

a) Bestem \(a\) og \(b\):

Stigningstallet \(a\):

\[ a = \frac{270 - 90}{20 - 5} = \frac{180}{15} = 12 \]

Vi bruker punktet \((5, 90)\) til å finne \(b\):

\[ 90 = 12 \cdot 5 + b \implies b = 90 - 60 = 30 \]

Svar a): \( a = 12 \) og \( b = 30 \), så \( G(x) = 12x + 30 \)

b) Praktisk tolkning:

\(a = 12\): Prisen øker med 12 kroner for hvert hektogram godteri Nora legger i bøtta.
\(b = 30\): Den tomme bøtta koster 30 kroner (prisen uten godteri).

c) Pris for 8 hg godteri:

\[ G(8) = 12 \cdot 8 + 30 = 96 + 30 = 126 \]

Svar c): En bøtte med 8 hg godteri koster 126 kroner.

DEL 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng)

Kikhostetilfeller i Norge. \(K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^x\) der \(x\) er antall måneder etter desember 2022.

a) Vis at modellen er god:

Vi sammenligner modellverdier med tabellverdier:

Måned	\(x\)	Faktisk	\(K(x)\)
Jan 2023	1	29	33
Mai 2023	5	93	69
Okt 2023	10	164	172
Feb 2024	14	284	357
Aug 2024	20	1035	1066
Okt 2024	22	1657	1535

b) Praktisk tolkning av 1,2:

Tallet 1,2 er vekstfaktoren per måned. Det betyr at antall registrerte kikhostetilfeller øker med ca. 20 % per måned.

c) Stigningstall:

\[ K(4) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^4 \approx 57{,}6 \] \[ K(21) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{21} \approx 1278{,}9 \]

\[ \text{Stigningstall} = \frac{K(21) - K(4)}{21 - 4} = \frac{1278{,}9 - 57{,}6}{17} \approx 71{,}8 \]

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt økte antall registrerte kikhostetilfeller med ca. 72 per måned i perioden fra april 2023 til september 2024.

d) Mai 2025:

Mai 2025 tilsvarer \(x = 29\) (29 måneder etter desember 2022).

\[ K(29) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{29} \approx 5499 \]

Svar: Ifølge modellen vil ca. 5500 tilfeller av kikhoste bli registrert i mai 2025.

Oppgave 2 (2 poeng)

Stikk UT!: 40 000 deltakere, nær 1 million turer, 3,3 millioner km tilbakelagt, tilsvarer 83 ganger rundt jorda.

a) Gjennomsnittlig ganglengde per deltaker:

\[ \frac{3\,300\,000 \text{ km}}{40\,000 \text{ deltakere}} = 82{,}5 \text{ km per deltaker} \]

Svar a): Hver deltaker har i gjennomsnitt gått 82,5 km.

b) Jordas omkrets ifølge Sunnmøre friluftsråd:

\[ \frac{3\,300\,000 \text{ km}}{83} \approx 39\,759 \text{ km} \]

Svar b): Sunnmøre friluftsråd har regnet at det er ca. 39 759 km rundt jorda (nær den faktiske verdien på ca. 40 075 km).

Oppgave 3 (3 poeng)

Elise selger aviser à 49 kr. Tilbud 1: 35 % provisjon. Tilbud 2: 150 kr fast + 10 kr per avis. Gi Elise råd.

La \(x\) være antall aviser Elise selger per lørdag.

Tilbud 1: Lønn = 35 % av salgsbeløpet

\[ T_1(x) = 0{,}35 \cdot 49 \cdot x = 17{,}15x \]

Tilbud 2: Fast lønn + tillegg per avis

\[ T_2(x) = 150 + 10x \]

Når gir tilbudene lik lønn?

\[ 17{,}15x = 150 + 10x \] \[ 7{,}15x = 150 \] \[ x = \frac{150}{7{,}15} \approx 21{,}0 \]

Vi sjekker:

Antall aviser	Tilbud 1	Tilbud 2
10	171,50 kr	250 kr
21	360,15 kr	360 kr
30	514,50 kr	450 kr

Råd til Elise:

Selger hun færre enn 21 aviser: Velg tilbud 2 (fast lønn gir trygg inntekt).
Selger hun mer enn 21 aviser: Velg tilbud 1 (provisjonen gir mer).

Hvis Elise er usikker på hvor mange hun selger, er tilbud 2 tryggest fordi hun er garantert minst 150 kr uansett.

Oppgave 4 (2 poeng)

«Kjøp 4 aviser for 99 kroner, spar 49 %». Hva koster Dagbladet Lørdag uten rabatt?

Når man sparer 49 %, betaler man 51 % av ordinær pris. La \(p\) = pris per avis uten rabatt.

\[ 4p \cdot 0{,}51 = 99 \] \[ 4p = \frac{99}{0{,}51} \approx 194{,}12 \] \[ p = \frac{194{,}12}{4} \approx 48{,}53 \text{ kr} \]

Vi kan sjekke med et annet tilbud: «Kjøp 52 aviser for 1399 kr, spar 45 %»:

\[ p = \frac{1399}{52 \cdot 0{,}55} = \frac{1399}{28{,}6} \approx 48{,}9 \text{ kr} \]

Svar: Dagbladet Lørdag koster ca. 48,50–49 kroner uten rabatt. Spareprosenten er avrundet, så den eksakte prisen er omtrent 49 kr.

Oppgave 5 (2 poeng)

Terrassebord: Furu 28×145 til 67,90 kr/m og Furu 28×095 til 49,90 kr/m. Finn pris per kvadratmeter.

Bredden er oppgitt i mm. Vi gjør om til meter for å finne pris per m².

Furu 28×145: Bredde = 145 mm = 0,145 m

\[ \text{Pris per m}^2 = \frac{67{,}90 \text{ kr/m}}{0{,}145 \text{ m}} \approx 468{,}28 \text{ kr/m}^2 \]

Furu 28×095: Bredde = 95 mm = 0,095 m

\[ \text{Pris per m}^2 = \frac{49{,}90 \text{ kr/m}}{0{,}095 \text{ m}} \approx 525{,}26 \text{ kr/m}^2 \]

Svar: Furu 28×145 koster ca. 468 kr/m², og Furu 28×095 koster ca. 525 kr/m². Det bredere bordet er altså billigst per kvadratmeter.

Oppgave 6 (6 poeng)

Sylinderformede bokser med volum 450 cm³. \(V = \pi r^2 h\) og \(O = \pi r^2 + 2\pi r h\).

a) Fylle inn tabellen:

Fra \(V = \pi r^2 h = 450\) finner vi \(h = \frac{450}{\pi r^2}\).

Radius \(r\) (cm)	Høyde \(h\) (cm)	Overflate \(O\) (cm²)	Volum \(V\) (cm³)
2	35,81	462,6	450
4	8,95	275,3	450
6	3,98	263,1	450
8	2,24	313,6	450

Eksempel for \(r = 4\):

\[ h = \frac{450}{\pi \cdot 4^2} = \frac{450}{16\pi} \approx 8{,}95 \text{ cm} \] \[ O = \pi \cdot 4^2 + 2\pi \cdot 4 \cdot 8{,}95 = 16\pi + 71{,}6\pi \approx 275{,}3 \text{ cm}^2 \]

b) Funksjonsuttrykk for overflaten:

Vi setter inn \(h = \frac{450}{\pi r^2}\) i formelen for overflaten:

\[ O(r) = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{450}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{900}{r} \]

Svar b): \( O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r} \)

c) Minste overflate:

Vi tegner grafen til \(O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r}\) i GeoGebra og leter etter bunnpunktet (minimumspunktet) på grafen.

📊 Slik gjør du det i GeoGebra Grafisk:

Skriv inn: O(r) = π*r^2 + 900/r
Bruk kommandoen: Ekstremalpunkt(O, 0, 10) for å finne minimumspunktet
GeoGebra gir punktet \(M \approx (5{,}23\,;\;257{,}97)\)

Vi kan også gjøre det i CAS:

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer funksjonen: O(r) := π*r^2 + 900/r
Finn minimum: Min(O, 0, 10) → gir \(r \approx 5{,}23\)
Regn ut overflaten: O(5.23) → gir \(\approx 257{,}97\) cm²

Svar c): Overflaten blir minst mulig når \(r \approx 5{,}2\) cm. Da blir overflaten ca. \(258\) cm².

Oppgave 7 (3 poeng)

Sofie kjøper bagett i kantina for 65 kr/dag. Vurderer å kjøpe i butikk og smøre selv. Gjør antakelser og finn sparing per måned.

Antakelser om priser i butikk (per dag):

Ingrediens	Butikkpris	Rekker til	Per dag
Baguetter (2-pk)	30 kr	2 dager	15,00 kr
Smør	50 kr	20 dager	2,50 kr
Ost (500 g)	50 kr	5 dager	10,00 kr
Skinke (150 g)	40 kr	5 dager	8,00 kr
Tomat	15 kr	3 dager	5,00 kr
Salat	20 kr	4 dager	5,00 kr
Sum per dag	45,50 kr

Sparing per dag:

\[ 65 - 45{,}50 = 19{,}50 \text{ kr per dag} \]

Sparing per måned (ca. 22 skoledager):

\[ 19{,}50 \cdot 22 = 429 \text{ kr per måned} \]

Svar: Med disse antakelsene sparer Sofie ca. 430 kroner i måneden ved å lage bagettene selv. Nøyaktig beløp avhenger av prisene i butikken og hvor lenge ingrediensene varer.

Løsningsforslag Matematikk 1PVår 2025

Oppgave 1 (1 poeng)

Oppgave 2 (1 poeng)

Oppgave 3 (3 poeng)

Oppgave 4 (2 poeng)

Oppgave 5 (2 poeng)

Oppgave 6 (2 poeng)

Oppgave 7 (3 poeng)

Oppgave 8 (4 poeng)

Oppgave 1 (6 poeng)

Oppgave 2 (2 poeng)

Oppgave 3 (3 poeng)

Oppgave 4 (2 poeng)

Oppgave 5 (2 poeng)

Oppgave 6 (6 poeng)

Oppgave 7 (3 poeng)

Løsningsforslag Matematikk 1PVår 2025

Oppgave 1 (1 poeng)

Oppgave 2 (1 poeng)

Oppgave 3 (3 poeng)

Oppgave 4 (2 poeng)

Oppgave 5 (2 poeng)

Oppgave 6 (2 poeng)

Oppgave 7 (3 poeng)

Oppgave 8 (4 poeng)

Oppgave 1 (6 poeng)

Oppgave 2 (2 poeng)

Oppgave 3 (3 poeng)

Oppgave 4 (2 poeng)

Oppgave 5 (2 poeng)

Oppgave 6 (6 poeng)

Oppgave 7 (3 poeng)